简单三角恒等变换总结

第七讲 简单三角恒等变换

一、引言

（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．

（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．

（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．

二、考点梳理

1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sincoscossin； 余弦公式：cos()coscossinsin； 正切公式：tan()tantan． 1tantan

2．二倍角的正弦公式：sin22sincos；

二倍角的余弦公式：cos2cossin2cos112sin； 2222

2tan． 1tan2

1cos21cos2223．降幂公式：sin；cos． 22二倍角的正切公式：tan2

4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．

三、典型问题选讲

（一）化简（求值）问题

例1 求下列各式的值：

⑴cos20cos40cos80； ⑵tan70tan50tan50tan70； ⑶sin50(13tan10）.

分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．

解析：⑴[法一]原式=1sin160132sin20cos20cos40cos80． 38sin2082sin20

[法二]原式=sin40sin80sin1601． 2sin202sin402sin808

⑵原式

=tan(7050)(1tan70tan50)tan70

70tan50-tan50tan703．

⑶原式=sin50(1sin10sin50(cos103sin10) )cos10cos10

2sin50(cos60cos10sin60sin10)2sin50cos50cos10cos10

sin100cos101． cos10cos10

归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当是特殊角时，使用tantantan()(1tantan)化简式子．

例2 化简下列各式：

（1）11113cos2，2； 22222

cos2sin2（2）． 2cotcos244

分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是

2的二倍，以及取值范

围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角

若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．

解：（1）因为442，3112cos2coscos， 222

又因311cossinsin， 422222

所以，原式=sin

（2）原式=． 2cos2cos2 2tancos22sincos4444

=cos2cos21． cos2sin22

归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2三个角的内在联系的作

44

用，cos2sin（2）化简题一22sincos是常用的三角变换．244

sin21cos21cos22，cos2，sin． 2sin22定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形cos

asin

例3 已知正实数a，b满足tan8，求b的值． 15aacosbsin55bcos

分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于的方程，从而可求出bab，若注意到等式左边的分子、分母都具有asinbcosa

的结构，可考虑引入辅助角求解．

b8cossin，则 解法一：由题设得cossincos5a515sin

88sin8sincoscossinb155tan.

88a38coscossinsincos155155515

解法二：因为asin

5bcos ，

55

b，其中tan，55a5

8由题设得tantan.155

8所以k，即k，5153

b故tantanktana33 acosbsin

btan8解法三：tan，151tana5

tanb8令tan，则有tantan，a155tan1tantantan5b8令tan，则有85tantan，由此可kkZ,所以5k，Zk15tan51535

k8tan3，即b3 故tantan由此可kkZ,所以k，

kZ33a5153

b故tantanktan33atan

归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式asinbcosa2b2sin，

abasinbcos

，或，其中tan其中tan在历年高考中ba

使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．

例4 已知tan，求 tan是方程x25x60的两个实根，

2sin23sincoscos2的值．

分析：由韦达定理可得到tantan及tantan的值，进而可以求出tan的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值．

tantan6， 解法一：由韦达定理得tantan5，

所以tantantan51. 1tantan16

2sin23sincoscos2 原式22sincos2tan23tan1213113． tan2111

tantan6， 解法二：由韦达定理得tantan5，

所以tantantan51. 1tantan16

3于是有kkZ， 4

333331原式2sin2ksin2kcos2k13． 422422

归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

coscossinsincos，

tan1tantantantan，

tantantantantantan，

tantantantantantan。

（二）恒等变形

cosx1sinx例5 求证：． 1sinxcosx

分析：恒等变形问题可由一边推证得另一边，也可以从两边进行推证得出相等关系． 证法一：由题意知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

所以左边=cosx(1sinx)cosx(1sinx)1sinx右边． 2cosx(1sinx)(1sinx)cosx

则原式成立．

证法二：由题义知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

又(1sinx)(1sinx)1sinxcosxcosxcosx， 所以22cosx1sinx． 1sinxcosx

证法三：由题意知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

cosx1sinxcosxcosx(1sinx)(1sinx)cos2x1sin2x0， 1sinxcosx(1sinx)cosx(1sinx)cosx

则cosx1sinx． 1sinxcosx

归纳小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，

证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

（三）与其他知识综合

例6 △ABC中，tanCsinAsinB，sin(BA)cosC．求A,C． cosAcosB

分析：“切化弦”是解决三角问题常用的方法，再利用三角形中角的关系进行恒等变形．

sinAsinBsinCsinAsinB，即， cosAcosBcosCcosAcosB

所以sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB，

即sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB， 解：因为tanC

得sin(CA)sin(BC)．

所以CABC，或CA(BC)(不成立)．

即2CAB，得C

3，所以．BA2． 3

又因为sin(BA)cosC得A15，则BA，或BA（舍去）． 266

4,B5． 12

k，kZ)，B(3，0)，C(0，4归纳小结：注意三角形中角的范围，注意分类讨论． 例7 已知三点A、B、C的坐标分别为A(cos，sin)(

3)，若1，求1sin2cos2的值． 1tan

分析：本题将向量知识与三角知识结合起来，综合考查应用知识的能力． 解：AB(3cos，sin)，AC(cos，3sin)，

∵ABAC1，∴(cos3)cossin(sin3)1 ． 整理得：sincos2 ① 3

1sin2cos22sin22sincossin1tan1cos

2sincos(sincos)2sincos ． sincos

45由①平方得12sincos，∴2sincos． 99

1sin2cos25即． 1tan9

归纳小结：正确应用ABAC1，得到关于角的三角函数关系，利用二倍角、同角三角函数公式解决问题．

例8（2009，湖南）已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).

（1）若a//b，求tan的值；

（2）若|a||b|,0,求的值．

分析：（1）利用向量共线及三角函数同角关系求值，（2）利用向量模相等得出三角函数关系，求得的值．

1解：（1）因为a//b，所以2sincos2sin,于是4sincos，故tan 4

（2）由|a||b|知，sin2(cos2sin)25,

所以12sin24sin5.

从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，

2

于是sin(2

4) 2

29， 444

57所以2，或2． 4444

3. 因此，或42又由0知，

归纳小结：本题考查向量的模、向量共线及三角函数化简求角．

四、本专题总结

本节课研究三角恒等变换，主要方法有：引入辅助角、换元、降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角等常用的化简技巧，体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，应注意在应用公式时，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．3.2.1

简单的三角恒等变换（一）

一．教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、进一步理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程

中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

三、教学设想：

（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式

三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.

（二）新课讲授：

1、由二倍角公式引导学生思考：与

2有什么样的关系？

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．

例1、试以cos表示sin2

2,cos2

2,tan2

2．

2解：我们可以通过二倍角cos2cos

2

21和cos12sin22来做此题． 2因为cos12sin

2，可以得到sin

21cos； 2

1cos． 22因为cos2cos

21，可以得到cos2

2

又因为tan2

21cos． 1coscos2

2sin2

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例2．试以tan表示sin2,cos2,tan2

分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系

sin22sincos2sincos2tansin2cos21tan2 222cossin1tancos2cos2sin222sincos1tan2

例3、求证：

（１）、sincos1sinsin； 2

（２）、sinsin2sin

2cos

2．

证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossin

sinsincoscossin．

两式相加得2sincossinsin； 即sincos；1sinsin； 2

（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,， 那么

2,

2．

把,的值代入①式中得sinsin2sin

思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 2cos2．

例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

三．练习：P142 1、2、3题。

四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

一．教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、进一步理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，

体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

三、教学设想：

（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式

三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.

（二）新课讲授：

1、由二倍角公式引导学生思考：与

2有什么样的关系？

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．

例1、试以cos表示sin2

2,cos2

2,tan2

2．

2解：我们可以通过二倍角cos2cos

2

21和cos12sin21cos； 22来做此题． 2因为cos12sin

2，可以得到sin

2

2因为cos2cos

21，可以得到cos2

21cos． 2

又因为tan2

21cos． 1coscos2

2sin2

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例2．试以tan表示sin2,cos2,tan2

分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系

sin22sincos2sincos2tansin2cos21tan2 222cossin1tancos2cos2sin2sin2cos21tan2

例3、求证：

（１）、sincos1sinsin； 2

（２）、sinsin2sin

2cos

2．

证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossin

sinsincoscossin．

两式相加得2sincossinsin； 即sincos；1sinsin； 2

（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,， 那么

2,

2．

把,的值代入①式中得sinsin2sin

思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 2cos2．

例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

三．练习：P142 1、2、3题。

四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．