第三章 量子力学中的力学量
第三章 量子力学中的力学量
[教学目的]：
力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量
算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢
原子的能级与波函数，算符随时间的变化。
由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中
的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力
学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力
学，量子力学中的力学量需用算符表示。
第一节 力学量算符
一. 算符
算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用
表示一算符。
二．力学量算符
1. 坐标的算符就是坐标本身：
2. 动量算符：
,
,
3. 动能算符
4. 哈密顿算符：
5. 角动量算符：
如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式
中将
换成算符得出
算符和它所表示的力学量的关系
第二节 算符基本知识
一 线性算符
满足运算规则
的算符
称为线性算符。
二 单位算符
保持波函数不改变的算符
三 算符之和
加法交换律
加法结合律
两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积
定义: 算符
与
的积
为
注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：
五 逆算符 这是与平常数运算规则不同之处。
设
能唯一解出
，则定义的逆算符
为：
注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，
六 算符的复共轭，转置，厄密共轭
1． 两个任意波函数
与
的标积
2． 复共轭算符
算符
的复共轭算符
为：把
的表示式中所有复量换成其共轭复量
3． 转置算符
定义: 算符
的转置算符
满足：
即：
4． 厄密共轭算符
算符
的厄密共轭算符
定义为
即
算符
的厄密共轭算符即是
的转置复共轭算符
5. 厄密算符
厄密算符是满足下列关系的算符
注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符
例：证明
是厄密算符
证：
为厄密算符，
为厄密算符
第三节 力学量算符的本征值与本征函数
一 厄密算符的本征值与与本征函数
设体系处于
测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为
如
为厄密算符，
也是厄密算符
存在这样一种状态，测量力学量
量
的本征态。在这种状态下
所得结果完全确定。即
. 这种状态称为力学
称为算符的一个本征值，
二 力学量算符的性质
1. 力学量算符是厄密算符
为相应的本征函数。
量子力学的一个基本假定: 测量力学量
时，所有可能出现的值，都是力学量算符
的本征值。
厄密算符的本征值必为实数
证： 设
为厄密算符
取
是实数
表示力学量的算符为厄密算符
2．力学量算符为线性算符
态叠加原理决定了力学量算符为线性算符
【证】： 设
也应是体系的态
即
三 厄密算符本征函数的性质
1正交性 为线性算符
厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
如果两函数
和
满足
积分是对变量变化的全部区域进行, 则称
与
相互正交。
[证]: 已知
为实数
由厄密算符性质
这里只考虑分离谱, 对连续谱也是成立的
对归一化的本征函数
分离谱
连续谱
这样的本征函数构成正交归一系.
2. 完备性
设
为代表某力学量的厄密算符, 它的正交归一本征函数系为
可按
展开
,对应的本征值为
则任一函数
本征函数的这种性质称为完备性
与x 无关, 利用
的正交归一性, 将
等式两边，对x 在整个区域积分
即:
如
总归一化
讨论:
当
是算符
的一本征函数时, 即
即
其它系数为零, 这时测量力学量的测量值必是
当
不是
的本征函数时
, 可按本征函数展开
, 测量力学量的结果是本征值之一, 测量结果为
的几率为
波(态) 函数可以完全描述微观粒子的状态
量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定
:
密算符, 它们的本征函数组成完全系, 当体系处于波函数
的数值必定是算符
的本征值之一, 测得
量子力学中表示力学量的算符都是厄 所描写的状态时, 测量力学量F 所得 的几率是
四 力学量算符的平均值.
对于一态
,将其按某力学量的本征函数集
展开
是归一化的
出现本征值
的几率为
,则按由几率求平均值的法则
上式可改写为
[证明]
是归一化的
如未归一化：
如本征值是连续谱
定理: 在任何状态下, 厄密算符的平均值都是实数
[证明]
逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符
例1:设
为厄密算符, 则
[证明]
第四节 几种典型力学量算符的本征函数
一. 坐标算符
即
为坐标
算符本征值为
的本征函数。
二. 动量算符
动量算符的本征值方程
，
，
它们的解
如何确定归一化系数C
这是由于本征值
一化
函数
可取任意值，动量本征值组成连续谱, 可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.
=
取
, 归一化为
函数
归一化的动量本征函数为
箱归一化:
如给波函数加上边界条件, 即粒子被限制在一正方形箱中, 边长为L
，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同
，
，
同理：
，
，
为正负整数或零。
本征值谱由分离变为连续.
加进周期性边界条件后, 动量本征函数可归一化为1，归一化常数为
。
归一化波函数为
三. 角动量算符
，
，
用球坐标表示：
，
，
可以看出角动量算符只与
有关
1.
的本征函数
解出
，
应满足边界条件
exp =1 ，
归一化后，
是
的本征值为
的归一化本征函数。
2．角动量
的共同本征态：球谐函数
的共同本征函数为球谐函数：
轨道角量子数
磁量子数
具体表达式：
是正交归一的：
对应于
的一个本征值
有
个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数是
度简并。
第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系
一. 量子力学的基本对易关系
记
1. 坐标与动量算符的对易关系
为任意波函数, 所以
同理
概括起来
2. 角动量算符的对易关系式
同理可证
常用的对易关系式
二. 共同本征态
如两算符
, 满足
. 称
对易
定理: 如果两算符
有一组共同本征函数
，而且
组成完全系，则
对易
[证]
设
是任一波函数
＝
逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数
上述定理可推广到两个以上情况。
它们的共同本征函数完全集是
相互对易，它们有共同本征函数
要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。
从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如
在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。
三．测不准原理
设两算符
对易关系为
令
考虑积分
是实参数
都是厄密算符
不等式成立的条件是
对坐标和动量
例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能
【解】 振子的平均能量是
和
不能同时为零
最小值不能为零
为求最小值，测不准关系取等号
得出的最小值
，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。
第六节 电子在库仑场中的运动 氢原子
一． 电子在库仑场中的运动
核（Ze ）， 核外电子(-e)
氢原子 Z=1
类氢原子 Z>1
势能
薛定谔方程
分离变量法
径向方程的解
与角度部分有关的解
n 主量子数
轨道角动量量子数
m 磁量子数
可以看出能量本征值是和n 有关，对应于第n 个能量
有
个波函数
电子第个能级是
二．氢原子 度简并的。
对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题
薛定谔方程
相对坐标
质心坐标
约化质量
分离变量
带入方程用
除方程两边
与坐标无关
式描述质心运动，这是能量为
的自由粒子的定态薛定谔方程。
式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为
的粒子在势能为
要把前面结果中Z 的取为1，把电子质量换成约化质量即可 的力场中运动
氢原子能级
能级随n 增大而增大
电离能
电子电离
=13.60
=13.597 ( 取约化质量)
电子由能级
跃迁到
时辐射出光的频率
里德伯常数 R=10973731.1/m
R=10967758/m （约化质量）
电子按半径r 的分布几率
玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。
第七节 力学量随时间变化与守恒定律
一． 力学量平均值随时间的变化，守恒量
在量子力学中，处于一定状态
下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及
有薛定谔方程
若力学量
不是含t 则
，
。
如
又和
对易 即
， 则：
满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。
证：设
为守恒量, 则
，取
的一组共同本征态
对任一态
按
展开
总结：如果
是与
对易的不含t 的力学量（守恒量）则
在体系的任何态下，
平均值不随时间改变
在体系的任何态下，
的几率分布不随时间改变。
（3）若初始时刻，体系处于守恒量
状态也不是
本征态。 的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于
例：（1）自由粒子的动量动量守恒
动量
守恒
（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒
只与
有关
角动量平方及角动量分量都是守恒量。
(3)哈密顿不现含时间的体系能量守恒
能量守恒
（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒
空间反演
宇称算符
的本征值是1，
的本征值是
（偶宇称）
（奇宇称）
设体系的哈密顿算符
在空间反演后不变
则
和
可以有共同本征函数。
宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。 守恒量与定态的区分：
1. 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与
2. 在定态下，不显含t 的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变，而力学量只在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。
第三章 小结
一. 力学量用算符表示
,
1. 力学量与力学量算符的关系
全部本征值是且仅是相应力学量F 的所有可能取值。
2． 表示力学量的算符须具有的基本性质 (1). 线性算符, 即满足条件:
叠加原理要求 薛定谔方程必须是线性的, 要求
(2). 厄密算符
是线性的, 而
又是由诸力学量算符构成.
，
，
。
物理要求力学量所有可能值 (观测值) 均为实数, 即力学量的本征值为实数, 只有厄密算符的本征值全是实 3．力学量算符本征函数具有的基本性质 (1). 正交归一性，这是由算符的厄密性决定的.
分离谱
(2).算符的本征函数集具有完备性
连续谱
（a ）分离值
,
.
取值为
的几率
（b ） 连续谱：
完备性的另一描述：
分离谱
连续谱
[证]：
,
若上式=
, 则要求
4． 力学量算符的平均值
一般表示，
分离谱
连续谱
上述波函数是归一化的。 二. 几种基本的力学量算符及本征函数
1. 坐标算符
本征值谱为连续谱
, 所有实数本征值为
的本征函数
正交归一性
:
完备性:
2. 动量算符
本征值为连续谱, 区间
内所有实数值, 本征值为的归一化本征函数
正交归一化条件
:
完备性:
2. 轨道角动量算符
常用球坐标表示
与
有共同的本征函数
角量子数
磁量子数
的本征函数
正交归一性:
完备性:
3. 一维无限深势阱的能量本征函数（宽度a ）
4. 一维线性谐振子的能量本征函数
厄米多项式
逆推关系:
三. 算符的对易关系 测不准关系 1. 常见对易关系
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 测不准关系
.
四. 氢原子 (电子在库仑场中运动)
哈密顿量:
能量本征值:
能量本征函数:
, 能级
度简并.
第三章 例题
主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布. 一. 有关算符的运算
1. 证明如下对易关系
(1.) (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
[证]
(1)
(2)
(3)
一般地, 若算符
是任一标量算符, 有
(4)
一般地, 若算符
是任一矢量算符, 可证明有
(5)
=0
同理：
。
2. 证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况
为厄密算符
,
为厄密算符,
为实数
为厄密算符
为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符
和
共同的正交归一化本征函数完备集为
,
取:
试证明:
也是
和
共同本征函数, 对应本征值
分别为
:
。
[证]
。
是
的对应本征值为
的本征函数
又:
是
的对应本征值为
的本征函数
可求出:
二. 有关力学量平均值与几率分布方面
1. (1)证明
是
的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x 在
中的平均值
[解]
即
是
的本征函数。本征值
2. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数
描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
【解】
宽度为a 的一维无限深势井的能量本征函数
注意:是否归一化波函数
能量本征值
出现
的几率
, 出现
的几率
能量平均值
另一做法
3 . 一维谐振子在
时的归一化波函数为
所描写的态中式中，式中
的可能值，相应的概率及平均值；（3）
是谐振子的能量本征函数，求（1）
的数值；2）在
态中能量
时系统的波函数 ；（4）
时能量的可能值相应的概率及平均值
[解](1)
,
归一化，
，
，
（2）
，
，
；
，
；
，
；
（3）
时，
所以：
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
4． 设氢原子处于状态
求氢原子的能量, 角动量平方以及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
[解] 能量本征值
能量本征态
当n=2 时
本征值为的
，
出现的几率为100％
可能值为
出现的几率分别为：
。
5 . 在轨道角动量
和
共同的本征态
下, 试求下列期望值
(1).
; (2)
.
[解]：
三 测不准关系
1. 粒子处于状态
式中
为常数, 求粒子的动量的平均值, 并计算测不准关
系
[解]先归一化
(1) 动量平均值
(2)
(3)
附:
常用积分式：
（1）
（2）
（3）