高中基本不等式
第44课 基本不等式
●考试目标 主词填空
1.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2.设a,b∈R+,则称
ab
为a,b的算术平均值;称ab为a,b的几何平均值. 2
3.平均值不等式的原形与变形 ①
ab
≥ab (当且仅当a=b时取等号)为原形. 2
2
ab
②变形有:a+b≥2ab;ab≤,当且仅当.
2
4.利用平均值不等式求最大最小值,是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.
5.最值定理
如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;
S2
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
4
●题型示例 点津归纳
【例1】 设x∈[2,5),求下列函数的最值. (1)y=(3+2x)·(6-x); (2)y=(3+2x)·(4-x); (3)y=4x-9·2x+1+80; (4)y=
x27x6
2
.
【解前点津】 (1)因3+2x=12-2x时,x=(2)因3+2x=8-2x时,x=
9
∈[2,5],故可直接应用平均值不等式; 4
55
但[2,5]故不能使用平均值不等式; 44
(3)可分解为y=(2x-8)·(2x-10); (4)因方程x6
2
1x6
2
无根,故不能使用平均值不等式,而考虑其“单调性”.
【规范解答】 (1)y=(3+2x)·(6-x)=≤
1
·(3+2x)·(12-2x) 2
112259225×[(3+2x)+(12-2x)]2= ,当且仅当3+2x=12-2x,即x=时,ymax= , 24488
225
又∵x=2时,y=28;x=5时,y=13
8
(2)因y=(3+2x)·(4-x)=-2x2+5x+12,其对称轴为x=时,ymax=(3+4)·(4-2)=14,函数没有最小值.
5
,故函数在[2,5)上单调减;当x=24
2
108
(3)分解因式得:y=(2x-8)·(2x-10)=-(2x-8)·(10-2x)≥-=-1,故ymin=-1,又当x=2
2
时,y=(4-8)·(4-10)=24,当x=5时,y=(32-8)·(32-10)=528.
故当且仅当x=2时,函数有最小值-1,而函数没有最大值(x=5[2,5]]. (4)易证函数在[2,5]上单调增,故当x=2时,ymin=
11
,又因5[2,5],故函数没有最大值. 10
【解后归纳】 利用平均值不等式求最值时,应考虑诸项条件是否齐备,对两个正数而言:和定→相等时→积最大;积定→相等时→和最小.
在求函数的最值时,若不能使用平均值不等式,则可以考察函数的单调性.
【例2】 一开发商在某处想圈一块周长为L的地皮,这块地皮既可以为长方形,也可以为圆形,欲使其面积最大,应确定为何种图形?何种尺寸? 【解前点津】 设长方形的一边之长为x,则邻边之长为
LL
-x,则可先确定x·(-x)的最大值. 22
2
L2L
【规范解答】 若确定为圆形,则面积为π;若确定为长方形,则不妨设其面积=
42
为S,一边之长为x,则邻边之长为当且仅当x=
LL12
-x,故S=x·(-x)≤L.
1622
LL
-x即x=时取等号. 24
1112122∵πL-L=L416>0,∴应确定为圆形地皮.
416
【解后归纳】 在一切封闭平面图形中,若周长一定,则只有圆的面积最大.
【例3】 若正数a、b满足ab≥a+b+3,试求a+b的取值范围.
【解前点津】 设a+b=x,利用平均值不等式,可推导出一个关于x的不等式.
2
abx
【规范解答】 设a+b=x,则x>0,ab≥x+3,又ab≤=,故由不等式的传递性得
24
2
x2
≥x+3,解之x≥6,故a+b的取值范围是[6,+∞]. 4
【解后归纳】 求某表达式的取值范围,常可使用“换元法”,从而达到等价转化的目的. 【例4】 已知:x、y、z∈R+,且满足x+y+z=1,求
149
的取值范围. xyz
149
+mx,my,mz(m>0),则可用xyz
【解前点津】 不具备用平均值不等式的条件,但是
等价变形,构造使用平均值不等式的条件可求范围. 【规范解答】 ∵x+y+z=1,引入参数m>0,∴mx+my+mz=m
149 xyz
=(
149
+mx)+( my)(mz)-m≥2m+4m +6m -m=12m-m. xyz
194123
=mx且=my且=mz,即x=且z=时取等号. ,且y=xzymmm
当且仅当
代入x+y+z=1得:
1m
+
2m
+
3m
=1.解之m=36.
∴12m-m=12-36=36. 综上所述可知:
149
的取值范围是[36,+∞). xyz
【解后归纳】 为了使用平均值不等式,可引入一个参数,构造一个含有参数的不等式,它能运用平均值不等式,使运算能进行下去,最后,依据相等的条件,可解出参数的值.
●对应训练 分阶提升 一、基础夯实
1.已知x,y∈R,且2x2+y2-4x≤0,则 ( )
A.y2>4x B.y20,-
cd
,bc>ad,以其中两个作条件,余下一个作结论,可以组成正ab
确命题的个数是 ( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
3.对于x∈[0,1]的一切值,则a+2b>0是使ax+b>0恒成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的 平均增长率为x,则有 ( )
11
(a+b) B.x≤(a+b) 2211
C.x>(a+b) D.x≥ (a+b)
22
A.x=
5.若不等式x+2xy≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立,则正数a的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.2
1
D.22+1 2
6.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为( )元.
A.1000 B.1500 C.2000 D.2500
7.设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是 ( ) A.50 B.2 C.1+lg5 D.1
8.已知正数a,b满足ab=a+b+5,则ab的取值范围是 ( ) A.[7+6,+) B.[7-6,+∞) C.[7+26,+∞) D.[7-2,+∞)
二、思维激活
9.点P(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y的最小值是 . 10.如果|x|≤
,则函数f(x)=cos2x+sinx的最大值是4
11.如果圆柱轴截面的周长L的定值,则圆柱体积的最大值为.
12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1,第三年比第二年增长的百分率为P2,第四年比第三年增长的百分率为P3,若P1+P2+P3为定值,则年平均增长率的百分率P的最大值为 . 三、能力提高
13.已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=
14.求函数y=
1
的最小值. ab
(x5)(x2)
(x>-1)的值域.
x1
a3ba2b2196
15.已知:a>b>0,求的最小值.
abb2
16.甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出该函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶.
第2课 基本不等式习题解答
1.D 因2x2≤4x-y2成立,故必有4x-y2≥0即y2≤4x. 2.D 可逐一检验.
3.B由条件,x=0时,b>0,x=1时,a+b>0a+2b>0. 4.B由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+5.B由条件:2
ab2
). 2
xy≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay≥2a(a1)xy,令
2xy=2a(a1)xy ,a(a-1)=2,∴a=2.
6.C设池底的一边长为x m,总造价为y元,则池底的邻边之长为
4
m,由条件x
得:y=180·x·
4844
+80·2(2x+)=720+320(x+)≥720+320·2·x=2000. xxxx
2
x10x
7.Clgx+lgy=lgxy=lgx·(20-2x)=lg[2·x·(10-x)]≤lg[2·=lg50=1+lg5.
2
8.C由ab=a+b+5≥2ab+5,得(ab )2-2ab ≥5(ab-1)2≥6ab≥7+26 . 9.3x+27y=32-3y+33y≥2323y33y=6,,故最小值为6. 10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)≤1+(11.因4R+2h=L为定值,故V
3
柱
125
)=. 24
=πR2·h=π·(2R)·(2R)·(2h)·
1
≤8
2R2R2hL31·πL3为所求最大值. = ·()=8321638
PP2P3
1, 12.由题意:(1+P1)·(1+P2)·(1+P3)=(1+x)3,∴(1+x)3≤1
3
∴x≤
3
11
(P1+P2+P3),故P的最大值为(P1+P2+P3). 33
13.∵2b+ab+a=30,∴30≥ab+22·ab,∴-52 ≤ab≤32,当且仅当a=2b时,取等
a2b1号,解方程组得a=6且b=3ymin=.
182baba30
14.∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0且y=
(m4)(m1)44
m5≥2m+5=9,当
mmm
且仅当m=2时取等号,故ymin=9.
又当m→∞时,y→∞,故原函数的值域是[9,+∞).
a3ba2b2196a2b(ab)1961962
15.∵a>b>0,∴a-b>0,故. a2
b(ab)b(ab)abb
2
baba
而b·(a-b)=b(ab)≤=(当且仅当b=a-b即2b=a时取等号).
24
2
2
a2
故b·(a-b)有最大值.
4
故原式=a2+
196419641962
≥a2+≥2=56. a22
ab(ab)a
(当且仅当a2=
1964
,2b=a,即a=27,b7时取等号). a2
故原式的最小值为56.
16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s/v,全程运输成本为y=a·
ssaa
+bv2· =s(+bv),故所求函数及定义域为:y=s·( +bv),v∈(0,c). vvvv
aaa
+bv)≥2s·ab,当且仅当=bv,即v=时取等vvb
(2)因s、a、b、v都为正数,故有s·(号. 若
aa
≤c,则当v=时,全程运输成本y最小; bb
aasa11>c,当v∈(0,c]时,有s·(+bv)-s·(+bc)=s·[a+b(v-c)]=·(c-v)·(a-bcv).
vcvcvcb
若
因为c-v≥0且a>bc2,故a-bcv>a-bc2>0. 所以s·
aa
bv≥sbc. vc
当且仅当v=c时等号成立,也即v=c时,全程运输成本y最小; 综上所述知:为使全程运输成本y最小,当行驶速度应为v=c.
aaa
≤c时,行驶速度应为v=;当 >c时,bbb