万有引力知识与例题总结

万有引力定律与航天

第 1 课 万有引力定律及其应用

一. 万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与间 成反比．

2．公式：F ＝G ＝m 2/kg2，叫引力常量．

3．适用条件：公式适用于可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到 间的距离． 例、对于万有引力定律的数学表达式F ＝G

M m

，下列说法正确的是( ) 2R

Ａ．公式中G 为引力常数，是人为规定的 Ｂ．r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大 Ｃ．m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等，与m 1、m 2的质量是否相等无关 Ｄ．m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力 二、万有引力和重力

重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差

不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G

m 1m 2r 2

, g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，

在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（r+h）2，比较得

g h =（

r

）2·g 0 (g0为地表重力加速度) r +h

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有 F ＝F 向＋m 2g ，

m m 2

所以m 2g=F一F 向＝G 122－m 2R ω自

r

m m m m 2

因地球目转角速度很小G 122» m2R ω自, 所以m 2g= G122

r r

m m 2

假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G 122－m 2R ω自知物体的重力将变小，当

r

m m 2

G 122=m2R ω自时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω

r

自

，比现在地球自转角速度要大得多. 三. 天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g, 天体半径为R ，由mg=G

g 1R 22M 1

度的关系为=2⨯

g 2R 1M 2

Mm M

得g=G , 由此推得两个不同天体表面重力加速R R

2

2

四．天体质量和密度的计算

Mm 2π

（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由＝m 2r ，可得

r T

234πr

天体质量为：M ＝.

GT

M M 3πr 3

该中心天体密度为：ρ＝＝（R 为中心天体的半径）．

V 43GT R πR 3

3π

当卫星沿中心天体表面运行时，r ＝R ，则ρ＝.

GT

（2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .

Mm gR 2

由于G mg ，故天体质量M ＝

R G

M M 3g

天体密度ρ＝＝.

V 434πGR

πR 3

、万有引力定律的基本应用

【例1】如图所示，在一个半径为R 、质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？

【例2】某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半

3

径R ＝6. 4×10km,g 取10m/s2）

【例3】登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5 min,月球的半径是1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．

【例4】一个宇航员在半径为R 的星球上以初速度v 0竖直上抛一物体，经ts 后物体落回宇航员手中．为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

【例5】中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期

1

为T s ．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(计算时星体可

30

－

视为均匀球体，万有引力常量G ＝6.67×1011m 3/kg ·s 2)

6、已知下面的哪组数据, 可以算出地球的质量M(引力常量G 为已知) ( ) A 月球绕地球运动的周期T 及月球到地球中心的距离R B 地球绕太阳运行周期T 及地球到太阳中心的距离R C 人造卫星在地面附近的运行速度V 和运行周期T D

地球绕太阳运行速度V 及地球到太阳中心的距离R

3、据媒体报道, 嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道, 轨道高度200 km, 运用周期127分钟。若还知道引力

常量和月球平均半径, 仅利用以上条件不能求出的是 A. 月球表面的重力加速度

B. 月球对卫星的吸引力

C. 卫星绕月球运行的速度 D. 卫星绕月运行的加速度 2、讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

G Mm r 2

v 2⎛2π⎫2=m =m ω2r =m ⎪=m (2πf )r

r ⎝T ⎭

2

【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不

变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L ，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系 （1）由G

mM

(r +h )

mM

2

v 2=m ，得v =h ↑，v ↓

r +h GM

（2）由G

(r +h )2

mM

=mω2（r+h），得ω=

r +h 3

，∴当h ↑，ω↓

4π24π2(r +h )3

=m 2(r +h )，得T=（3）由G ∴当h ↑，T ↑ 2GM T r +h 3、对人造地球卫星, 以下说法正确的是 ( )

A. 根据公式v =gR 环绕速度随R 的增大而增大 B. 根据公式v =

GM 环绕速度随R 的增大而减小

R

R 2

C. 根据公式F=GMm ，当R 增大到原来的4倍时，卫星需要的向心力为原来的1/16

v 2

D. 根据公式F=m ，当R 增大到原来的2倍时，卫星需要的向心力减为原来的1/2

R

4、设地球的半径为R 0，质量为m 的卫星在距地面R 0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g 0，则以下说法错误的是（ ） A. 卫星的线速度为

2g 0R 02

； B. 卫星的角速度为

g 0

； 8R 0

C. 卫星的加速度为

g 08R 0

； D. 卫星的周期2π；

g 02

二、三种宇宙速度：

① 第一宇宙速度（环绕速度）：v 1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。

② 第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 ③ 第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度v =

GM

，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在r

人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v 发射＞v 环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．

三、第一宇宙速度的计算．

方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力． G

mM

(r +h )2

v 2GM =m，v=。当h ↑，v ↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其

r +h r +h

大小为r ＞＞h

（地面附近）时，V 1=

=7．9×103m/s 方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．

v 12

．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103m/s mg =m

r +h 第一宇宙速度是在地面附近h ＜＜r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度． 四、两种最常见的卫星 ⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，由式②可得其线速度大小为v 1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T =5.06×103s=84min。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s，周期约90min 。

⑵同步卫星。

1．轨道平面一定：轨道平面与 共面．2．周期一定：与 周期相同，即T ＝24 h. 3．角速度一定：与 的角速度相同．

3GMT Mm 4π2

4．高度一定：由G ＝m (R ＋h ) 得同步卫星离地面的高度h ＝ －R . ≈3.56×107m 2T 4π(R ＋h ) 5．速率一定：v ＝

GM ⎛2π⎫

6. 向心加速度大小一定a n =v ω= ⎪(R +h ) R ＋h T

2

⎝⎭

【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，

经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）

A ．运行速度大于7.9 km/s B ．离地面高度一定，相对地面静止 C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

3、某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h, 设地球半径为R ，自转周期为Ｔ， 地面处的重力加速度为g ，则该同步卫星的线速度的大小应该为：（ ） Ａ、(h +g ) g Ｂ、

2π(h +R )

2

Ｃ、R g /(h +R ) Ｄ、Rg

【例11】如图，地球赤道上的山丘e ，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )

A ．v 1>v 2>v 3 B ．v 1a 2>a 3

D ．a 1

六、卫星的超重和失重

（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．

(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等） 七、卫星的变轨

v 2Mm 2π

卫星做匀速圆周运动时满足：G ＝ma = m ＝mrω2＝mr () 2

r r T

当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．

v 2

(1)当v 增大时，所需向心力m r

轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ r

机械能均增加．

mv 2

(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运

r

GM

动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ 知运行速度将增大，但

r

重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)

【例6】如图4－4－2所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )

A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度

B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度

C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的c D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

【例7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2(r 2

A ．E k2T 1 C ．E k2>E k1，T 2E k1，T 2>T 1

【例8】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km ，远地点为340km 的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半

2

径R=6370km，g=9.8m/s）

（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q 为近地点，P 为远地点，当飞船运动到P 点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ）

A ．飞船在Q 点的万有引力大于该点所需的向心力 B ．飞船在P 点的万有引力大于该点所需的向心力

C ．飞船在轨道Ⅰ上P 点的速度小于轨道Ⅱ上P 的速度

D 、飞船在轨道Ⅰ上P 点的加速度小于轨道Ⅱ上P 的加速度

（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（ ）

A ．从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速 C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速 八、环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题

1据

(ω

则t =大-ω小)t =2π

2π

，

ω大-ω小

T 大T 小2π

而ω= 则t =

T T 大-T 小

2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）

所需最短时间： 据

ω大-ω小T 大T 小2π

而ω= 则t =

T 2T 大-T 小(ω

则t =大-ω小)t =π

π

，

【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星离地面高度为3R ，则：

(1)a 、b 两卫星周期之比T a ∶T b 是多少？

(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？

九、人造天体在运动过程中的能量关系

同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。

八、相关材料

I ．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论

当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v （此即为发射速度），卫星距离地心为r, 并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则F G

万

Mm

，若卫星以v 绕地球做圆周运动，则所需要r

2

v

的向心力为：F 向＝m

r

2

①当F 万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v ＝7.9 km/s.

②当F 万＜F 向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）

③当F 万＞F 向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v ＜7.9 km/s，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件． 2. 人造卫星如何变轨

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．

v

以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A 点，万有引力F A ＞m ，要使卫

r

2

v

星改做圆周运动，必须满足F A ＝m 和F A ⊥v ，在远点已满足了F A ⊥v 的条件，所以只需增大速度，让速

r

2

v

度增大到m ＝F A ，这个任务由卫星自带的推进器完成．

r

2

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的． 练习：

1、对于万有引力定律的表述式F =G

m 1m 2

，下面说法中不正确的是（ ） 2

r

A. 公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B. 当r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大

C. m1与m 2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力 D. m1与m 2受到的引力总是大小相等的，而与m 1、m 2是否相等无关

2、甲、乙两个物体分别放在广州和北京，它们随地球一起转动时，下面说法正确的是（ ） A ．甲的线速度大，乙的角速度小 B．甲的线速度大，乙的角速度大 C ．甲和乙的线速度相等 D．甲和乙的角速度相等 3、关于行星的运动，以下说法不正确的是（ ） A ．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越小 B ．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大 C ．水星的半长轴最短，公转周期最大 D ．海王星离太阳“最远”，其公转周期最长

4、地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有：（ ） A ．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处 B ．赤道处的角速度比南纬30大

C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大 D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力

5、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行, 要测定该行星的密度, 仅仅需要测定( ) A ．运行周期T B．环绕半径 r C．行星的体积V D．运行速度v 6、人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将

( ）

A ．继续和卫星一起沿轨道运行 B．做平抛运动，落向地球 C ．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动 D．做自由落体运动，落向地球

7、两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为T A :T B =1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）

A. R A :R B =4:1, v A :v B =1:2 B. R A :R B =4:1, v A :v B =2:1 C. R A :R B =1:4, v A :v B =2:1 D. R A :R B =1:4, v A :v B =1:2

8、某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为60 ｍ，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为（ ） A.10ｍ B.15ｍ C.90ｍ D.360

9、某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增加到原来的n 倍后，仍能够绕地球做匀速圆周运动，则： （ ）

A ．根据v =ωr ，可知卫星运动的线速度将增大到原来的n 倍。

1mv 2

B．根据F =，可知卫星受到的向心力将减小到原来的倍。

n r

C．根据F =

GMm 1

，可知地球给卫星提供的向心力将减小到原来的倍。 r 2n 2

GMm mv 21= D．根据，可知卫星运动的线速度将减小到原来的倍。

r r 2n

10、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A. 地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B. 月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D. 月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

11、关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ ）

A. 已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍 B. 它的运行速度为7.9 km/s

C. 它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播

D. 它距地面的高度约为地球半径的5倍, 所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的

1

36

12、设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度之比为k(均不计空气阻力), 且已知地球和该天体的半径之比也为k, 则地球质量与天体的质量之比为 ( ) A. 1 B. K C. K D. 1/K

13、星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速1度v 1，的关系是v 2=2 v1．已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的6不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度( )

gr B.

1

gr C. 6

11

33

2

14、 神舟六号载人航天飞船经过115小时32分钟的太空飞行，绕地球飞行77圈，飞船返回舱终于在2005年10月17日凌晨4时33分成功着陆，航天员费俊龙、聂海胜安全返回。已知万有引力常量G, 地球表

面的重力加速度g ，地球的半径R 。神舟六号飞船太空飞近似为圆周运动。则下列论述正确的是 （ ）

A. 可以计算神舟六号飞船绕地球的太空飞行离地球表面的高度h B. 可以计算神舟六号飞船在绕地球的太空飞行的加速度

C. 飞船返回舱打开减速伞下降的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态 D. 神舟六号飞船绕地球的太空飞行速度比月球绕地球运行的速度要小 二、计算题：

15、继神秘的火星之后，今年土星也成了世界关注的焦点. 经过近7年时间，2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访土星及其卫星家族. 这是人类首次针对土星及其31颗已知

卫星最详尽的探测. 若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t . 求土星的质量和平均密度 .

16、已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球自转的周期为T ，试求地球同步卫星的向心加速度大小。

17、我国已启动“登月工程”，计划2010年左右实现登月飞行．设想在月球表面上，宇航员测出小物块

自由下落h 高度所用的时间为t ．当飞船在靠近月球表面圆轨道上飞行时，测得其环绕周期是T ，已知引力常量为G ．根据上述各量，

试求： ⑴月球表面的重力加速度； ⑵月球的质量．

18. 一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径r=2R0(R0为地球半径) ，卫星的运

转方向与地球的自转方向相同，设地球自转的角速度为ω0，若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它再次通过该建筑物上方所需时间。

19. 两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星离地面的高度等于R ，b 卫星离地面的高度为3R ，则：

（1）a 、b 两卫星的周期之比T a :Tb 是多少？

（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？

【参考答案】

15、解析：⑴月球表面的重力加速度；g =2

t

h 3T 4

⑵月球的质量． M =

2G π4t 6

16、解析：土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力：

2h

GMm 4π2

=m 2(R +h )

(R +h ) 2T

探测器运行的周期：T =

t n

4π2n 2(R +h ) 3

得土星的质量为：M =

Gt 2

3πn 2(R +h ) 3

土星的平均密度：ρ= 23

Gt R