数形结合在小学的重要性

浅谈数形结合在小学数学的重要性 ————————紫荆校区周渊

数与形，本是相依依，焉能分作两边飞； 数无形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休；

切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。 ------------华罗庚

“数”与“形”的结合，历来就受到数学家的崇拜，直观的“形”常常给抽象的“数”以最生动的

说明或诠释，反之，数的简练又常使图形中某些难以表达的性质得以展现，运用“数形结合”的方式来思考数学问题是人们追求数学中的形式美的结果。今天一起来体验下“数形”在小学奥数中独特魅力！

一、线段图在小低年级的重要性

在小学阶段，学习各种典型应用题，如和差倍问题、年龄问题、平均数问题、盈亏问题、

行程问题等，我们常常采用类似于古希腊人使用的线段图形象、直观的表示出应用题中的各种数量关系。“线段图”是小学数学经常采用的一种图解法。以一道三四年级学习的盈亏问题为例，看看线段图的神奇之处！

例1:三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？

思维分析：根据题设条件，有两种分法：①每人搬4块砖；②每人5块砖。在这两种分法下砖的总块数保持不变，搬砖的总人数也不变，并且当知道搬砖的人数时，很容易得到砖的块数，说明求出人数是这道题的关键，那怎么求人数呢？

既然总块数不变，我们可以用线段图表示出，如图1

分法①分法②

从图1种很容易得到，第二次分法比第一次分法多搬7+2块，而针对每个人来讲，第二次比第一次多搬（5-4）块，这样就很容易得到搬砖的总人数。

解析：

总人数：(7+2)÷(5-4)=9（人） 砖:9⨯4+7=43（块） 或者：9⨯5-2=43（块）

答：这个班少先队有9个人，要搬的砖共有43块。 把复杂的数学问题形象化，正是“线段图”的优势！ 二、矩形图解法在应用题中的应用

任何一种数学方法都不是万能的，每一种方法都只能解决符合种方法特征的数学问题。

接下来介绍另外一种十分有用的图解法————“矩形图解法”。

矩形图解应用题是针对有的应用题要求考虑考虑三个因素，且其中的一个是另外两个的

积的形式。这时，用长方形的长表示一个量，用宽表示另外一个量，借助“长×宽=面积”或长方形之间的面积关系来解决问题。

例2：有一个班的同学去划船，若增加一条船，则每条船刚好坐6人；若减少1条船，则每条船刚好坐8人。问：该班共有多少人？

图2

分析与解：如图2，用长方形的长表示船的只数，用宽表示每条船坐的人数。由题意知：，从而总人数为：8×6=48（人） S 竖=S横，而S 竖=6⨯(1+1)=12，而12÷2=6（只）

例3：计划修一条公路，如果每天多修8米，会提前4天完成；如果每天少修8米，则会推迟8天完成。那么这条路共有多少米？

思维分析：

本题的条件有两个特点：变————天数在变化，相应的每天修的长度也在变化； 不变———无论天数怎么变化，这条公路的总长度不变。

由于“路的总长度=每天修的长度×对应的天数”，跟面积非常类似。所以对应如下： 长对应成天数，宽对应成每天修的长度；面积对应成路的总长度 根据题目的条件，可以将问题转化成用图3的矩形图来进行描述：

图4

请注意图3中的每个数字的含义与位置，特别注意三个8和4的位置 从图3, 可以看出哪些长方形的面积相等呢？具体如图4

图4

根据“路的总长度=每天修的长度×对应的天数”很容易得到：

S 长方形ABCD =S 长方形AEFG =S 长方形AHIJ

进而再利用重叠原理很容易得到： ① S 长方形BEFM =S 长方形CDGM ② S 长方形HEFL =S 长方形LIJG ③ S 长方形HBCK =S 长方形DKIJ

由于BE :DG =8:4=2:1, 且S 长方形BEFM =S 长方形CDGM ，可以得到EF :DC =1:2

EF :GL =3:4. 又因为HE :GJ =(8+8):(8+4)=4:3, 且S 长方形HEFL =S 长方形LIJG 可以得到：

再根据上下都有EF 进行扩比得到：EF :DC =1:2=3:6

由于DL =GK ，从而可以得到CD 比GL 长8，事实上，CD 的长度是6份，GL 的长度是4份，这样就可以求出一份的长度了 一份的长度为：8÷(6-4)=4 故CD 的长是：4⨯6=24 EF 的长是：4⨯3=12 BC 的长度为：12+4=16

再根据路的总长度与长方形ABCD 的面积相等得： 路的总长度为：24⨯16=384（米） 答：这条路共有384米。

从前面的例题我们可以看出，用矩形图解应用题的核心是问题中的“数的关系”转化成“形

的关系”，从而将一个算术问题转化成一个纯粹的几何问题，通过图形的直观形象一目了然地揭示出了数量之间的因果关系。

三、图形在几何中的应用

例4：已知三角形的三边的平方分别为370，74，116，求三角形的面积？

思维分析：

本题只告诉你三角形的三边的平方，要求该三角形的面积，可能刚拿到此题确实无从下手，很多爸妈可能会想到初中的海伦公式或者余弦定理。可这是正经的小学数学题，既然此题出现了平方说明勾股定理有关，不妨先试试这三个数是哪些数的平方和：

370=92+172 74=52+72 116=42+102

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从上的一组数据可以得出：4+5=9，10+7=17，而9+17恰好等于370，所以可以以

9和17作为直角边构造一个直角三角形，如图

5

9

图5

从而根据勾股定理得到AC 2 370, 即该三角形的一条边AC 就得到了，接下来构造出另外两条边AF 和CF ，如图6，即可得到三角形ACF 即为条件所求的三角形。

5

当然在这样的一个直角三角形中，求阴影（三角形AFC ）就比较简单了。

解析：S ABC :9×17÷2=76.5S ADF :5×7÷2=17.5S 长方形BDFE :4×7=28S CEF :10×4÷2=20

S ACF :76.5-(17.5+28+20)=11

数学题一般采用文字与数学符号叙述的，无论是文字还是数学符号都来源于对“形”的描

述，图解法正是利用了这一点，把文字与符号还原成“形”，借助“形”对“数”的理解。