量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性
5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明
d2
- A=A,H,H
dt2
2
证.若力学量A不显含t，则有令A,H=C
dA1
=[A,H], dti
d2A1dC11
C,H, ==C,H=-则
i dti dt2 2
d2
∴ - A=A,H,H 2
dt
2
5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，证：束缚定态为:：ψn,t=ψne
n
n
dA=0 dt
)。
∂
在束缚定态ψ,t)，有Hψ,t)=i ψ,t)=Eψ,t)。
∂t
∂
=Eψr,t)。 其复共轭为Hψr,t)=-i r)e
∂t
-iEntn
n
n
*
*
*
n
n
iEnt*n
n
)
∙dA⎛dA⎫d⎛∙⎫⎛⎫
= ψn,ψn⎪=(ψn,Aψn)- ψn,Aψn⎪- ψn,Aψn⎪ dt⎝dt⎝⎭⎝⎭⎭dt
=
dA⎛11⎫⎛⎫
- Hψn,Aψn⎪- ψn,AHψn⎪ dt⎝i i ⎭⎝⎭
∂A111
+A,H+(ψn,HAψn)-(ψn,AHψn) ∂ti i i
1
A,H-1(ψn,(AH-HA)ψn)=1A,H-H,A=0。 i i i
==
)
5.3）Dx(a)=exp⎨-a
⎧
⎩∂⎫
⎬=exp{-iaPx }表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）∂x⎭
ψ(x)=eikxφk(x),φk(x+a)=φk(x)
是Dx(a)的本征态，相应的本征值为e证：Dx(a)ψ(x)=ψ(x+a)=e
ik(x+a)
-ika
φk(x+a)
=eika⋅eikxφk(x)=eikaψ(x),证毕。
5.4）设m表示Lz的本征态（本征值为m ），证明
e-ikLzϕ e
-ikLyθ
m
是角动量L沿空间(θ,ϕ)方向的分量Ln
Lxsinθcosϕ+Lysinθcsinϕ+Lzcosθ=Ln=L⋅n
的本征态。 证：算符e
-ikLyθ-ikLzϕ相当于将体系绕y轴转θ角，算符e
相当于将体系绕z轴转ϕ角，m原为Lz的本征态，本
'
征值为m ，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的(θ,ϕ)方向，即方向，Ylm=变成了ψ，即变成了Ln的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m 。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）
P2
+V。证明下列求和规则 5.5）设Hamilton量H=2u
2
∑(En-Em)xnmn
)
=
2
u 。
x是r的一个分量， ∑是对一切定态求和，En是相应于n态的能量本征值，Hn=Enn。
n
证： [x,H]=
11i 2
x,px=⋅2i px=px （∆） 2u2uu
[]
A=
2(E-Ex∑nmnmn
=∑mxnn(En-Em)m
n
=∑mxnnHxm-nxHm
n
]
=-∑mxnn[x,Hm=-
n
(∆)
1i 2
mxnnx,Pm=-∑∑mxnnPxm x
2unun
[=-
i
mxPxn ∑un
又A=
∑
n
m(En-Emnnxm=∑m[x,Hnnxm=-
n
(∆)
i
mxPxn ∑un
-i 2i i
∴ 2A=∑m(Pxx-xPx)m=-∑m[x,Pxm=⋅i =，
uuunun∴ A=
2
∑(En-Em)xnmn
=
2
u。
不难得出，对于Y,Z分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设F,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
)
∑(En-Ek)Fnk
n
2
=
1
k[F,[H,F]k （1） 2
证：式（1）左端=A=
令
∑(E
n
n
-EkkFnnFk=∑kFnn(HF-FHk
n
=k[F,[H,F]]k （2）
计算中用到了公式
∑n
n
n=1。
由于H,F是厄米算符，有下列算符关系：
*[H,F]=(HF-FH)=F+H+-H+F+=FH-HF=-[H,F] （3）
+
+
式（2）取共轭
()，得到
+
+
A=A+=k[F,[H,F]k
结合式（2）和（4），得
=k[H,F]F+k=-k[H,F]Fk （4）
+
(3)
A=
∑(En-Ek)Fnk
n
2
=
1
k[F,[H,F]k 2
证毕。
5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度υ相对于惯性参照系K运动（沿x轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：
'
x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'。 （1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
V'x',t'=V'x'-υt,t=V(x,t) （2）
()(
'
)
∂'⎛ 2∂2'⎫'
⎪证明schrödinger方程在K参照系中表为 i ψ= -+V 2m∂x'2⎪ψ ∂t⎝⎭
⎛ 2∂2⎫∂
⎪-+V 在K参照系中表为 i ψ= 2m∂x2⎪ψ ∂t⎝⎭
⎡⎛mυmυ2
其中 ψ=exp⎢i x-2
⎣⎝⎫⎤'t⎪⎪⎥ψ(x-υt,t) ⎭⎦
'
证：由波函数的统计解释，ψ和ψ的意义完全相同。
(x,t)=w(x,t)， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度；
2
'(x',t'=w'(x',t')，是t'时刻在x'点找到粒子的几率密度。
2
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即
w(x,t)=w'x',t' （6）
从（1）式有 w'(x-υt,t)=w(x,t) （6’） 由此可以得出， ψ和ψ'两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以
()
ψ(x,t)=eiSψ'(x',t')=eiS(x,t)ψ'(x-υt,t) （7） ψ'(x-υt,t)=e-iS(x,t)ψ(x,t) （7）
∂∂∂∂∂∂2∂2
=+, 由（1）式， , '=v=2
'2∂x∂t∂x'∂x∂t∂x∂x
2∂2'''''''''
x,t+Vx,tψx,t （3）式变为：-
2m∂x2
()()()
=i υ
将（7’）代入（8）式，可得
∂'''∂
ψx,t+i ψ'x',t'∂x∂t
()() （8）
=i
∂ψ
∂t
2
2∂2ψ 2∂2S 2⎛∂S⎫∂S∂S⎤⎛ ∂S⎫∂ψ⎡
()-+i -υ+Vx,t+i+- υ- ⎪ ⎪⎢⎥ψ22
2m∂x2m∂t2m⎝∂x⎭∂x∂t⎥⎝m∂x⎭∂x⎢⎣⎦
（9）
选择适当的S(x,t)，使得（9）→（4），
∂S
-υ=0 。 （10） m∂x
2∂2S 2⎛∂S⎫∂S∂Si⋅2+- =0 （10’） ⎪- υ2m∂x2m⎝∂x⎭∂x∂t
从（10）可得 S=
2
mυ
x+f(t) 。 （11）
，可得 f(t)是τ的任意函数，将（11）代入（10’）
∂fmυ2
=- ∂t2
mυ2
t+C 。 积分，得 f(t)=-2
C为积分常数，但υ=0时，K'系和K系重合，ψ'应等于ψ，即S应等于0，故应取C=0，从而得到
mυmυ2S=x-t （12）
2
代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
ψ'=ψexp⎢ mυx-mυ2t⎪⎥ （13）
逆变换为 ψ=ψ'eiS=ψ'exp⎢ mυx'+
⎡1⎛⎣i ⎝
12
⎫⎤⎭⎦
⎡i⎛⎣ ⎝1⎫⎤
mυ2t'⎪⎥ （13’） 2⎭⎦
“，”“，”相当于式（13）中的υ→-υ，带的量和不带的量互换。
讨论：S(x,t)的函数形式也可用下法求出：
因S(x,t)和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定S(x,t).
'
沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
P'=P-mυ
P'P211'
E==-υP+mυ2=E-υP+mυ2 （14）
2m2m22
据此，K系和K系中相应的平面波波函数为
'
2
ψ=ei(Px-Et ， ψ'=ei(Px-Et （15）
''
''
（1）、（14）代入（15），即得
ψ'=ψexp⎢ mυx-mυ2t⎪⎥
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度υ，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
'
⎡1⎛
⎣i ⎝
12
⎫⎤⎭⎦