初中数学知识点总结(知识结构)

初中数学知识结构

第一部分 代数部分 运算符：数和式 关系符：方程、不等式、函数

一、实数 二、代数式

（一）整式 （二）分式 （三）二次根式 三、方程与方程组 （一）一元一次方程 （二）一元二次方程

（三）可化为一元一次方程的分式方程 （四）二元一次方程组 四、不等式与不等式组 五、函数及其图象

（一）平面直解坐标系和函数的有关概念 （二）一次函数（正比例函数） （三）反比例函数 （四）二次函数

第二部分 几何部分

一、图形的认识

（一）点、线、面 （二）线段、射线、直线和角 （三）相交线、平行线 （四）三角形 （五）四边形 （六）圆 （七）尺规作图 （八）视图与投影 二、图形与变换

（一）图形的轴对称与中心对称 （二）图形的平移和旋转 （三）图形的相似

（四）直角三角形中边角之间的关系 三、图形与坐标 四、图形与证明

第三部分 统计与概率部分

一、统计 二、概率

附：思想方法

一、转化思想（文字转成代数式，已知到间接已知，未知列另一未知） 二、数形思想（数是形的抽象，形是数的直观） 三、分解思想（纵向分步，横向分块）

四、递进思想（对前面的思想方法进行拓展推广加深） 五、分类讨论（分别讨论各种可能情况）

第一部分 代数部分 数和式部分知识结构

（初中7上）第1章 有理数

一、有理数的有关概念

1、有理数：正整数（即不为0的自然数）、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称有理数。一切有理数都可化成分数形式。

2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。有理数可在数轴上用点表示。 3、绝对值：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。 4、相反数：绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。 5、倒数：如果两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数。0没有倒数。

二、有理数大小的比较

1、直接比较法：正数大于0；0大于负数；正数绝对值大的数大；负数绝对值大的数小。 2、数轴比较法：数轴右边的数大于数轴左边的数。 3、相减法；相除法；通分法；找中间量法。

三、有理数的运算

1、有理数相加减：减去一个数等于加上这个数的相反数。（同号相加和异号相加） 2、有理数相乘除：除以一个数等于乘以这个数的倒数。（同号相乘和异号相乘） 3、有理数的乘方：a 幂 a 底数 n 指数

4、混合运算：（1）括号先里后外；（2）乘方；（3）乘除从左到右；（4）加减从左到右。

n

四、运算律

1、加法交换律和加法结合律 2、乘法交换律和乘法结合律 3、乘法对加法的分配律

五、科学计数法

A =a ⨯10n 其中：1≤a

（初中7上）第2章 代数式

一、代数式的有关概念

1、代数式：用运算符把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。将数学语言用符号表示叫列代数式；将代数式用数学语言表示叫说代数式意义。

2、单项式：数与字母只进行了乘法（包括乘方）运算的代数式叫作单项式。其中：与字母相乘的数叫作单项式的系数（系数要带符号）；所有字母的指数和叫作单项式的次数。单独一个数是0次单项式；单独一个字母是系数为1的单项式。

3、多项式：几个单项式的代数和叫作多项式。其中：每个单项式叫作多项式的项；不含字母的项叫作常数项。次数最高的项的次数叫作多项式的次数。 4、整式：单项式和多项式统称为整式。

5、同类项：只有系数不同的单项式互称同类项。即：字母相同并且字母的指数也分别相同的项。

二、合并同类项 步骤：去括号；标同类项；系数合并。

三、代数式的值 用数值代替字母，求出代数式的值。注意化简和符号问题。

（初中7下）第4章 多项式的运算

一、多项式的加减运算 实质是合并同类项 二、多项式的乘法运算

1、单项式乘以单项式：系数（带符号）相乘，同底数幂的指数相加。 2、单项式乘以多项式：乘法对加法的分配律（带符号）。 3、多项式乘以多项式：分别（带符号）相乘再相加。

三、乘法公式 平方差公式和完全平方公式。

a 2-b 2=(a +b )(a -b ) (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2

（初中8上）第1章 实数

一、平方根

1、平方根的概念：若r =a ，则r 是a 的一个平方根。a 的平方根有两个：±

2

a

2、平方根的性质：正数的平方根有两个（互为相反数）；0的平方根是0；负数没有平方根。 3、开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。注意隐含条件和与算术平方根区别。

二、立方根

1、立方根的概念：若b =a ，则b 是a 的立方根。a 的立方根记作a 2、立方根的性质：正数的平方根正数；0的平方根是0；负数的立方根是负数。 3、开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方。推广：n 次方根的概念性质和计算。

3

三、实数

1、有理数：整数和分数统称有理数。 2、无理数：无限不循环小数叫作无理数。

3、实数：有理数和无理数统称为实数。实数和数轴上的点一一对应。 4、比较实数大小：在比较有理数大小方法基础上加一个“乘方”方法。

5、非负数：如绝对值、偶次方、算术平方根。非负数的和为0则每个非负数都为0。 6、带绝对值和偶次方平方根的式子化简的方法。

四、平面直角坐标系

1、概念：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴构成平面直角坐标系。 确定平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应。

2、分区：平面直角坐标系分一、二、三、四象限和x 轴、y 轴共六个区域。除原点外没有公共点。

（初中8下）第1章 因式分解

一、分解因式

1、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。 2、因式：几个整式相乘，每个整式叫作它们的积的因式。 3、公因式：几个整式公有的因式，即为这几个整式的公因式。

二、分解因式的要求

1、结果一定要以积的形式表示； 2、每个因式必须是不能再分解的整式。

三、分解因式的方法

1、提公因式法：系数是最大公约数；字母是公有的；指数是最低的。

提公因数时要全面干净，不少项不错号。

公因式可以是单项式（包括常数）也可以是多项式。

2、公式法：平方差公式和完全平方公式。

a 2-b 2=(a +b )(a -b ) (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2

公式法中的字母可以是单项式（包括常数）也可以是多项式。

3、十字交叉法：前后积，交叉和。（也叫配平方法：先配完全平方，再配平方差） 4、分组分解法：注意朝提公因式法、公式法、十字交叉法方向分组处理。

四、分解因式的步骤

1、先看各项有无公因式（注意系数和符号）；

2、根据需要可把某一整体当作一项（或用一个字母代表）；

3、注意配置和变形（如数的变换，负号变换，适当折开，合理组合）； 4、要分解到不能再分解为止。

（初中8下）第2章 分式

一、分式的概念 分式是两个整式相除的商式，分母中必须有字母，隐含有分母的值不为0。二、分式的性质

1、分式的分子与分母同乘一个非零多项式，所得分式与原式相等。 2、分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原式相等。

三、分式的乘除运算

1、分式的乘法运算：分子乘分子，分母乘分母，再约去公因式。 2、分式的除法运算：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒式。

3、分式的乘方：分子分母各自乘方。(a b ) n =a n

b

n (b ≠0)

4、注意事项：整式可按分母为1的式子处理；结果必须最简分式，且分母不能带负号。

四、幂的运算

1、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

a m ⋅a n =a m +n (a m ) n =a m ⋅n (ab ) n =a n b n

2、同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

a m m --n 1n 1a n

=a n (a ≠0) a 0

=1 (a ≠0)

a =(a ) =a n (a ≠0) 五、分式的加减运算

1、约分：约去分子和分母的公因数。

2、通分：把异分母的分式化成同分母的分式（最简公分母）。 3、同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。

4、异分母分式相加减：先通分，化成同分母分式，再相加减。

六、分式的混合运算

注意三个问题：运算规则；运算顺序；运算律。

七、代数式求值

已知代数式的值，求另一代数式的值的求值问题。 直接代入；间接代入；条件转化；凑元方法

（初中8下）第4章 二次根式

一、二次根式

1、概念：形如a (a ≥0) 的式子。是指非负数（或代数式）的算术平方根。

判断二次根式时不能化简，二次根式隐含有根式里面的数或式大于等于0。

2、说明：二次根式是式子，平方根是结果（有两个），开平方是运算（结果只有一个）二、二次根式的性质

(a ) 2=a (a ≥0) a 2=a

a ⋅b =a ⋅ (a ≥0, b ≥0) a b =a

(a ≥0, b >0) 三、二次根式的化简

1、最简二次根式：（1）被开方数中不能含有分母；（2）不能含有开得尽的因数或因式。2、化简步骤：（分解 移出 去分母） （1）小数和带分数都要化成假分数； （2）多项式要因式分解及化简； （3）分子分母能移出的移出； （4）分母有理化（即不带根号） （5）约分化简。

四、二次根式的运算 （把根式按“单项式”处理）

1、加减运算：合并同类根式。 2、乘除运算：a ⋅=

a ⋅b (a ≥0, b ≥0)

a b

=

a

b

(a ≥0, b >0) 3、混合运算：运算顺序，运算性质，运算律。 4、应用：已知a , b 一般可间接已知a +b , a -b , ab ,

a b

, a 2

+b 2

第一部分 代数部分 方程、不等式和函数部分知识结构

（初中7上）第4章 一元一次方程

一、方程的有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫方程。

2、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值。 3、解方程：求方程的解的过程。

4、一元一次方程：只有一个未知数且次数为1的方程。

二、解方程的原理（等式的性质）

1、等式两边同加或同减一个数或式，等式仍然成立。

2、等式两边同乘或同除一个数或式（不能为0），等式仍然成立。

三、解方程的步骤

(1)去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并；（5）系数化为1

四、方程应用

1、理解题意：文字代数法；图示法；线示法；列表法； 2、设未知数：一般直接设置，也可间接设置。

3、找等量关系：分析不变量；分析同一变量的不同表示；总量与分量；利用条件和加新重复。4、列解方程：按等量关系列方程和解方程。 5、检验合理性：保证有实际意义。 6、作答：写出答案，注意单位和合理性。

五、常见应用实例

行程问题；工程问题；流水问题；价钱问题；利息问题；利润问题；比例问题；等积量问题。六、分式方程

1、概念：分母里含有未知数的方程。隐含有分母不为0

2、解法：先乘公分母化为整式方程，再解整式方程，最后验根。 3、产生增根的原因：乘公分母化为整式方程时不能保证其值不为0。

增根一定是公分母为0时产生的。

4、整式方程的根、分式方程的根、增根和无解的关系。 （1）整式方程的根不一定是分式方程的根。 （2）分式方程的根一定是整式方程的根。 （3）满足整式方程但不满足分式方程的根叫增根。

（4）满足整式方程的根全都不满足分式方程（或整式方程本身无解）则分式方程无解。 5、应用：先设未知数，再依题意列方程，然后解方程，最后验根并分析是否符合实际。

（初中7上）第5章 一元一次不等式（分式方程）

一、不等式的有关概念

1、不等式：用不等号连接式子叫不等式。

2、不等式的解：能使不等式成立的每个值叫不等式的一个解。全部解构成解集。 3、解不等式：求不等式的解集的过程。

4、一元一次不等式：只有一个未知数且次数为1的不等式。

二、解不等式的原理（不等式的性质）

1、不等式两边同加或同减一个数或式，不等式号方向不变。 2、不等式两边同乘或同除一个正数，不等式号方向不变。 3、不等式两边同乘或同除一个负数，不等式号方向改变。

三、解不等式的步骤

(1)去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并；（5）系数化为1

四、不等式应用

1、理解题意：文字代数法；图示法；线示法；列表法； 2、设未知数：一般直接设置，也可间接设置。

3、找不等关系：要结合生活经验和隐含条件，要考虑“本点”问题，利用条件和加新重复。 4、列解不等式：结果要在数轴上图示，要标清“本点”，能合并的要合并。 5、结合实际确定答案并作答：写出答案，注意单位和合理性。

五、常见应用实例

年龄问题；地板砖问题；知识竞赛问题。

（初中7下）第1章 一元一次不等式组

一、一元一次不等式组的有关概念

1、一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 2、一元一次不等式组的解集。所有一元一次不等式的解集的公共部分。

二、解一元一次不等式组的步骤

(1)求各个不等式的解集；（2）在同一数轴上表示；（3）写出公共部分（可能无解）。

四、一元一次不等式组的应用

1、理解题意：文字代数法；图示法；线示法；列表法； 2、设未知数：一般直接设置，也可间接设置。

3、找不等关系：要根据题意列出题中所有数量关系。注意隐含的不等关系！ 4、列解不等式组：结果要在数轴上图示，要标清“本点”，写出公共部分。 5、检验合理性并作答：写出答案。注意本点，无解及全体实数解等问题。

五、二元一次混合式的处理

多未知数的混合式组（有等式也有不等式）时，利用等式代入消元！

（初中7下）第2章 二元一次方程组

一、二元一次方程组的有关概念

1、二元一次方程：含有两个未知数且每项次数都是1的方程叫二元一次方程。 2、二元一次方程组的解：能同时满足两个方程的解。

二、二元一次方程组的解法

1、代入消元法： 2、加减消元法：

三、实际应用

1、理解题意：文字代数法；图示法；线示法；列表法； 2、设两个未知数：一般直接设置，也可间接设置。

3、列两个方程：依题意找两个等量关系；注意利用条件和加新重复。注意隐含的等量关系！ 4、列解方程组：按等量关系列方程组和解方程组。 5、检验合理性：保证有实际意义。 6、作答：写出答案，注意单位和合理性。

五、常见应用实例

行程（相遇追及）问题；工程问题；几何问题；溶液问题；和差倍分问题；利率、利润、盈亏、增长率等概念。

（初中9上）第1章 一元二次方程

一、概念

1、一元二次方程：只有一个未知数且未知数最高次数是2的整式方程。 2、方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。 3、一般形式：ax

B

2

+bx +c =0 (a ≠0)

注：Ax +Cx +D =0 是一元一次方程要分三种情况讨论： （1）A=0且C ≠0；（2）B=1且A+C≠0；（3）B=0且C ≠0

二、原理

1、直接开平方法：A =B A =±B

2、因式分解法：（提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字交叉法）

2

2

-b ±b 2-4ac 3、公式法（万能法）：x 1, 2=∆=b 2-4ac ≥0

2a b c 11

4、当 ∆≥0时，x 1+x 2=- x 1⋅x 2= 据此可算x 12±x 22x 1-x 2-等等。

a a x 1x 2

5、当 ∆≥0时，ax +bx +c =a (x - x 1)(x -x 2)

2

三、方法

1、换元法：把一个复杂问题转化成几个简单问题分别解决。转化步骤：找元、换元、解元、元替换、检验。如解方程(x 2-2) 2-2(x 2-2) +3=0 有的需要先凑元

2、去绝对值法：有绝对值的都要分情况讨论去绝对值。如解方程2x +5x -2-12=0 3、乘公分母法：结果要验根（使公分母为0的根是增根）。如解方程

2

24x 1

+2+=0 2-x x -4x +2

四、应用

1、审（理解题意）：文字代数法；图示法；线示法；列表法； 2、设未知数：一般直接设置，也可间接设置。

3、列（找等量关系）：找不变量；找同一变量的不同表示；总量与分量。 4、解方程：按等量关系列方程和解方程。

5、验（检验合理性）：方程的解既要有数学意义（不是增根），又要有物理意义（符合实际）。 6、答：写出答案，注意单位。

五、常见应用实例

增长率问题；几何（面积体积）等积问题；数字问题。

注意：一般要利用全部已知条件，重复利用已知条件时要加新条件。

函数部分：

学习函数的一般方法：利用数形结合来理解记忆。

已学函数：一次函数（含正比例函数） 反比例函数 三角函数 二次函数 知识内容：概念 原理 方法 应用

函数基础

1、变量：取值会发生变化的量。

2、函数：变量y 随着变量x 的变化而变化，并且x 的每一个值，都有唯一的一个y 值与它对应。则称y 是x 的函数。函数要标明有x 的取值范围。（自变量 因变量 函数值 定义域 值域） 3、函数的表示方法：解析法也即公式法（准确） 列表法（直接） 图象法（直观） 4、函数图象与性质：表达式 图象 性质

5、从解析到列表到图象的转换：公式 列表 描点 连线

（初中8上）第2章 一次函数（含正比例函数）

一、概念

1、一次函数的概念：形如y =kx +b (k , b 为常数且的函数叫作一次函数。 k ≠0）2、正比例函数的概念：当b=0时的一次函数叫作正比例函数。

二、原理（数形结合理解）

1、图象：是一条斜率为k 截距为b 的直线。 2、性质：

（1）与坐标轴的交点：（0，b ）, （-

b

，0） k

（2）k 的正负与增减关系：k>0是增函数，k

（4）图象的平移：右移x ⇒(x -a ) 和上移y ⇒(y -a ) 3、多个一次函数图象的位置关系

（1）平行：两直线的斜率相等。特别地：当截距也相等时重合。 （2）相交：两直线的斜率不等。交点：将两函数视作方程求方程组的解

三、方法

1、函数画图：列表描点画图。

2、用待定系数法求一次函数：设解析式，确定满足条件的最简两点，求出系数。

四、应用

1、了解函数、方程和不等式的关系。 2、用图象法解二元一次方程的近似解。 3、用图象法解不等式。 4、比较不同区间的函数值大小

（初中9上）第4章 锐角三角函数（在直角三角形中，利用两条线段的比来定义）

一、正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数

对边邻边对边邻边

cos α= tan α=cot α= 斜边斜边邻边对边

2、特殊角的三角函数值： 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ （数形结合记忆）

1、定义：sin α=

3、函数值的范围级随角度变化的规律（数形结合理解）。

二、函数关系

sin α= cos(90︒-α) cos α= sin(90︒-α) 1、互余关系：

tan α= cot(90︒-α) cot α= tan(90︒-α)

2、平方关系： sin α+ cos α =1 3、倒数关系： tan α⋅cot α= 1 4、商关系： tan α=

2

2

sin αcos α

cot α= cos αsin α

三、解直角三解形

1、概念：在直角三角形中，除直角外还有5个元素（3边2角），只要知道其中两个元素（至少一条边）就可求出其他3个元素。

2、原理：边关系（勾股定理） 角关系（互余定理） 边角关系（三角函数） 3、方法：根据实际先画草图，标明已知确定未知。注意利用方程解题方法。 4、应用：坡角 坡度（ 坡比 i =

h

）仰角 俯角 方向角 前斜坡7度，楼梯间30度 l

（初中9下）第1章 反比例函数

一、概念

形如y =

k

(k 是常数且k ≠0）的函数叫做反比例函数。 x

二、原理（数形结合理解）

1、图象：是两条曲线，称之为双曲线。 2、性质：

（1）k 的正负与位置关系。 （2）k 的正负与增减性关系。

（3）双曲线的对称性：轴对称与中心对称。 3、k 值的意义：矩形面积的计算

三、方法

1、函数画图：列表描点画图。

2、用待定系数法求反比例函数：设解析式，确定满足条件的点，求出系数。

四、应用

1、图象相交问题。 2、用图象法解不等式。 3、比较不同区间的函数值大小

（初中9下）第2章 二次函数

一、概念（表达式）

1、一般式： y =ax 2+bx +c (a ≠0) 2、顶点式： y =a (x -h ) 2+k (a ≠0)

3、交点式： y =a (x - x 1)(x -x 2) (a ≠0) （有根时才有交点式表达式）

当 ∆≥0时：ax 2+bx +c =a (x - x b 1)(x -x 2) x 1+x 2=- x

c a 1 ⋅ x 2=a

二、原理（数形结合理解）

1、图象：是抛物线（顶点 与x 轴的交点 与y 轴的交点 开口方向 开口大小 最值）2、性质：对称轴 增减性 平移（左加右减，上加下减，取点检验）

三、方法

1、函数画图：找顶点对称列表描点画图。

2、函数转化：配方法 因式分解法（有根） 展开法 3、数式转化：待定系数法。 4、二次函数与一元二次方程的关系。 （1）当 ∆>0时，与x 轴有两个交点 （2）当 ∆=0时，与x 轴有一个交点 （3）当 ∆

四、应用

1、求一元二次方程的近似根：找顶点，草画图，估算近似根位置。

2、求最值：转化为一元二次函数后求顶点和边值（最大利润，最大面积，最小距离） 3、求图象交点：利用y 值相等，转化为解方程，解的个数决定交点个数。 4、求二次函数表达式：建立坐标，确定坐标点，利用待定系数法求表达式。 5、根据函数值关系大小求定义域范围。

6、函数定义域：要从数学和物理（理论和实际）两方面考虑。

第二部分 几何部分 几何部分知识结构

（初中7上）第3章 图形欣赏与操作

一、平面图形

1、正三角形 正六边形 正八边形 2、扇形 弧 圆心角

二、空间图形

1、正四面体 正六面体 正八面体 2、顶点 棱

（初中7下）第3章 平面上直线的位置关系和度量关系

一、基本概念

1、线：线段 射线 直线 （两点的）距离 （线段的）中点

2、角：角 顶点 始边 终边 角的内部 平角 周角 直角 锐角 钝角 补角 余角 3、三线八角：对顶角 邻补角 同位角 内错角 同旁内角

4、线线：平行 垂直 垂线 垂足 （点到直线的）垂线段/斜线段/距离 5、平移：平移（沿同一方向移动相同的距离） 原像 像

二、基本原理

1、经过一点有无数条直线。经过两点有且只有一条直线。两点连线中线段最短。 2、平行关系的传递性：a //b , b //c , 则：a //c

3、平移不改变图形的形状和大小。平移能把直线变成与它平行的直线。平移可使平行线重合。4、平行线的性质：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补。

5、平行线的判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补 的两直线平行。 6、垂线的性质：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。

7、垂线的判定：两直线相互垂直，则互为垂线。

平面内，如果一直线垂直于两平行直线中的一条，则必垂直另一条。

8、平行线与垂线：与两条平行线都垂直的直线，叫公垂线。连接两垂足的线段叫公垂线段。

两平行线的所有公垂线段都相等。公垂线段的长度叫平行线间的距离。 平面内，垂直于同一直线的两条直线平行。

一、轴反射与轴对称

1、概念：轴反射 原像 像 （两个图形）轴对称 对称轴 对称点 轴对称图形 2、原理：轴反射不改变图形的形状与大小。

对称轴垂直平分对称点的连线段。

二、线段的垂直平分线

1、概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、性质：如果直线l 是线段AB 的垂直平分线，则点A 与点B 关于直线对称。

垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

3、判定：如果点A 与点B 关于直线l 对称，则直线l 是线段AB 的垂直平分线。

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

三、角平分线

1、概念：平分一个角的射线叫做这个角的角平分线。 2、性质：角的边线关于角平分线轴对称。

角平分线上的点到两边的距离相等。

3、判定：一线均分一角则该线是该角的角平分线。

到角两边距离相等的点一定在角平分线上。

四、三角形

1、概念：用线段连结不在同一直线上的三点所成的图形。

顶点 内角（角） 外角 角平分线 中线（中位线） 高

2、分类：

（1）按角分类：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分类：不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 3、原理：

（1）边边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 （2）角角关系：外角等于不相邻的两内角和。外角大于任意一个不相邻的内角。

三角形的内角和等于180°，外角和等于360°

（3）边角关系：等边对等角；等角对等边；大边对大角。 （4）中位线关系：中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

五、等腰三角形

1、概念：等腰三角形 腰 底边 顶点 底角 2、性质：腰相等 底角相等 轴对称 三线合一 3、判定：两边相等 两角相等

五、等边三角形

1、概念：三边相等的三角形

2、性质：三边相等 三角相等（都是60°） 三轴对称 三个三线合一 3、判定：三边相等 三角相等（60°）

一、旋转

1、概念：旋转 旋转中心 旋转角 原像 像 对应点 2、原理：旋转不改变图形的形状与大小。

对应点到旋转中心的距离相等；对应点的旋转角相等。

二、全等三角形

1、概念：全等形（通过平移、轴反射、旋转等操作能完全重合的两个图形）

全等三角形 对应顶点 对应边 对应角

2、性质：对应边相等；对应角相等。

3、判定：边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ） 边边边（SSS ）

三、直角三角形

1、概念：有一个角是直角的三角形。

2、性质：有一个角是直角；或有两个角互余。（已知两角可知第三角）

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（区别对边等于斜边的一半）勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）。（已知两边可知第三边）

3、判定：概念判断 互余判断 中线判断 勾股判断 4、两直角三角形的全等判断：添加一个“边边角”。

5、两个特殊的直角三角形：369 [1:3:2]和459 [1:1:2] 6、利用面积相等求斜边的高。

四、尺规作图

1、已知一个角作等角 2、已知三边作三角形 3、已知二边夹角作三角形 4、已知二角夹边作三角形

（初中8下）第3章 四边形

一、中心对称图形

1、概念：在平面内，如果一个图形绕点O 旋转180°所得的像与原图形重合，则该图形是中心对称图形。点O 是对称中心，也是一对对应点的中点。

2、原理：中心对称图形上每一对对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

二、四边形

1、概念：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾相接组成的图形。

边 顶点 对角线 内角（角） 对角 对边

2、分类：凸四边形（凹四边形） 梯形 平形四边形 菱形 矩形 正方形 3、原理：

（1）边边关系：边长不变时可改变形状（不稳定性）。（三角形具有稳定性） （2）角角关系：n 边形的内角和等于（n-2）·180°，n 边形的外角和都等于360°

三、平行四边形

1、概念：两组对边平行的四边形。

2、性质：对边平行 对边相等 对角相等 对角线平分 夹线相等 中心对称 3、判定：对边平行 对边相等 一组对边平行且相等 对角相等 对角线平分

四、菱形

1、概念：一组邻边相等的平行四边形。

2、性质：四边相等 对角线垂直且平分 两轴对称且中心对称 3、判定：概念判断 四边相等 对角线垂直且平分 3、菱形面积 = 底×高 = 两对角线的积÷2

五、矩形

1、概念：一个角是直角的平行四边形。

2、性质：四角直角 对角线相等且平分 两轴对称且中心对称 3、判定：概念判断 四角直角 对角线相等且平分

六、正方形

1、概念：一组邻边相等的矩形（或：一个角是直角的菱形）。

2、性质：对角线垂直且相等且平分 四轴对称且中心对称 （隐藏对角平分成45°条件） 3、判定：概念判断 对角线垂直且相等且平分

七、梯形

1、概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

底 上底（短） 下底（长） 腰 高

2、分类：等腰梯形 直角梯形

2、等腰梯形的性质：腰相等 同底角相等 对角线相等 中位线平行两底且为底和半 轴对称 3、等腰梯形的判定：腰相等的梯形 同底角相等的梯形 对角线相等的梯形

1、定义：对一个概念的特征性质的描述。

2、命题：叙述一件事情的陈述句，如果要么是真的，要么是假的，那么这个陈述句是一个命题。 真命题（讲道理），假命题（举反例），互逆命题（条件结论互换）。 3、公理：公认的真命题（无需证明）。

4、定理：以定义、公理和已经证明的定理为基础，推理出来的真命题。（需要证明） 互逆定理：命题和逆命题都是真命题。 5、证明：根据条件通过推理得出结论的过程。 综合法（条件→定义公理定理→结论） 分析法（综合法的逆过程） 综合分析法（两种方法兼顾应用）

反证法（以否定结论为条件，推出一个与事实或条件相矛盾的结果）

反证法与举反例不同，前者要证明命题正确，后者是说明命题错误。

6、否定结论的方法：反证法中对结论的否定要完全。

（1）只有一个元素的结论：是（不是），有（没有），等于（不等于），大于（小于或等于）（2）有两个元素的结论：每个元素都否定，“且”“或”互换。

（3）有三个元素的结论：列出8种情况，标出结论，写出剩下的就是否定。

附加资料：

1、三角形的面积

（1）一般计算公式 （2）性质：等底等高的三角形面积相等。 2、重要辅助线

（1）中点配中点构成中位线; （2）加倍中线; （3）添加辅助平行线 3、证明方法

（1）直接证法：综合法、分析法

（2）间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 （3）证线段相等、角相等：通常证三角形全等 （4）证线段和差关系：延结法、截余法 （5）证线段倍分关系：加倍法、折半法 （6）证线段积商关系：通过证三角形相似 （7）证面积关系：将面积表示出来

一、线段的比

1、线段的比：两条线段的长度之比，比值用k 表示。 2、成比例线段：比值相等的四条线段。

3、比例中项：如果a ：b=b：c 则b 是a 和c 的比例中项。

4、黄金分割：短：长=长：全。任一线段有两个黄金分割点，比为5-12

≈0. 618

二、比例的性质（分母不为0条件下）

1、基本性质。若：

a b =c a d

d 则：ad =bc c =d

等等 2、合比性质。分子合分母或分母合分子。

a b =c d

则： a ±kb b =c ±kd d a c

b ±ka =d ±kc 3、等比性质。a c m b =d = =

n =k 则： a +c + +m

b +d + +n

=k 三、相似三角形

1、概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫相似三角形。 2、性质：（1）对应角相等；

（2）对应边成比例；

（3）对应线段（高，中线，角平平线）成比例； （4）周长比等于相似比； （5）面积比等于相似比的平方。

3、判定：（1）两个对应角相等；

（2）两条边对应成比例且夹角相等； （3）三条边对应成比例；

4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线所得线段对应成比例。 5、两种常见相似三角形：直角三角形的高，作等角线。

四、相似多边形

1、概念：对应角相等，对应边成比例的两个多角形，叫相似多角形。 2、性质：类同相似三角形。 3、判定：对应角相等且对应边成比例

五、位似变换（图形的放大与缩小）

1、位似图形：对应顶点的连线交于一点，对应边也互相平行的相似图形。 2、位似中心：交于一点的那人O 叫位似中心。 3、位似比：OP ’与OP 的比值k 称为位似比。

4、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比。 5、画位似图形的步骤： （1）确定位似中心；

（2）根据原图和位似中心画线； （3）根据相似比定位； （4）顺次连接得位似图形。

（初中9下）第3章 圆

一、圆

1、概念：圆 弦 直径 弦心距 弧 圆心角 圆周角（弦切角） 2、原理：

（1）弧角关系：l =

n ⋅π r

180

（2）弧、圆心角、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，一等都等（等对等定理）。 （3）圆心角与圆周角的关系：在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半。 （4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦和弧。 3、方法：

（1）弧长的计算：l =

n ⋅π r

180

（2）扇形面积计算：S n ⋅π r 2扇=

360=1

2

⋅l ⋅r （3）圆柱表面积计算：S 表=S 侧+2S 底=2π⋅rh +2π r 2 （3）圆锥面积计算：S 表=S 1

侧+S 底=

2

⋅2π rb +π r 2 二、三角形与圆

1、三角形的外心：外接圆的圆心，三角形三边垂直平分线的交点。

外心位置，外心到顶点的距离。

2、三角形的内心：内切圆的圆心，三角形三个角角平分线的交点。

内心位置，内心到三边的距离，三角形的面积，直角三角形的内切半径。3、三角形的重心：三角形三边中线的交点。 4、三角形的垂心：三角形三边高线的交点。

三、点、线与圆的位置关系

1、点与圆的位置：（根据点到圆心的距离判断）在圆内 在圆上 在圆外 2、直线与圆的位置：（根据圆心到直线的距离判断）相交（相割） 相切 相离 3、切线的性质定理：垂直 过切点 过圆心 （切线长定理） 4、切线的判定定理：连半径证垂直 证距离等于半径

5、与切线相关的多个定理：切线长定理，弦切角定理，相交弦定理

四、圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置：（根据圆心的距离判断）外离 外切 相交 内切 内含(包括同心圆) 2、两圆相切切点在连心线上。两圆相交连心线垂直平分公共弦。

附：重要辅助线

1、遇到直径想到直角

2、遇到弦想到弦心距及相交弦定理 3、遇到切线想到半径及弦切角定理

4、遇到圆外一点想到与圆心的连线及切线长定理 5、遇到两圆相切想到公切线和连心线 6、遇到两圆相交想到公共弦和连心线

第三部分 统计与概率部分 统计与概率部分知识结构

（初中7上）第6章 数据的收集与描述

一、收集数据

1、收集过程：（1）明确目标；（2）确定对象；（3）选择方法；（4）展开调查；（5）记录结果。 2、收集方法：（1）民意调查法；（2）实地调查法；（3）媒体查询法。

二、统计数据（统计表是最基本的数据记录方式）

1、折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。复式折线图 2、条形统计图：能清楚地表示事物的绝对数量。复式条形图 3、扇形统计图：能清楚地表示各部分的比例关系。（相对大小）

三、分析数据

1、平均数：刻画数据整体的平均状态。反映一组数据的平均水平或数据的集中位置。易受特殊值的影响（去极值）。代表“平均水平”。

2、中位数：将一组数据从小到大排列，奇取中间数据值，偶取中间平均值。代表“中等水平”。 3、众数：在一组数据中出现次数最多的数据。代表“多数水平”。

说明：平均数、中位数和众数是从不同角度描述一组数据的平均程度。是集中趋势的统计量，都可代表一般水平，但不同人关心的数据不同（如工资）。一组数据的平均数和中位数是唯一的，而众数不一定唯一。

（初中7下）第6章 数据的分析与比较

一、加权平均数

1、权数：一组数据中某个数据出现的次数与数据总个数的比值。一般权数非0且权数和为1 2、加权平均数：各数据值与该数据权数的乘积的和。可简化计算。

3、权数的意义：表示重复出现次数不同；或各成份所占的比例；或反映数据的重要程度。

二、极差

1、概念：一组数据最大值与最小值之差。 2、意义：反映数据的跨度或波动程度。

三、方差

1、概念：一组数据各数与平均数的偏差的平方的平均值。

2、意义：反映数据相对平均数的平均偏离程度。方差越小数据越集中，方差越大数据越分散。 3、计算：计算各数的偏差（该数减去平均数）；计算各偏差的平方；计算平均值。

说明：极差和方差是从不同角度描述一组数据的离散程度。极差对极值敏感；方差计算复杂。极差大的方差不一定大；反之亦然。

（初中8上）第4章 频数与频率

一、频数

1、概念：一组数据中个别数据（定性或定量）重复出现次数。 2、意义：描述事件发生的频繁程度。

二、频率

1、概念：频数与数据总数之比。

2、意义：频率可起权数作用，也可描述事件发生的可能性。

说明：平均数、中位数和众数描述一组数据的平均程度。极差和方差描述一组数据的离散程度。频数和频率描述一组数据中各个数据的分布情况。

三、编制频数（率）分布表

1、分组：计算极差 确定组数或组距 决定分点 2、计算频数（率） 3、列频数（率）分布表

四、绘制频数（率）分布直方图

1、横轴：表分组情况。标明上下限和组距

2、纵轴：表频数（率）。用自然数标明刻度。起点不要求从0开始，与横轴单位长度不要求相同。 3、条形图：以组距为底作矩形，高度为频数（率）。

（初中8下）第5章 概率

一、概率的概念

1、确定性现象：在一定条件下，事件结果可以确定（肯定或否定）的现象。

2、随机现象：在基本相同条件下，可能出现不同结果的现象。随机现象中事件结果有偶然性。 3、概率：在随机现象中，一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率。P (A ) p

4、概率的估计值：在随机现象中，做了大量试验后，一个事件的频率可以作为这个事件的概率的估计值。

二、概率的含义

1、概率的含义：概率指可能性大小，不能理解为多少次之后必然出现。

2、概率的计算：先用树状图法（必须可能法）列出各种可能情况，再进行统计计算。