广东海洋大学近几年高数试卷

班级：

姓

名：

学

号：

试题共

５ 页

加白纸 3

张

、

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

□A 卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ 考试

√ □ 考查

□ B 卷

□ 开卷

一 . 填空（3×6=18分）

1. 函数 f (x ) =xe -x

的拐点是(2,2e -2)

2. 设2

f '(ln x ) =x (x >1) ，则 f (x ) =e 2t /2+c .

设ln x =t , 则x =e t

,

f '(t ) =e

2t

f (t ) =e 2t

2

+c

3. 曲线⎧⎨x =1+t 2

在t =2处的切线方程为 y-8=3(x-5) . ⎩y =t

3

dy dx =3t 2

2t

=3t /2k =3

4. 设Φ(x ) =⎰x

0sin tdt ，则Φ' (π

4

) 15. 设x

f (x ) =(1+x ) ，则 f '(1) 等于 1

11

1

x [(1+x ) x

]'=[e

x

ln(1+x ) ]'=e

x

ln(1+x ) 1+x -ln(1+x ) 1

x -ln(1+x ) x 2=(1+x ) x

1+x x

2 二 .计算题（7×6=42分） 1. 求lim

sin 2x -2sin x

x →0

x 3

.

lim

sin 2x -2sin x 2sin x cos x -2sin x 2sin x (cosx -1)

=lim =lim

x →0x →0x →0x 3x

3x 3

x 2

2x (-) 等价

=-1=lim 3x →0x

1

.

sin 3x cos x

2. 求不定积分⎰

3. 已知

f (x ) =(

sin x

是f (x ) 的原函数，求⎰xf ' (x ) dx . x

sin x xco s x -sin x

) '=x x 2

xco s x -sin x sin x 'xf (x ) dx =xdf (x ) =xf (x ) -f (x ) dx =-+c ⎰⎰⎰x x

4. 设方程e x +y -3x +2y 2-5=0确定函数y =y (x ) ，求

方程两边对x 求导:e x +y (1+y ') -3+4yy '=0

3-e x +y

y '=x +y

e +4y

dy

. dx

5. 求f (x ) =e x cos x 的三阶麦克劳林公式.

1214

cos x =1-x +x - 2! 4!

x

e =1+x +

(-1) n 2n +x +o (x 2n ) (2n )!

12

x +2!

+

1n

x +o (x n ) n !

x 2x 3x 2x 3

(1+x +++...)(1-+...) =1+x -+o (x 3)

2326

6. 求由曲线y =In x , y 轴与直线y =Ina 及y =Inb 所围成图形的面积

b >a >0.

解：选为y 积分变量，如图，所求面积为承

b

A =⎰e y d y =[e y ]ln ln a =b -a

ln a ln b

三. 应用及证明题（10×4=40分） 1. 证明：当x >0时， 1+x >+x . 证明

:

设f (x ) =1+

11x f '(x ) =-=22=>0f (x ) 为增函数 得证. 12

故x >0时,f(x)>f(0)=0,

2. 若函数f (x ) 在(a , b ) 内具有二阶导函数，且f (x 1) =f (x 2) =f (x 3)

在(x 1, x 3) 内至少有一点ξ，使得f ' ' (ξ) =0. (a

证明：因为f (x ) 在(a , b ) 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得∃ξ1∈(x 1, x 2) ，∃ξ2∈(x 2, x 3) ，使得f '(ξ1) =f '(ξ2) =0，又

f '(x ) 在[ξ1, ξ2]且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：

∃ξ∈(ξ1, ξ2) ⊂(x 1, x 3) ，使得f ''(ξ) =0。

3. 当x 为何值时，函数I (x ) =⎰0te -t dt 有极值.

解: I '(x ) =xe 故当x =0时,

-x 2

令

x

2

=0

2

x =0

I ''(0)=1>0

I ''(x ) =e -x -2x 2e -x

2

y 最小值=0

班级：

姓

名：

学

号：

试题共 6

页

加白纸 3 张

4. 试确定a 的值，使函数f (x ) =⎧⎨e x , x

x ≥0

在(-∞, +∞) 内连续．

⎩a +x , lim x →0-

e x =1

x lim(→0+

a +x ) =a f (0)=a

故a =1

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广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□ A 卷

□√ 闭卷

□ 考查

□√ B 卷

□ 开卷

一 . 填空（3×6=18分）

6. 函数 f (x ) =xe -x

的拐点是 .

7.

⎰

(1-sin 3x ) dx = .

8. 设) =x 2

f '(ln x (x >1) ，则 f (x ) = 9. 函数y =x +e x 上点(0, 1) 处的切线方程是10. 设Φ(x ) =⎰x

0sin tdt ，则Φ' (π

4

) = .

11. 设f (x ) =x , 则 f '(1) 等于 . 二 .计算题（7×6=42分） 7. x 2cos 1lim

x →0

sin x

.

8. 求定积分⎰11x

2

+x

2

.

9. 已知f (x ) =e x

x

，求⎰xf ' ' (x ) dx .

10. 设参数方程⎧⎨x =ln(1+t 2) =arctan t

确定函数y =y (x ) ，求⎩y

dy

dx .

11. 求f (x ) =Inx 按(x -2) 的幂展开的四阶泰勒公式.

12. 计算曲线y =

三. 应用及证明题（10×4=40分） 5. 证明：当x >4时， 2x >x 2.

1

x (3-x ) 上相应于1≤x ≤3的一段弧的弧长. 3

6. 设f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可导，且f (1) =0, 求证：存在ξ∈(0, 1) ，使得f ' (ξ) =-

7. 求函数F (x ) =⎰0t (t -4) dt 在[-1, 5]上的最大值与最小值．

x

f (ξ)

ξ

.

班

级：

姓

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学号：

试题共 6

页

加白

8. 试确定⎧a 的值，使函数f (x ) =⎪

x 2+a , x ≤0⎨在(-∞, +∞) 内连续． ⎪⎩

x sin 1

x , x >0

GDOU-B-11-302广东海洋大学 2011—2012学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□√ A 卷

□√ 闭卷

□ 考查

□ B 卷

□ 开卷

一 . 求下列极限（5×4=20分）

3x +2

12. lim ⎛2x +3⎫

x →∞ ⎝2x -3⎪⎭

2x -36

原式=lim

⎛62(3x +2)

→∞

⎝

1+6⎫

x -3

x 2x -3⎪⎭

=e 9

2.lim

x -arcsin x

x →0

sin x

3

x -arcsin x lim =原式

=x →0x →0x 3

分子有理化

=x →0

=x →2

=-

16

1

⎛x ⎫sin x

3.lim 1-⎪

x →02⎭⎝

2

原式=lim ⎛1+(-x ) ⎫

x →0

-2x 21

-2x sin 2x

2

⎝⎪2⎭

=e

-12

4.lim

⎰

x 0

x 2

t dt

32

x →0+

⎰t (t -sin t )dt

x 32x 洛6x 2洛12x

原式=lim =lim =lim =12

x →0+x (x -sin x ) x →0+1-cos x x →0+sin x

二 .求函数f (x )=

f (x )=

x -1

的间断点并判别其类型。（6分）

x 2-3x +2

x -1

x =1和x =2为间断点

(x -1)(x -2) x -1x -1

lim =-1≠f (1)lim =∞ x →1(x -1)(x -2) x →2(x -1)(x -2) 所以x =1为可去间断点,x=2为无穷间断点.

三．求下列导数或微分（6×4=24分） 1.设y =lncos e 2x ，求

dy

。 dx

dy 12x 2x

=(-sin e ) e 2=...... 2x dx cos e

13.

设函数y =dy

.

y '=

(-2x ) =

y x

dy

。 dx

所以dy =y 'dx =......

3. 求由方程=arctan 所确定的隐函数y =y (x )的导数

⎧y =ln(1+t 2) d 2y

4. 设⎨，求2。

dx x =arctan t ⎩

2t

dy dy /dt 2

解:===2t

1dx dx /dt

1+t 2

d y

=2

dx

2

d (

dy ) /dt =dx /dt

2

=2(1+t 2) 11+t 2

四. 计算下列积分（5×4=20分）

x 2

。9. ⎰1-2x 3

1(x 3) '

1111133

解:原式=⎰3=⎰=-(-2x +1) =-ln -2x 3+c 33⎰1-2x 31-2x 61-2x 6

2.⎰x 2arctan xdx 。

111

原式=⎰arctan xd (x 3) =x 3arctan x -⎰x 3d arctan x

333

13x 3131x =x arctan x -⎰dx =x arctan x -x -dx 33(1+x 2) 33⎰1+x 211x 112=x 3arctan x -[-⎰d (x +1)]233221+x

131x 21

=x arctan x -[-ln(1+x 2)]+c 3322

2

3. ⎰0x .

1

解:设x =sin t 原式=⎰

π/2

dx =cos tdt x =0时t =0x =1时t =

π

2

1π/221π/2

sin 2tdt =1-cos 4tdt ⎰⎰00048π/2π1π/21

=⎰1-cos 4td 4t =(4t -sin 4t ) =

00323216

sin 2t cos t cos tdt =

4. ⎰0

+∞

x

(1+x )

22

.

1+∞1+∞1-1+∞12-222-22

原式=⎰(1+x )dx =⎰(1+x )d (1+x ) ==

202021+x 202

五．证明方程ln x =-1在区间(e -1, e 3)内至少有一个实根。（6分）

x

+1, e

从而在(e-1, e 3) 内连续. 证:设f (x ) =

ln x -f(e-1) =-1-e -2+

1

f (x ) 在(0,+∞) 上连续,

x e

f (e 2) =3-e +1>0

由零点定理, ∃ξ∈(e -1, e 2)

⊂(e

-1, e 3), 使f (ξ) =0

六．求曲线y =(2x -5（8分）

y =(2x -5=2x 5/3-5x 2/3

102/310-1/320-1/310-4/31x -x y ''=x +x =+) =

3399x 得分点x =-1/2x =0y '=

所以，……

七．用拉格朗日中值定理证明不等式：

nb n -1(a -b )a n -b n

na n -1(a -b )，其中0b

a , n 1。（8分）

证明:

设f (x ) =x n , 则f (x ) 在[b,a]上连续, 在(b,a)内可导

a ξ-b ξ

由拉格朗日中值定理得:∃ξ∈(b,a),使f '(ξ) =

a -b

a ξ-b ξa ξ-b ξn -1n -1

即n ξ=, 而b a -b a -b

所以nb n -1(a -b )

八．求由y =x 3, x =2, y =0所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（8分）

解：如图，绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为

11282

V x =⎰πy d x =⎰πx 6d x =[πx 7]0=π

0077

绕y 轴旋转所得的旋转体的体积为.

2

2

2

V y =2⋅π⋅8-⎰πx d y =32π-π⎰y d y

2

8

2

2

23

364

=32π-[πx 3]8=π 0

55

5

广东海洋大学 2009 — 2010 学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案

课程号： 19221101x2

√ □考试

□ 考查

√ □A 卷

□ B 卷

√ □闭卷

□ 开卷

一、 填空（3×8=24分）

∧

1. 设a ={3, -1, -2}，b ={1, 2, -1}，则cos(a , b ) =

3221

2. 同时垂直于向量a ={2, 2, 1}，b ={4, 5, 3}的单位向量为±1{1, -2, 2}

3

3. 曲线y =2mx ，z =m -x （m 为常数）在点(x 0, y 0, z 0) 处的切线方程为

x -x 0y -y 0z -z 0

==12m -1

4.

e xy -1lim =0(x , y ) →(0, 1) 2x +y

5. 函数u =xy 2z 在点(1, -1, 2) 处的梯度为{2, -4, 1} 6. L 为圆周x 2+y 2=a 2（a >0），则L e x ^2+y ^2ds =e a ^22πa

x n 7. 幂级数(-1)

n n =1

∑

∞

n

的收敛半径为1

8. 微分方程y ''=e x 的通解为y =e x +C 1x +C 2 二、 计算下列函数的导数或微分（2×6=12分） 1. 设z =arctan u , u =x +y , v =x -y ，求dz 。

v

解：

∂z

=∂x

11+u 2v

2

1+v

11+u v 2=

-u

u 2v 2

=

v -u u 2+v 2

=

-y x 2+y 2

（3分）

∂z =∂y

11+u

2

1+v

11+u

2

v +u u +v

2

2

v

2

=

x x +y

2

2

（2分）

v 2v 2

dz =

-y x +y

2

2

dx +

x x +y

2

2

dy （1分）

2. 设x =ln z ，求∂z 和∂z 。

z

y

∂x ∂y

解：

F (x . y . z ) =

x z

-ln =0（1z y

分） 则 F x =1，F y

z

=

y z

z y 2

=1，F z

y

=-

x z

2

-

1z

（3

F

分）∂z =-x =z

∂x F z x -z

F y ∂z z 2

=-=

∂y F z y (x +z )

（2分）

三、 计算下列函数的积分（4×7=28分） 1.

⎰⎰xy d σ，其中D :x

D

2

+y 2≤a 2(a >0) 第一象限部分。

4分

4

a

解：原式=2d θr sin θcos θdr =

008

π

⎰⎰

a 3

(3分)

2.

⎰⎰⎰

Ω

x 2+y 2+z 2dV ，其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围的闭区域。

解：原式=⎰3.

2π

π

d θ

⎰

2

d ϕ

⎰0

cos ϕ3

r sin ϕdr =

4分

π

10

（3分）

L

e y ^2dx +xdy ，其中L 为x =±1, y =±1所围成的矩形域边界线的正向。

y ^2

解：原式=⎰⎰(1-2ye

D

D

) dxdy =

3分

⎰⎰1dxdy =4（4分）

D

（由对称性得⎰⎰-2ye y ^2dxdy =0） 4.

其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成xydydz +yzdzdx +xzdxdy ，

∑

的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 解：原式=⎰⎰⎰(x +y +z ) dV

Ω

3分1

=

⎰0dx ⎰0

1-x

dy

⎰0

1-x -y

(x +y +z ) dz =

3分1

⎰0dx ⎰0

1-x

1分11(x +y ) 2

(-) dy = 228

四、 解下列微分方程（2×7=14分） 1. 求微分方程(y +3) dx +cot xdy =0的通解。

解：dy =y +3，

dx

cot x 1

dy =tan xdx ，（3y +3

分）ln y +3=-ln cos x +C ，（3分）

y =C cos x -3（C 为任意常数）（1分）

2. 求微分方程y ''-y =4e x 的通解。

解：y ''-y =0，r 2-1=0，r =±1，Y (x ) =C 1e x +C 2e -x （3分） 设y *(x ) =axe x ，a =2，y *(x ) =2xe x （3分） y (x ) =Y (x ) +y *(x ) =C 1e x +C 2e -x +2xe x （1分） 五、 级数的应用（2×8=16分）

1. 将f (x ) =ln(4+x ) 展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

11

=解：

4+x 4

1∞(-1) n n =x x 4n =04n 1+

41

∑

x ∈(-4, 4) （3分）

∞

(-1) n 1n +1

ln(4+x ) -ln 4=dx =x n +104+x

n =0(n +1) 4

⎰

x

∑

ln(4+x ) =ln 4+

n =0

∑(n +1) 4n +1x n +1（4分）x ∈(-4, 4]（1分）

∞

(-1) n

2. 将函数f (x ) =1(0≤x ≤π) 展开成正弦级数。

解：f (x ) 作奇延拓展成正弦级数，a n =0, n =(0, 1, 2, 3, ) ，（2分）

⎧4

, n =1, 3, 5, 22⎪

b n =sin nxdx =(1-cos n π) =[1-(-1) n ]=⎨n π（4

π0n πn π⎪⎩0, n =2, 4, 6,

2

⎰

π

分）

f (x ) =

sin(2n -1) x x ∈(0, π) （2分） π∑2n -1

n =1

4

∞

1

六、 证明：lim (

n →∞

b

αn

) n =lim

b

n →∞αn

=

b

α

，（4分）得当b α时发

散。（2分）

班级：

姓

名：

学号：

试题共 4

页

加白纸 2 张

广东海洋大学 2010—2011学年第 二 学期

《 高 等 数 学 Ⅱ》课程试题

试

□√ A 卷

□√ 闭卷

课程号： 19221102x2

□√ 考□ 考查

□ B 卷

□ 开卷

一 . 填空（3×8=24分）

14. 多元函数在P 0处有偏导数是该函数在P 0处可微的条件。

12y '+xy =e -x 2

15. 微分方程的通解为 。

2

16. 4⎰0

= 。

F (x ) 是e

-x 2

17. 已知的原函数，⎰F (x ) dx = 。

18. ⎰f '(x ) dx = ， (⎰f (x ) dx ) '= 。 19. 方程5y ''+6y '+5y =0的通解为 。 20. 函数f (x , y ) 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。x

8. lim

⎰0

sin tdt x →0

x 2

= 。

二 .求积分（6×5=30分）

1．⎰(1

x -e x +5) dx

2. ⎰cos 2

x

2

dx

3. ⎰x sin xdx

4. ⎰x 2x +3dx

03

x

5. ⎰-1x 2(x +sin x ) dx 6. ⎰e sin xdx

1

三．求解下列各题（46分）

1. 已知某函数满足方程ydx +(1+y ) xdy =e 求解此函数（10分）。

y

e +e -1

dy ，且当y =1时，x =。

2

2. 已知y =x +ux +sin v , u =e

23

3. 已知曲线y =x 2。

3

x

, v =ln x ，求dy （6分）。

dx

（1）利用定积分求曲线与x =1, x =3及x 轴所围图形的面积.(5分) ； （2）利用二重积分再算该图形的面积（5分）。

4.

计算，其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围

D

成的在第一象限内的闭区域。（10分）

5. 研究函数f (x , y ) =13x 3-12x 2-6x +13y 3+1

2

y 2

10分）。 的极值（

班级：

姓

名：

学号：

试题共 4

页

加白纸 2 张

广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期

《 高 等 数 学 Ⅱ》课程试题

□√ 考试

□ A 卷

□√ 闭卷

课程号： 19221107x2

□ 考查

□√ B 卷

□ 开卷

一 . 填空（2×8=18分）

21. 多元函数在P 0处连续是该函数在P 0处可微的条件。

22. 微分方程1

2y '+xy =0的通解为 。

23.

⎰

2

3

dx ⎰0

dy = 。

(x ) 是e

-x 2

24. 已知F 的原函数，⎰F (x ) dx = 。

25. ⎰df (x ) = ， d ⎰f (x ) dx = 。 26. 方程y ''-2y '+y =0的通解为 。 27. 函数f (x , y ) 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。x

t 8. lim

e dt x →0

x

= 。

1

9.= 。

二 .求积分（6×6=36分）

1

1．⎰(-e x +5sin x +x ) dx

2. ⎰(

ln x

+5) dx

x

3. ⎰x cos xdx

5. ⎰2

3-2x (x +cos x ) dx 6.

x

4. ⎰

31

x 2

+5x +6

dx ⎰e x

cos xdx

三．求解下列各题（46分）

2x

y =u +uv , u =e , v =ln x ，求dy （10分）1. 已知。

dx

2. 已知曲线y =ln x 。

（1）利用定积分求曲线与x =1, x =e 及x 轴所围图形的面积.(8分) ； （2）利用二重积分再算该图形的面积（8分）。

22

3. 计算⎰⎰(1+x +y ) dxdy ，其中D 是由圆周x 2+y 2=9及坐标轴所围

D

成的在第一象限内的闭区域。（10分）

5. 研究函数f (x , y ) =13x 3+52x 2+6x +13y 3+1

2

y 2

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10分）。 的极值（

班级：

姓

名：

学

号：

试题共

页

加白纸

张

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2009—2010学年第一学期

《高等数学Ⅱ》课程试题

考试

√ A 卷

√ 闭卷

课程号： 19221102

√□ 考查

□ B 卷

□ 开卷

一. 填空题：（3分⨯9=27分）

1. 当 x →0 时，tan 2x 为sin 5x 的 阶无穷小。

2. 曲线y =2x 2-x +1在(1, 3) 。 3. 假定f '(x f x 0) -f (x 0+2∆x )

0) 存在，则∆lim

x →0

∆x

= 。

4. 函数y =x 2-4

x 2-3x +2

可去间断点为x = 。

⎧e x +a , x ≤05. 设f (x ) =⎪

⎨⎪

sin x ⎩x , x >0，则当a = 时，f (x ) 在x =0 处连续。

6. 函数连续是函数可导的 条件。 7. d (

) =

1

3+x

dx 。 8. y =e 2x +3x , 求y ''= 9. lim(

12n

n →∞

n 2+n 2+3n 2+n

2) =。

第 32 页 共 35 页

班

级：

姓

名：

二. 计算下列极限 （6分⨯4=24分）

1. lim(1x →∞-2

x ) 3x

2. lim x →+∞

3. lim (sec x -tan x ) x →

π

2

4. lim

tan x -x

x →0

x 2sin x

三. 计算下列函数的导数或微分（7分⨯5=35分）

1. 函数y =f (x ) 由方程y s i n x

-c o x +s (y =确) 定，求y '。

y 'sin x +y cos x +sin(x +y )(1+y

2. 设y =f '(u ) 存在，y =f (sin3x ) , 求dy

dx

。 3.

设y =ln(arctanx ，求dy 。

4. 设y =x tan x (x >0) ，求

dy

dx

。 5. 设⎧⎨x =t 2+1d 2y 3t

，求。 ⎩y =3dx 2

四. 求函数y =x 3-6x 2+9x -5的单调区间与极值。（8分）

五. 证明: 方程x 3-6x 2+12x -1=0在(0,1)区间内有唯一实根. (6分)

GDOU-B-11-302广东海洋大学 2009—2010学年第一学期

《高等数学Ⅱ》课程试题

考试

□ A 卷

√ 闭卷

课程号： 19221102

√□ 考查

√ B 卷

□ 开卷

第 33 页 共 35 页

一. 填空题：（3分⨯9=27分）

1. 当 x →2 时，x -2为x 2-4阶无穷小。

2. 曲线y =2x 2-x +1在(1, 3) 处的法线方程为。 3. 假定f '(x ) 存在，则lim

h →0

f (x ) -f (x -2h )

=

h

2x -4无穷间断点为x = 。 4. 函数y =

x 2-3x +2

1⎧2

, x >0⎪x sin

5. 设f (x ) =⎨, 则当a =时, f (x ) 在x =0处连续。 x

⎪⎩x +a , x ≤06. 函数可导是函数连续的 条件。 7. d (

) =2

x dx

8. y =ln(1+x ), 求y ''= 。 9. lim(

n →∞

123+++n 2n 2n 2n

) =。 n 2

二. 计算下列极限 （6分⨯4=24分） 1. lim

x →+∞

2. lim(1+

x →∞

12x

) x -2

(sec x -tan x ) 3. lim π

x →

2

4. lim

sin x -x

x →0x 2tan x

第 34 页 共 35 页

三. 计算下列函数的导数或微分（7分⨯5=35分） 1. 函数y =f (x ) 由方程xy =e x +y 确定，求y '。 2. 设y =f '(u ) 存在，y =f (cos3x ) , 求3.

设y =ln(arctanx ，求dy 。 4. 设y =(1+x 2) tan x (x >0) ，求

dy

。 dx

dy

。 dx

⎧x =3e t d 2y 5. 设⎨，求。 2-t

dx ⎩y =2e

四. 求函数y =2x 3-3x 2+4的单调区间与极值。（8分）

五. 证明： 方程x 3+3x 2+3x -2=0在(0,1)区间内有唯一实根.(6分)

第 35 页 共 35 页