概率论与数理统计知识要点
知识要点
一 概念:
1 随机事件:用A , B , C 等表示 互不相容: AB =Φ
互逆: AB =Φ且A ⋃B =Ω ,此时,B =A 互逆 ⇒互不相容 ,反之不行
相互独立: P (A B ) =P (A ) 或P (AB ) =P (A ) P (B )
2 随机事件的运算律:
(1) 交换律 :A ⋃B =B ⋃A , AB =BA (2) 结合律 :(A ⋃B ) ⋃C =A ⋃(B ⋃C ) (3) 分配律 :
,(AB ) C =A (BC )
A (B ⋃C ) =AB ⋃AC , A ⋃(BC ) =(A ⋃B )(A ⋃C )
(4 ) De Morgen 律(对偶律)
A ⋃B =A B AB =A ⋃B 推广:
A = A
i
i
i =1
i =1
n
n i
i
n n
A = A
i =1
i =1
3 随机事件的概率:P (A ) 有界性 0≤P (A ) ≤1 若A ⊂B 则P (A ) ≤P (B ) 条件概率 P (A B ) =
P (AB )
P (B )
4 随机变量: 用大写X , Y , Z 表示 .
若X 与Y 相互独立的充分必要条件是F (x , y ) =F X (x ) F Y (y )
若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是p (x , y ) =p X (x ) p Y (y )
若X 与Y 不相关,则cov(X , Y ) =0 或 R (X , Y ) =0 独立⇒不相关 反之不成立
但当X 与Y 服从正态分布时 ,则相互独立 ⇔不相关
相关系数:R (X , Y ) ≤1 且当且仅当Y =a +bX 时R (X , Y ) =1,并且
⎧1, b >0
R (X , Y ) =⎨
-1, b
古典概型 :P (A ) =
M
M :A 所包含的基本事件的个数 ;N :总的基本事件的个数 N
m m n -m
伯努利概型 : n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 P n (m ) =C n p q
n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为m 1到m 2之间的概率
P (m 1≤m ≤m 2) =
n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率
m =m 1
∑P (m )
n r -1
m 2
P (m ≥r ) =∑P n (m ) =1-∑P n (m )
m =r
m =0
n
特别的 ,至少发生一次的概率 P (m ≥1) =1-(1-p )
n
三 概率的计算公式:
加法公式:P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) 若A
, B 互不相容 , 则P (A +B ) =P (A ) +P (B )
推论:P (A ) =1-P () 推广:
P (A ⋃B ⋃C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (BC ) -P (AC ) +P (ABC )
若A
, B ,C 互不相容,则P (A +B +C ) =P (A ) +P (B ) +P (C )
乘法公式:P (AB ) =P (A ) P (B A ) 或=P (B ) P (A B ) 若A , B 相互独立 ,P (AB ) =P (A ) P (B )
推广:P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A 3A 1A 2) P (A n A 1A 2 A n -1) 若它们相互独立,则P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2) P (A n )
全概率公式:若 A 为随机事件,B 1, B 2 B n 互不相容的完备事件组,且 P (B i ) >0 则 P (A ) =P (B 1) P (A B 1) +P (B 2) P (B 2) + +P (B n ) P (B n ) 注: 常用B , B 作为互不相容的完备事件组
有诸多原因可以引发某种结果 ,而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ,这样的概率问题属于全概率问题. 用全概率公式解题的程序:
(1) 判断所求解的问题 是否为全概率问题
(2) 若是全概率类型,正确的假设事件A 及B i ,{B i }要求是互斥的完备事件组 (3) 计算出P (B i ) ,
P (A B i )
(4) 代入公式计算结果
四 一维随机变量:
1 分布函数:F (x ) =P (X ≤x ) 性质:(1) 0≤F (x ) ≤1
(2) 若x 1
(3) 若X 是离散随机变量,则F (x ) 是右连续的
若X 是连续随机变量,则F (x ) 是连续的 (有时,此性质也可用来确定分布函数中的常数)
(4)lim F (x ) =1 即 F (+∞) =1
x →+∞
lim F (x ) =0 即 F (-∞) =0 ( 此性质常用来确定分布函数中的常数)
x →-∞
利用分布函数计算概率:P (a
概率函数:p (x i ) =P (X =x i ) 性质:p (x i ) ≥0
i =1,2 (分布律)
∑p (x ) =1 (此性质常用来确定概率函数中的常数)
i
i
已知概率函数求分布函数 F (x ) =一维连续随机变量: 概率密度f (x )
x i ≤x
∑P (X =x ) =∑p (x )
i
i
x i ≤x
性质:
(1) 非负性f (x ) ≥0 (2)归一性:
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =1 (常用此性质来确定概率密度中的常数)
分布函数和概率密度的关系: f (x ) =F '(x ) F (x ) =
⎰
x
-∞
f (x ) dx
(注意:当被导函数或被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数) 利用概率密度求概率 P (a
离散情形 : 列表 、整理、合并
连续情形Y =g (X ) : 分布函数法. 先求Y 的分布函数 ,再求导 六 二维随机变量: 联合分布函数 :F (x
性质: (1) F (-∞(3) F (-∞
⎰
b
a
f (x ) dx
, y ) =P (X ≤x , Y ≤y )
, -∞) =0 (2) F (-∞, x ) =0 , y ) =0 (4) F (+∞, +∞) =1
(此极限性质常用来确定分布函数中的常数)
边缘分布函数: F X (x ) =F (x , +∞) F Y (y ) =F (+∞, y ) 二维离散随机变量:
联合概率函数 p (x i , y j ) =P (X =x i , Y =y j ) 列表 边缘概率函数: p X (x i ) =
∑p (x , y ) p (y ) =∑p (x , y )
i
j
Y
i
i
j
j i
二维连续随机变量: 联合概率密度 f (x , y )
性质 (1)f (x , y ) ≥0
(2)
⎰⎰
-∞
+∞+∞
-∞
f (x , y ) dxdy =1(常用此性质来确定概率密度中的常数)
联合分布函数与联合概率密度的关系
∂2
f (x , y ) =F (x , y )
∂x ∂y
F (x , y ) =⎰
x -∞
⎰
y -∞
f (x , y ) dxdy
(注意:当被导函数或被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数)
利用联合概率密度求概率
P ((x , y ) ∈R ) =⎰⎰f (x , y ) dxdy
R
已知联合概率密度求边缘概率密度
f X (x ) =⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dy f Y (y ) =⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dx
(注意:当被积函数是分段函数时,要分区间讨论,其结果也是分段函数) 二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形:
七 随机变量的数字特征: 若X 为离散随机变量:E (X ) =
∑x p (x )
i
i
i =1
n
若X 为连续随机变量: E (X ) =
⎰
+∞
-∞
x x f (x ) d
二维情形 若(X , Y ) ~f (x , y ) 为二维连续随机变量,则 E (X ) =
⎰
+∞
-∞+∞
x X f (x ) d =x ⎰
+∞-∞
⎰
+∞-∞
x (f , x ) y d x d y
E (Y ) =⎰
-∞
⎰
+∞
-∞
yf (x , y ) dxdy
若(X , Y ) ~p (x i , y j ) 为二维离散随机变量,则
E (X ) =∑x i p X (x i ) =∑∑x i p (x i , y j )
i
i
j
E (Y ) =∑y j p Y (y j ) =∑∑y j p (x i , y j )
j
j
i
随机变量的函数的数学期望:
若X 为离散随机变量:E [g (X ) ]= 若X 为连续随机变量 E [g (X ) ]=方差:定义 D (X ) =E
∑g (x ) p (x )
i
i
i +∞-∞
⎰
g (x ) f (x ) d x
{[X -E (X ) ]}
2
方差的计算公式:D (X ) =E (X ) -E (X ) 注意这个公式的转化:E (X ) =D (X ) +E (X )
协方差:cov(X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y ) ,相关系数R (X , Y ) =
2
2
22
cov(X , Y ) D (X ) D (Y )
关于期望的定理: 关于方差的定理 (1) E (C ) =C (1) D (C ) =0 (2)E (CX ) =CE (X ) (2) D (CX ) =C 2D (X )
(3) E (X +Y ) =E (X ) +E (Y ) 相互独立: D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) E (X -Y ) =E (X ) -E (Y ) D (X -Y ) =D (X ) +D (Y ) E (λX +μY ) =λE (X ) +μE (Y ) (注意:反之不成立) 相互独立
E (XY ) =E (X ) E (Y ) (注意:反之不成立)
一般地:D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) +2cov(X , Y ) 八 要熟记的常用分布及其数字特征:
0-1分布 B (1,p ) p (x ) =p x q 1-x
x x n -x 二项分布B (n , p ) p (x i ) =C n p q
E (X ) =p x =0, 1D (X =) p q
n p q
x =0,1 n E (X ) =n p D (X =)
泊松分布p (λ) p (x ) =
λx
x !
-λ
e x =0, 1 E (X ) =λD (X =) λ
⎧x -a
a ≤x
a
x
⎪1⎪其他x ≥b ⎩0⎪⎩a +b
E (X ) =
2
(b -a ) 2
D (X ) =
12
⎧λe -λx
指数分布:e (λ) f (x ) =⎨
⎩0
E (X ) =
⎧1-e -λx x >0x >0
F (x ) =⎨ x ≤0x ≤0⎩0
1
1
λ
2
D (X ) =
λ
2
正态分布:X ~N (μ, σ)
-
f (x ) =(x -μ) 22σ
F (x ) =
x
-∞
e
-
(x -μ) 22σdx
E (X ) =μD (X =) σ2
2
-x 2 特别地N (0, 1 )
ϕ(x ) =
Φ(x ) =
E (X ) =0D (X ) =1
若X ~N (μ, σ2) ,则P (x 1
x
-∞
e
-
x 2
2
dx (Φ(-x ) =1-Φ(x ) )
x 1-μ
σ
x -μx -μ
) -Φ(1) =Φ(2
σσ
九 正态随机变量线性函数的分布;
独立的正态随机变量线性函数的分布仍然是正态分布
十 统计部分:
统计量 ,三大分布的定义,无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验
σ
X -μ
x 2-μ
σ
)
矩估计的步骤:(思路:用样本的k 阶原点矩去估计总体的k 阶原点矩) 若总体中只含一个未知参数; (1) 计算总体的一阶原点矩E (X )
1n
(2) 令E (X ) =V 1=∑X i ,从中解得未知参数的矩估计量。
n i =1
若总体中含有两个未知参数;
(3) 计算总体的一阶原点矩E (X ) ,二阶原点矩E (X 2)
1n ⎧
⎪E (X ) =V 1=n ∑X i ⎪i =1
(4) 令⎨,从中解得未知参数的矩估计量。 n
⎪E (X 2) =V =1X 2
∑i 2
⎪n i =1⎩最大似然估计的步骤:
(1) 写似然函数:若总体是连续的随机变量,则L (λ) =∏f (x i , λ)
i =1n n
若总体是离散的随机变量,则L (λ) =∏p (x i , λ)
i =1
(注:离散情形,似然函数就是样本出现的概率)
(2) 对似然函数两边取对数;
(3) 对参数求导数,并令导数等于0 (4) 由此解得参数的最大似然估计值。 区间估计的步骤:
若已知σ ,则μ的置信水平为1-α的置信区间为 (x -
σ0
n
u α, x +
2
σ0
n
u α)
2
查表,将所有的数据代入上式,求出区间即可。
若未知σ ,则μ的置信水平为1-α的置信区间为 (x -
s n
t α(n -1) , x +
2
s n
t α(n -1))
2
查表,将所有的数据代入上式,求出区间即可。 (对参数σ的区间估计类似可求出)
2
假设检验的步骤:(对参数μ) (1) 根据题意提出原假设与备择假设 (2) 根据题意选取统计量;
已知σ,则应该选择u 统计量 u =
X -μ0
~N (0, 1)
n
σ未知,则应选择统计量 t =
X -μ
~t (n -1)
S /n
(3) 计算统计量的观察值
(4) 查临界值,判断统计量的观察值是否在拒绝域里,下结论。
(对参数σ的假设检验类似可得)
2
例: 甲袋中有5只红球10只白球,乙袋中有8只红球6只白球,现先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解: 设A :从甲袋中取出放入乙袋的是红球,B :从乙袋中返还甲袋的是红球, C : 这一个来回后甲袋中红球数不变,则
C =AB +A B ,
从而
P (C ) =P (A B ) +P (A B ) =P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )
=
591085⋅+⋅=. 151515159
例 高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),设每发炮弹击中敌机的概率均为0. 3 ,又若敌机中一弹,其坠落的概率为0. 2,若敌机中两弹,其坠落的概率为0. 6,若敌机中三弹,则必然坠落。求敌机被击落的概率。
解: 设事件A 表示敌机被击落,事件B i 表示敌机中i 弹。i =1, 2, 3
12
则P (B 1) =C 3 0. 31(1-0. 3) 2=0. 441 P (B 2) =C 30. 32(1-0. 3) 1=0. 1893 P (B 3) =C 30. 33(1-0. 3) 0=0. 027
P (A B 1) =0. 2 P (A B 2) =0. 6 P (A B 3) =1 所以,
P (A ) =P (B 1) P (A B 1) +P (B 2) P (A B 2) +P (B 3) P (A B 3)
=0. 44⨯10. 2+0. 189⨯0. 6+0. 027⨯1 =0. 088+ 20. 113+40. 027
=0. 2286⎧0⎪2⎪x
例:设X 的分布函数F (x ) =⎨2
⎪R ⎪⎩1
解: 当0
x
0≤x
x 22x
f (x ) =F '(x ) =(2) '=2
R R
当x ≤0, x ≥R 时,f (x ) =0
在x =R 处导数不存在,但规定为零
⎧2x ⎪
∴f (x ) =⎨R 2
⎪⎩0
0
⎧
a cos x ⎪⎪
例:设连续随机变量的概率密度 f (x ) =⎨
⎪0⎪⎩
x ≤x >
π
2
π
2
求:(1) a (2) F (x ) (3) P (0
π
2π
4
)
π
解: (1)
⎰
+∞
π
22=2a (对称性质) f (x ) dx =⎰πa cos xdx =2a ⎰cos xdx =2a sin x -∞
-
2
由
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =1 得: 2a =1∴a =
1
2
(2)当x ≤-π
2
时,F (x ) =
⎰
x
-∞
f (x ) dx =0
当
-
π
2
≤x ≤
π
2
时
x
分段函数积分F (x ) =⎰=⎰
-π
20dx +⎰x
11x
-∞
f (x ) dx
-∞
-π2
2cos xdx =2⎰-πcos xdx 2=
12sin x x
1-π=2
2(sinx +1) 当 x >
π
2
时 ,
π
F (x ) =⎰x
f (x ) dx =⎰21
-∞
π
sin xdx =1 -2
2⎧
⎪0x
2∴F (x ) =⎪⎨1
(1+sin x ) x ≤
π
⎪2
2⎪
⎪⎩
1x >π2π
π
(3) P (0
π
4
) =⎰40
f (x ) dx =⎰4
10
2cos xdx =
2
4
或 P (0
π
4) =F (π4) -F (0) =12(1+sin π12
4) -2(1+sin 0) =
4
例:X ~e (1)
,求Y =
密度函数
⎧e -x
解 :f (x ) =⎨
x >0
⎩0
x ≤0
F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P ≤y )
当 y
,
当 y ≥0时
,F Y (y ) =P y ) =P (x ≤y ) =
2
⎰
y 2
-∞
f (x ) dx =⎰e -x dx
y 2
y
⎪2
∴F Y (y ) =⎨y -x
e dx y ≥0⎪⎩⎰0
⎧⎪0
∴f Y (y ) =F Y '(y ) =⎨y 2
-2ye ⎪⎩
y
⎧6x (1-x ) , 0
例:设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨
其它. ⎩0,
1
求:(1) E (X ) , D (X ) , (2) P (X >)
2
解:(1)
1⎤111⎡1
E (X ) =⎰xf (x ) dx =⎰x 6x (1-x ) dx =6⎰(x 2-x 3) dx =6⎢x 3-x 4⎥=6(-) =
-∞004⎦0342⎣3
+∞
1
1
1
1⎤113⎡1
E (X 2) =⎰x 2f (x ) dx =⎰x 26x (1-x ) dx =6⎰(x 3-x 4) dx =6⎢x 4-x 5⎥=6(-) =
-∞005⎦04510⎣4
+∞
1
1
1
D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =
311
-= 10420
(2)
+∞111⎤11⎤⎡1⎡11
P (X >) =1f (x ) dx =16x (1-x ) dx =6⎢x 2-x 3⎥=6⎢(-) -(-) ⎥
23⎦1824⎦⎣2⎣2322
21
121 =6(-) =
6242
设随机变量X 的概率密度为
⎧3x (1-x ) , 0≤x ≤1,
⎪f (x ) =⎨k x , 1
⎪0, 其它. ⎩
求(1) 常数k 的值;(2) E (X ) ;(3)D (X ) .
解:(1) ⎰-∞f (x ) dx =3⎰0x (1-x ) dx +⎰1k x dx =
+∞
1
2
1k 2213k
+x 1=+, 2222
由⎰-∞f (x ) dx =1知
+∞
+∞
13k 1+=1,解得 k =.
322
1
2
122
x dx ⎰13
[1**********]7
. =3(x -x ) 0+x 1=+=
3494936+∞2112323
(3) E (X ) =⎰-∞x f (x ) dx =3⎰0x (1-x ) dx +⎰1x dx
3
11142357=3(x 4-x 5) 1+x 1=+=, , 0
45122045
737222
D (X ) =E (X ) -(E (X )) =-()
536
( 2 ) E (X ) =⎰-∞xf (x ) dx =3⎰0x (1-x ) dx +
⎧e -y , x >0, y >x ;
例: 设随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) =⎨,
其它. ⎩0, 计算:(1)边缘概率密度f X (x ) , f Y (y ) (2)X 与Y 是否相互独立?为
什么?
解 (1)当x ≤0时 , f X (x ) =0 当x >0时, f X (x ) =⎰
+∞-∞
f (x , y ) dy =⎰e dy =-e
x
+∞
-y
-y +∞
x
=e -x
⎧0, x ≤0;
所以 f X (x ) =⎨-x
⎩e , x >0.. 当y ≤0时 , f Y (y ) =0
当y >0时,f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎰e -y dx =ye -y
-∞
+∞
y
⎧0,
所以 f Y (y ) =⎨-y
⎩ye ,
(2)因为f X (x ) f Y (y ) ≠f (x , y ) 所以 X 与Y 不相互独立。
y ≤0; y >0..
例 设随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为:
ππ⎧
cos x cos y , 0≤x
f (x , y ) =⎨22
⎪其它. ⎩0,
求:(1)X 的边缘概率密度f X (x ) , (2)P (X +Y ≤解:(1)f X (x ) =⎰f (x , y ) dy
-∞+∞
π
2
)
当x 当0≤x ≤
π
2
时,f X (x ) =0
π2
π
2
时,f X (x ) =⎰cos x cos y dy =cos x ⋅(siny ) 02=cos x
π
π⎧
cos x , 0≤x
所以,f X (x ) =⎨2
⎪其它. ⎩0,
(2)P (X +Y ≤
π
π
2
ππ
) =
x +y ≤
⎰⎰π
f (x , y ) dxdy =⎰2dx ⎰2cos x cos y dy
-x
2
=⎰c o x s s i n y
20
π20
-x
π20
dx =⎰c o x s s i -x ) dx =⎰c o s x dx =⎰
2
20
π
π
2
π20
π
1+c o 2s x x 1π
=+s i n 2x 02=2244
⎧(α+1) x α
例: 总体X 的概率密度为 f (x ) =⎨
⎩0
矩估计量. 解: E (X ) = 令
0
,α是未知参数 ,求α的
⎰
+∞
-∞
x ⋅f (x ) dx =⎰x ⋅(α+1) x αdx =(α+1) ⎰x α+1dx =
11
α+1
α+2
α+1
=X α+2
2X -1
1-X
= 由此解得α 的矩估计量为,α
⎧λe -λ(x -2) , x >2;
例 设总体的X 概率密度为f (x , λ) =⎨, 其中λ>0为未知参
x ≤2. ⎩0, 数 ,如果从该总体中取得简单随机样本观测值x 1, x 2, , x n , ,求参数λ的最大似然估计值。
解 似然函数为L (λ) =∏f (x i , λ) =∏λe
i =1
i =1
n n
-λ(x i -2)
=λe
n
-λ(
∑x i -2n )
i =1
n
取对数得 ln L (λ) =n ln λ-λ(∑x i -2n )
i =1
n
d ln L (λ) n
对 λ求导得 =-(∑x i -2n )
d λλi =1n
d ln L (λ) n
=0 即 =∑x i -2n 令
d λλi =1
n
从而得到λ的最大似然估计值为 λ=
∧
n
∑x
i =1
n
=
i
-2n
1
x -2
例: 设总体X ~N (μ, 1. 22) ,μ为未知参数.
(1)已知从该总体中随机抽取25个观测值的平均值为8. 20,求μ的置信水平为0. 99的置
信区间(结果保留四位小数).
(2)要使μ的置信水平为0. 99的置信区间长度不超过1,问样本容量最少应为多少? 解:(1) 已知σ ,则μ的置信水平为1-α的置信区间为
(x -
σ0
n
u α, x +
2
σ0
n
u α)
2
n =25,,1-α=0. 99,α=0. 01,σ0=1. 2,u α2=u 0. 005=t 0. 005(∞) =2. 58,于是
σ0
n
又=8. 20,于是置信区间为
u α=
2
1. 2
⨯2. 58=0. 6192, 25
(x -
σ0
u α, x +
2
σ0
, 8. 20+0. 6192), u α) =(8. 20-0. 6192
2
, 8. 8192). 即(7. 5808
(2)要使置信区间长度 2l =2⋅
σ0
n
u α=
2
2⨯1. 26. 192
⨯2. 58=≤1 n n
n ≥6. 192,n ≥38. 34,样本容量最少为39 .
例:从一批火箭推力装置中抽取8个进行试验,测试其燃烧时间(s ),经计算得样本均值=51. 88(s ),样本标准差S =0. 66(s ),设燃烧时间服从正态分布
N (μ, σ2) ,求燃烧时间均值μ的置信水平为0. 90的置信区间。 解 未知σ ,则μ的置信水平为1-α的置信区间为 (x -
s n
t α(n -1) , x +
2
s n
t α(n -1))
2
因为置信水平1-α=0. 90 ,所以α=0. 10 自由度n -1=7, 查表
t α(n -1)) =t 0. 05(7) =1. 895
2
s n
t α(n -1)) =
2
0. 66⨯1. 895=0. 4422
) =(51. 4378, 52. 3222) 从而置信区间为(51. 88-0. 4422, 51. 88+0. 4422
例: 设总体X 服从正态分布N (μ, 0. 22) ,现从中抽取样本容量为9的样本。测得样本均值=36. 02,样本标准差S =0. 4。问在显著性水平0. 05下,可否认为总体均值μ为31. 60? 解 根据题意待检验的假设为 H 0:μ=μ0=31. 60 已知σ,则应该选择u 统计量 u =
X -μ0
H 1:μ≠μ0=36. 60
~N (0, 1)
n
计算u 统计量的观测值为 36. 02-36. 10
u ==-1. 47
0. 9 查表u α=u 0. 025=1. 96
2
因为u =1. 47
2
即 即认为总体均值μ=31. 60
例: 已知全国高校男生百米跑平均成绩为μ0=14. 5(秒).为了比较某高校与全国高校的男子百米跑水平,现从该校随机抽测男生13人的百米跑成绩均值为14. 1(秒),标准差为s =0. 5477(秒).试问:在显著性水平α=0. 05下,可否认为该校男生的百米跑平均成绩与全国高校男生百米跑平均成绩有显著差异?
解:待检验的假设为:H 0:μ=μ0=14. 5; H 1:μ≠μ0=14. 5; 显著水平α=0. 05,标准差为s =0. 5477,n =13, σ未知,故选择统计量 t =
X -μ
~t (n -1)
S /n
计算t 统计量的观测值为:t =
14. 1-14. 5
=-2. 633,
0. 5477/2
2
当α=0. 05时,t 0. 025(12) =2. 179,拒绝域为:(-∞, -t α, ) (t α, +∞)
9 (2. 17, 9+∞) , t =-2. 633在拒绝域内,拒绝原假设,即认为该校即 (-∞, -2. 17)
男生的百米跑均值与全国高校有显著差异。