斐波那契额数列
一、
斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列,它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明(如右图)。
斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34……起始的两项是1、1,之后的每一都等于前面两项。
他的发明者是意大利数学家列昂纳多·斐波那契
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:
an
1
nn
1515
225
斐波那契数列的简介
很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。
下面,我就来具体说明一下通项公式的推导过程。
二、 斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 已知
a =1, a2=1, an=a(n1) +a(n2) (n>=3)
设an-ma(n1)=n(a(n1)-ma(n2)) 得m+n=1 mn=-1 构造方程x-x-1=0,解得m=
2
12
5
,n=
12
5
或m=
12
5
,n=
12
5
所以an-
12
5
a(n1)=
121
5
(a(n1)-
12
5
a(n2))=[
12
5
]2(a(n2)-
12
5
a(n3))
=……=[
12
5
](n2)(a2-
52
a1) ———————————————— (1) 式
或者an-
12
5
a(n1)=
12
5
(a(n1)-
12
5
a(n2))=[
12
5
]2(a(n2)-
12
5
a(n3))
=……=[
12
5
](n2)(a2-
12
5
a1) ————————————————(2)式
由(1)式,(2)式,可得
an=[
121255
](n2)(a2-
1212
5
a1) ————————————————(3)式
an=[](n2)(a2-
5
a1)—————————————————(4)式
将式(3)*化简得
121255
125
-(4)*
12
5
,
an=[
1212
5
](n1)(a2-
1212
5
a1)
an=[
5
](n1)(a2-
5
a1)
两式相减得:
5an=[
12
5
](n) -[
12
5
]
(n)
得到an
1
nn
1515
225
以上的推导方法称为迭代法,在通项公式和求和公式推导的过程中广泛应用。
三、
利用特征方程的办法 记sn = a1 + a2 + ... + an 由于
an = sn - sn1 = a(n1)+a(n2) = sn1 - sn2+ sn2 - sn3
斐波那契数列求和公式的推导
= sn1 - sn3 所以
其中c1,c2,c3有如下关系:
c2= 1 - c3=
3253255
c1= -1 c3=
5325
得到 sn= -1+
5
(
12
5
)n+
5325
(
12
5
)n
四、 斐波那契数列的应用
(1) 斐波拉契数列与黄金分割
经研究发现,相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由于斐波拉契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的. (2)排列组合.
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法…… 1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种
另外:杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列 ; 多米诺牌(可以看作一个2×1大小的方格)完全覆盖一个n×2的棋盘,覆盖的方案数等于斐波拉契数列;从蜜蜂的繁殖来看,雄蜂只有母亲,没有父亲,因为蜂后产的卵,受精的孵化为雌蜂,未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时,发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn; 钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似,说明音调也与斐波拉契数列有关; 自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列,也就是说在大多数情况下,一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变); 如果一根树枝每年长出一根新枝,而长出的新枝两年以后,每年也长出一根新枝,那么历年的树枝数,也构成一个斐波拉契数列 .
可见,数学在生活中无处不在,学好数学可以帮助我们发现生活中的规律,拥有敏捷的头脑和缜密的思想。 让我们一起努力,去探索数学中的奥秘!