圆与抛物线综合题

圆与抛物线共存的综合题

1．28．（2010青海，28, 11分） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.

（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长 ．

图10

【分析】（1）设顶点式，把A 、

C 代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF 的长． 【答案】

解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x -6) 2

+k ∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）

∴⎧⎨9a +k =0

⎩

36a +k =9

解得：a =1

3

, k =-3 ∴y =

1

3

(x -6) 2-3 （2）连接AE

∵DE 是⊙A 的切线，∴∠AED=90°，AE=3

∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点 ∴AB=BD=3 ∴AD=6

在Rt △ADE 中，DE 2

=AD 2

-AE 2

=62

-32

=27 ∴DE =（3）当BF ⊥ED 时 ∵∠AED=∠BFD=90° ∠ADE=∠BDF

∴△AED ∽△BFD

∴

AE BF =AD

BD 即

36BF =3

∴BF =3

2

当FB ⊥AD 时

∵∠AED=∠FBD=90° ∠ADE=∠FDB ∴△AED ∽△FBD ∴

AE BF =ED

BD

即BF =

=∴BF 的长为

3

2

【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理

2． （12分）一条抛物线y =x 2+mx +n 经过点(0，3)与(4，3)． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当

P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标；（3）P 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y =x 2+mx +n 使

P 与两坐

标轴都相切（要说明平移方法）．

图15

2． 本小题满分12分

（1）∵ 抛物线过(0，3)，(4，3)两点，

∴ ⎨

⎧n =3，

2

························································································· 1分

⎩4+4m +n =3．

···

解得⎧⎨m =-4，⎩

n =3． ···································································································· 2分

∴ 抛物线的解析式是y =x 2-4x +3，顶点坐标为(2，-1)． ································ 3分 （2）设点P 的坐标为(x 0，y 0) ， 当

P 与y 轴相切时，有|x 0|=1，∴x 0=±1． ··················································· 5分

由x 0=1，得y 0=12-4+3=0；

由x 2

0=-1，得y 0=(-1) -4(-1) +3=8．

此时，点P 的坐标为P 1(10，)，P 2(-18，)． ················································· 6分 当

P 与x 轴相切时，有|y 0|=1，∴ y 0=±1． ··········································· 7分

由y 2

0=1，得x 0-4x 0+3=

1，解得x 0=2

由y 2

0=-1，得x 0

-4x 0+3=-1，解得x 0=2．

此时，点P

的坐标为P 3(2) ，P 4(2) ，P 5(2，-1) ． ························ 9分 综上所述，圆心P 的坐标为：P 1(10，)，P 2(-18，

)，P 3(2) ，P 4(2) ，P 5(2，-1) ． 注：不写最后一步不扣分．

（3） 由（2）知，不能． ·············································································· 10分 设抛物线y =x 2-4x +3上下平移后的解析式为y =(x -2) 2-1+h , 若

P 能与两坐标轴都相切，则|x 0|=|y 0|=1,

即x 0=y0=1；或x 0=y0=-1；或x 0=1，y 0=-1；或x 0=-1，y 0=1． ························· 11分 取x 0=y0=1，代入y =(x -2) 2-1+h ，得h=1． ∴ 只需将y =x 2-4x +3向上平移1个单位，就可使

P 与两坐标轴都相切．

································································································································ 12

3. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式； x

(第23题)

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，

∆PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和∆PAC 的最大面积.

3．（1）解：设抛物线为y =a (x -4) 2-1.

∵抛物线经过点A （0，3），∴3=a (0-4) 2-1. ∴a =1

4

. ∴抛物线为y =

1(x -4) 21

4-1=4

x 2-2x +3. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分

证明：当

1

4

(x -4) 2-1=0时，x 1=2，x 2=6. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.

∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则∠BEC =90︒=∠AOB . ∵∠ABD =90︒，∴∠CBE =90︒-∠ABO .

又∵∠BAO =90︒-∠ABO ，∴∠BAO =∠CBE . ∴∆AOB ∽∆BEC . ∴

CE BC CE OB =AB .

∴2=.

∴CE =>2. …………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为x =4，∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为y =-

1

2x +3. …………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，14m 2-2m +3），则Q 点的坐标为（m ，-1

2

m +3）.

∴PQ =-12m +3-(14m 2-2m +3) =-123

4m +2

m .

∵S 112332

27∆PAC =S ∆PAQ +S ∆PCQ =2⨯(-4m +2m ) ⨯6=-4(m -3) +4

,

∴当m =3时，∆PAC 的面积最大为27

4

.

此时，P 点的坐标为（3，-3

4

）. …………………………………………10分

4. （本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于A (2, 0), B (6, 0) 两点，交y 轴于点

C (0, 2) .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y =2x 交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF

（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.

（第24题4. （本小题满分12分）

解：（1）∵抛物线y =ax 2

+bx +c 经过点A (2, 0) ，B (6, 0) ，C (023) ．

⎧⎧⎪

a =⎪4a +2b +c =0⎪

6∴⎨36a +6b +c =0， 解得⎪4⎪⎨

b =-. ⎩c =2⎪3⎪⎪c =23⎩

∴抛物线的解析式为：y =6x 2-43

x +2. …………………………3分（2）易知抛物线的对称轴是x =4. 把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．

∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =

12

． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分∴劣弧的长为：

120180⨯π⨯8=16

3

π． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点A (2, 0), C (0, 2) .

∴⎧⎨2k +b =0=23，解得⎧⎪⎨k =-3

. ∴直线AC 的解析式为：y =-x +2. ………8分⎩b ⎪

⎩b =23

设点P (m ,

6m 2-4

3

3m +23)(m

3

2

GN . 即

6m 2-4

3

m +2=32-m +2）

. 解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）.

当m =－3时，6m 2-4

3

3m +23=1523. ∴此时点P 的坐标为(-3,

15

2

) . …………………………10分 ②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即

6m 2-4

3

m +2=（3-3m +2）

. 解得：m 12时，21=-12，m 2=2（舍去）. 当m 1=-6m -4

3

m +2=3. ∴此时点P 的坐标为(-12, ) .

综上所述，当点P 坐标为(-3,

15

2

) 或(-12, ) 时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分

5．(12分) 如图，已知点A (－3，0) 和B (1，0) ，直线y ＝kx －4经过点A 并且与y 轴交于点C ．

(1) 求点C 的坐标；

(2) 求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴； (3) 半径为1个单位长度的动圆⊙P 的圆心P 始终 在抛物线的对称轴上．当点P 的纵坐标为5时，将 ⊙P 以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上 移动．那么，经过几秒，⊙P 与直线AC 开始有公共点？ 经过几秒后，⊙P 与直线AC 不再有公共点？

6．（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过

A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由

6．（1）由题意可知C （0，－3），-

b

2a

=1， ∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，CM =5，

∴ CN = 2，于是m =－1． 同理可求得B （3，0），

∴ a ³32－2－2a ³3－3 = 0，得 a = 1， ∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3．

（2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1）．

∴ 在Rt △BCE 中，BC =32，CE =

2，

∴

OB OD =31=3，BC 2

OB CE =2

=3，∴ OD =BC OB OD CE ，即 BC =CE ， ∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE =∠OBD =β， 因此 sin （α－β）= sin（∠DBC －∠OBD ）= sin∠OBC =

CO BC =2

2

． （3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．

过A 作AP 12⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得P 2(0, 3

) ． 过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．

故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三

角形与BCE 相似．

7．（本题满分12分，每小题满分各4分）

如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3

5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点． （1）求点B 、C 、D 的坐标； （2）如果一个二次函数图像经过B 、C 、D 三点，

求这个二次函数解析式； （3）P 为x 轴正半轴上的一点，过点P 作与圆A 相离并且与 x 轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F ，

当⊿CPF 中一个内角的正切之为1

2时，求点P 的坐标．

7．解：（1）∵点A 的坐标为(0 ,-3) ，线段AD =5，∴点D 的坐标(0 ,2)．－－－－(1分) 连结AC ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4． －－－－－(1分) ∴点C 的坐标为(4 ,0)；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 同理可得 点B 坐标为(-4 ,0)．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) （2）设所求二次函数的解析式为y =ax 2

+bx +c ， 由于该二次函数的图像经过B 、C 、D 三点，则

⎧⎪

0=16a -4b +c , ⎨0=16a +4b +c , －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分） ⎪⎩

2=c , ⎧⎪a =-1 , 解得 ⎪8⎨b =0 ,∴所求的二次函数的解析式为y =-1x 2

+2；－－－－－－－(1⎪⎪c =2,

8分)

⎩

（3）设点P 坐标为(t ,0)，由题意得t >5，－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)

且点F 的坐标为(t , -1

t 2+2) ，PC =t -4，PF =188

t 2-2， ∵∠CPF =90°，∴当△CPF 中一个内角的正切值为1

2

时， ①若

CP 1

t -4PF =2

时，即

1=1，解得 t 1=12， t 2=4(舍) ；－－－－－－－(1分) 228t -2

1②当PF CP =1

t 2

-2

2时，t -4=12

解得 t 1=0(舍) ，t 2=4(舍) ，－－－－－－－ (1分)

所以所求点P 的坐标为(12，0) ．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)

8．抛物线y =ax 2

+bx +c (a ≠0) 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程

(m -a ) x 2+2bx +(m +a ) =0有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。

（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。

8．解：（1）令∆=(2b ) 2

-4(m -a )(m +a ) =0 得a 2

+b 2

=m 2

由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知

△ABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形 （2）设y =a (x +2) 2

-1

∵△ABM 是等腰直角三角形 ∴斜边上的中线等于斜边的一半 又顶点M(－2，－1) ∴

1

2

AB =1，即AB ＝2 ∴A(－3，0) ，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入y =a (x +2) 2

-1中得a =1

∴抛物线的解析式为y =(x +2) 2

-1，即y =x 2

+4x +3 图略

（3）设平行于x 轴的直线为y =k

解方程组⎧⎨y =k

⎩

y =x 2

+4x +3

得x 1=-2+k +1，x 2=-2-k +1 （k >-1) ∴线段CD 的长为2k +1 ∵以CD 为直径的圆与x 轴相切 据题意得k +1=k ∴k 2

=k +1 解得 k =

1±5

2

∴圆心坐标为(-2,

1+2) 和(-2, 1-2

)

10．（12分）在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，

与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；

（2）若抛物线y =ax 2+bx +c的顶点在直线BC 上，与x

轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

10． 本小题满分12分 解:（1）方法一：

连结AC ，则AC ⊥BC ．

∵ OA =2，AC =4，∴ OC

= ………1分 又 Rt △AOC ∽Rt △COB ，∴

AO OC =OC

OB

． ∴ OB =6． ………………………………………………………2分

∴ 点C

坐标为(0，点B 坐标为(-6，

0) ． 设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ………………………………………………3分

可求得直线BC

的解析式为y =x + ……………………………………4分

方法二：

连结AC ，则AC ⊥BC ．

∵ OA =2，AC =4，∴ ∠ACO =30 o，∠CAO =60 o． ……………………………1分

∴ ∠CBA =30 o

． ∴ AB =2AC =8．

∴ OB =AB -AO =6． ……………………………2分

以下同证法一．

（2）由题意得，⊙A 与x 轴的交点分别为E (-2，0) 、F (6，0) ，抛物线的对称轴过点A 为直线

x =2． ………………………………5

分

∵ 抛物线的顶点在直线BC 上， ∴

抛物线顶点坐标为(2． ……………………………………6分

设抛物线解析式为y =a (x -2) 2

+ ……………………………………7分

∵ 抛物线过点E (-2，

0) ， 2

1

∴

0=a (-2-2) +

a =． ∴

抛物线的解析式为y =x -2) 2

即y =-6x 2+3

x +． …………………………………………………8

分

（3）点C 在抛物线上．因为抛物线与y

轴的交点坐标为(0，如图． …………………10分

(4) 存在，这三点分别是E 、C 、F 与E 、C 1、F ，C 1的坐标为（4

，．

即△ECF ∽△AOC 、△EC 1F ∽△AOC ，如图． …………………………………………12分

说明：每找对一个三角形，给1分． 11．（本题满分10分）

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt △AOB 和Rt △CED 按图1所示的位置放置A 与C 重合，O 与E 重合．

（1）求图1中，A ，B ，D 三点的坐标．

（2）Rt △AOB 固定不动，Rt △CED 沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt △CED 和Rt △AOB 重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．

（3）当Rt △CED 以（2）中的速度和方向运动，运动时间x =4秒时Rt △CED 运动到如图2所示的位

置，求经过A ，G ，C 三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．

图1

图2

图11 图12

如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y =

16

x 2

+bx +c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线y =

16

x 2

+bx +c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

11. 解：

（1）由已知，得 A （2，0），B （6，0）， ∵ 抛物线y =

16

x 2

+bx +c 过点A 和B ，则

⎧⎧

⎪1⎪⨯22

+2b +c =0, ⎨6⎪1 解得 ⎪⎨b =-4,

⎪⎩6

⨯62+6b +c =0, ⎪3 ⎩c =2.

则抛物线的解析式为 y =

16x 2-4

3

x +2． 故 C （0，2）． …………………………（2分）

（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

…………………………（3分） （2）如图①，抛物线对称轴l 是 x ＝4． ∵ Q （8，m ）抛物线上，∴ m ＝2． 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴ AQ

=

…………………………（5分）

又∵ B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴ PQ ＋PB 的最小值＝AQ

＝．

（3）如图②，连结EM 和CM

． 由已知，得 EM ＝OC ＝2．

CE 是⊙M 的切线，∴ ∠DEM ＝90º，则 ∠DEM ＝∠DOC ． 又∵ ∠ODC ＝∠EDM ． 故 △DEM ≌△DOC ． ∴

OD ＝DE ，CD ＝MD

．

又在△ODE 和△MDC 中，∠ODE ＝∠MDC ，∠DOE ＝∠DEO ＝∠DCM ＝∠DMC ． 则 OE ∥CM ． …………………………（7分） 设CM 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，CM 过点C （0，2），M （4，0），

∴ ⎧⎨4k +b =0, ⎧

1=2, 解得 ⎪k =-, ⎩b ⎨⎪2

⎩b =2,

直线CM 的解析式为y =-

1

2

x +2．

又∵ 直线OE 过原点O ，且OE ∥CM ，

则 OE 的解析式为 y ＝-1

2

x ． …………………………（8分）

28．（本题满分10分）

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt △AOB 和Rt △CED 按图1所示的位置放置A 与C 重合，

O 与E 重合．

（1）求图1中，A ，B ，D 三点的坐标．

（2）Rt △AOB 固定不动，Rt △CED 沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt △CED 和Rt △AOB 重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当Rt △CED 以（2）中的速度和方向运动，运动时间x =4秒时Rt △CED 运动到如图2所示的位置，求经过A ，G ，C 三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．

图1

图2

28．解：（1）A (0，6) ，B (6，0) ，D (-6，0) ········································································· 2分 （2）当0≤x

作GH ⊥DB ，垂足为H ，可知：OE =2x ，EH =x ， DO =6-2x ，DH =6-x ，

∴y =2S 梯形IOHG =2(S △GHD -S △IOD ) =2⎡⎢1(6-x ) 2-1(6-2x ) 2⎤

⎣22⎥⎦

=2⎛ ⎝-3⎫

2x 2+6x ⎪⎭=-3x 2+12x ·

·························································································· 3分 当3≤x ≤6时，位置如图Ｂ所示．

可知：DB =12-

2x

2

∴y =S △

DGB

=1⎫2 ⎝⎪⎪⎭

=1⎤2

2

2-2x ) ·················································································· 4分 ⎣⎥=x -12x +36 ·

⎦

（求梯形IOHG 的面积及△DGB 的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）

∴y 与x 的函数关系式为：y =⎧⎪⎨-3x 2

+12x (0≤x

⎪2 ··············································· 5分

⎩x -12x +36(3≤x ≤6)

（3）图2中，作GH ⊥OE ，垂足为H ，当x =4时，OE =2x =8，DB =12-2x =4

∴GH =DH =

12DB =2，OH =6-HB =6-1

2

DB =6-2=4 ∴可知：A (0，

6) ，G (4，2) ，C (8，6) ··················································································· 6分 ∴经过A ，G ，C 三点的抛物线的解析式为：y =12

x 24(x -4) +2=4

-2x +6 ·

·············· 7分 （4）当P 在运动过程中，存在

P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为(x 0，y 0)

当

P 与y 轴相切时，有x 0=2，x 0=±2，由x 0=-2得：y 0=11，∴P 1(-211)

， 由x 0=2，得y 0=3，∴P 2(2，3) 当

P 与x 轴相切时，有y 0=2 y =1

4

(x -4) 2+2>0

∴y 0=2，得：x 0=4，∴P 3(4

，2) 综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：

P 1(-211)

，，P 2(2，3) ，P 3(4，2) ·········································· 10分（每求出一个点坐标得1分） 24．(本题满分12分)

抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于A 、B

交y 轴于点C , 已知抛物线的对称轴为x =1，

B (3,0), C (0,-3) ，

（1）求二次函数y =ax 2+bx +c 的解析式；

（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C

两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说 明理由；

（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点， 若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．

24．解：（1）将C (0,-3) 代入y =ax 2+bx +c ，

得 c =-3．

将c =-3，B (3,0)代入y =ax 2+bx +c ， 得 9a +3b +c =0．……….(1)

∵x =1是对称轴， ∴-

b

2a

=1． (2) …2分

将（2）代入（1）得 a =1， b =-2．

所以，二次函数得解析式是y =x 2-2x -3．

…………………………………………………………………………4分

（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B 、C 的距离之差最大的点． ∵C 点的坐标为(0,-3) ，A 点的坐标为(-1,0) ，

∴ 直线AC 的解析式是y =-3x -3，

又对称轴为x =1，

∴ 点P 的坐标(1,-6) ． ………………………………………………………7分 （3）设M (x 1, y ) 、N (x 2, y ) ，所求圆的半径为r ， 则 x 2-x 1=2r ，…………….(1)

∵ 对称轴为x =1，

∴ x 2+x 1=2． …………….(2)

由（1）、（2）得：x 2=r +1．……….(3) 将N (r +1, y ) 代入解析式y =x 2-2x -3， 得 y =(r +1) 2-2(r +1) -3，………….(4)

整理得： y =r 2-4．………………………………………………………………10分 由于 r=±y ，

当y >0时，r 2-r -4=0，

解得，r 1=

1+2 ， r 1-2=2

（舍去）， 当y

解得，r -1+2

， r -1-1=

2=2（舍去）．

所以圆的半径是1+-1+2或2

．……………………………………………12分

说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数． 28．（13分）在平面直角坐标系中，直线y =-1

2

x +6与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点． （1）直接写出B 、C 两点的坐标； （2）直线y =x 与直线y =-

1

2

x +6交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）. 过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ． ① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．

② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时, 过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.

图（1）

备用图

28. （1） B （12，0） C （0，6） 4分

（2）①点P 在y = x 上，OP = t ， 点P 坐标（2t/2,

2t/2） 点Q 坐标(12-2t , 2t /2)

PQ =12-32t /2 PN =2t /2 6分

S =-1. 5t 2+62t =-1. 5(t 2-42t +8) +12=-1. 5(t -22) 2+12, 8分 当t =22时，S 的最大值为12 9分

②、若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切，则圆心在y 轴上，且y 轴垂直平分PQ 11分

∴∠POC ＝45° ∴∠QOC ＝45° ∴2t -12=

t /2 t =2 13分

28．(12分) 如图，抛物线y =1

2

x 2+mx +n 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A

的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线

PC 的位置关系，并说明理由．(

≈

1.41≈

1.73≈2.24)

28． 本小题满分12分

解： (1)由已知条件可知： 抛物线y =1

2

x 2+mx +n 经过A (-3，0) 、B (1，0) 两点．

⎧∴ ⎪⎪0=9⎨2-3m +n , ……………………………………2分⎪⎪⎩0=1

2

+m +n . 解得 m =1, n =-3

2

． ………………………3分

(2) ∵y =12x 2+x -32， ∴ P (-1，-2) ，C (0,-3

2

) ． …………………4分

⎧-2=-k 设直线PC 的解析式是y =kx +b ，则⎪+b ,

⎨13

⎪3 解得k =, b =⎩b =-2. 2-2．

∴ 直线PC 的解析式是y =13

2x -2． …………………………6分

说明：只要求对k =13

2，b =-2

，不写最后一步，不扣分．

(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．

设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0) ． ………………………7分 在Rt △O CD 中，∵ O C =3

2

，OD =3，

∴

CD =． …………8分 ∵ O A =3，OD =3，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o

，∠CD O 公用， ∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分

3∴ OC CD AE =AD ，

即AE =6． ∴

AE ． ∵

2.688>2.5，

∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离．

分

…………12分 …………………11