焦点三角形面积的十种计算方法

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２

０ ０６年 第 ３ 　

期河北 理

教 科学 研究　

题问 讨论

　焦

点 三 角形 面 的积 种 计十算 方法　

云南广 省南 一 中邴 图 　 玉６３０ 　 ６ ３

０义

定

有 心锥圆 曲 线上一 点和 焦 两点组　

由题意 、 圆 义定及 圆 的 切 线 质性 知Ｓ＝ 　

椭 １ 　 １

成　 的三角 形叫点 焦三角形 ．

　Ｐ Ｅ＋ｓ ｓ ＥＦ ＋Ｓｖ ｅ＝ Ｈ Ｈｌ 　ｉ

＼Ｐ

Ｅｒ＋＼　

＼Ｅ＼Ｆ 　

ｒ在圆曲线中，焦锥三角点形一是引个人

　注目 的 三形角 ，它 的面积是一 个 常非 重 的　

要 ＋ ＩＰ Ｉ（ 　Ｐ　＋ Ｉ ＦＩ ＦＩ　ｒ 　 　　 　 Ｆ ｒ＝ Ｉ— Ｉ Ｅ 　　Ｉ＋ 　＝ Ｐ　Ｅ ） （ 口＋２ ）ｒ＝口＋ｃ ． ２ｒ （ ｃ）　

几

量 何，其相关 的与题是各类问试考中的　

青常树． 所，值得我们以入探深．究此 ，笔为

　者不 从角同度焦点对角三 形面积作的全方　了

的探 位究 得， 到了形 式多 样 、多姿 彩多 的 十

　对于

双曲 线 ，妨 设不旁 Ａ心（ Ｙ　 　是 ）， ＰＦ 角内 分线平和 　Ｅ Ｆ 　 Ｅ Ｐ外 角 Ｅ 、Ｐ Ｆ

平　 分 的交点 ，线Ａ 交 　 轴 　于， Ｐ 三 角由形 　 内外角平分 线 质 知　性 ＝　 ＝ ＝ 　

　种

同形不式 ，论现如述下 与读，共者 赏 　．

为叙述 方便 ， 我们统 一 设Ｐ 椭是圆 方　程

篆

　（＝ ０ ６双线２ ２１ Ｉ｝ 　２ 　一故 　＝Ａ ＋　１ ＞＞ 或曲　一 ＝ 　　ＩＩ 口　　 　 —　　 口）ｘ　 ＰＩ　 Ｐ＝ 一 ｅ一“ 一＋ ＦＥ一 　｝＝． Ｐ一口 队 Ａ

Ｂ （＞口 ０＞ｂ０上 一的 ， Ｆ 是点 其焦 点 ， ， ） 、 　Ｅ

ＩＥＩ　 　＝ ，ｍ 　 Ｆ Ｐ ＩＩ　 凡＝，Ｅ 　２＝（ 是半 焦 　 ＰＩ ＦＩ ｃｃ　

距 ．） 　

定比由分点公知式＝ Ｂ　 三 ＝ 　　Ａ ＝ 　

　：故　ｅ ： 业ｙ ， 因 Ｉ为 Ｉ 　． Ａ又 　 ：ｙ —

ａ ｅ　 ｙ—　 ｅ

　１

已知 椭 或 圆双 线曲 上的点 对 两焦 点 的张 　

　。 求角焦点三 角 面形 　

积ｒ所

以 Ｐ ＝ＩＩ， 　　 　 ｙ ＩＩＦ ＂ｌＩ 　 　　Ｉ Ｅ

得：到　

ｙ　

＝Ａ 　Ｉ

ｒ

Ｓ故 ， 　：

这种

情 是 大况家 比较 熟 悉都 的， 形的 　它式

是

　：， ＋口ｃ． （ 故） 我　

们式 １ 形Ｐ是 椭 　 ＋ ：１圆口 ＞ ＞ｂ 　　（ 　０ 或双曲 　线一 ＝１ 口 ＞０ｂ＞０ 上 的一 　 　） （， ）

形

式 ２Ｐ 椭 是　 ＋ 圆１＝口＞６＞ 　　 （ 　 ０ 或双 曲 线 　 ＝一 口１＞ ０＞ｂｏ ３的　 ） 一　（ ， ）

ｚ口‘　 ６ 　

点

， Ｆ是 两焦点 ， Ｅ， 若 　 Ｅ ＝Ｆ 三 ａ形　 Ｐ角，

Ｐ 的 面Ｆ积 ．，为Ｅ ｓ则　

（） １于对 椭 圆 ， ．ｓ ｂ＝ｔ ｎ ；２ 对于 双　 ２ 　 （） ａ

点 ，

一 ｃ０ ， ｃ ０ 是 焦两 点， 椭 焦　圆 Ｅ ，（） Ｆ ， （ ） 点 三若 形 Ｐ Ｆ角的 内 圆 或切双 曲线 焦 三点角　 Ｅ 形 Ｐ　 旁的 圆半切 径 ｒ为三则角 形Ｐ Ｆ 的　Ｅ Ｅ，面

积Ｓ＝ｒ ＋ｃ口 （ ） 　

．曲

， 线 ２ｏ ．． ＝ｂｓｃｔ　 　

２已知焦 点 三角 形的 内 圆切 或旁 切圆半 径 　， 焦求点三 形 面积角　对 于椭 圆 ， 三 角形 ＦＥ 内 心 Ｈ为， 设Ｐ 则　

·

３知已 两 焦半径 的 积 条 ，　 求点 焦三角 面积形

设　 ＥＩ Ｉ　 ＝ｍ　， Ｐ ＝凡　， ｎｍｄ＝． Ｐ ＦＩＩ 且　 　　对

于 圆 椭 ． 椭 圆 定得义ｍ ＋ 凡： ２． 由 口　

３

０ ·　

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０２０ ６ 第 ３年　

期

河理北科教 研 究学

　题 问论　

又讨 三知角 形 阳Ｆ半 的周长为 Ｐ ｎ：＋ｃ故由 　，海 公伦 式得　

形 式

３ Ｐ是 椭　圆＋ ： １口 ６＞ 　 　 ＞（

２　 　 　

２Ｓ

：， （、ｐ ｐｍ—ｐ一凡 （）２ ） （ ）ｐ／一ｃ

　

＝

０或双 曲线　 一 ＝１ ＞００ｂ＞０ 上 一点 ， ）　 ，（ 　）口

ｂ　

　（￣／ ＋０ｃ （ ）一ｃ０（ ）ｐ—） ｍ一ｐ凡　 （ ）

Ｅ， 是两 焦 ，点 ＩＩ Ｐ　： ｄ， 三角　 　 若 雎 　ＦＩ 　则Ｉ 　

＝

￣

（ 　［２ 　 ／ （０ 一）Ｃｐ 一 ｍ＋ｐ凡＋ ｒ｝ ） 　 ａｎ￣

６［ 　 ／ ｐ　一 ｐ（＋凡 ａ）ｎ｝ｍ ＋ｒ 　

ｂ （　　 ＝ｂ 　

形Ｐ Ｆ的面积 Ｓ＝ｂ 　 　 Ｅ√ ｄｂ ．一

４　已知 椭 圆或 双曲线 上 的 到 点 其心 中的　距 离　 ，点 三焦 角形积　 面 设 求（ ，Ｐ 则） 由 意题得 Ｉ Ｐ 　Ｉ２ 　 　ｙ ， 　 Ｏ 　＝ 　

＋２

＝

＝＝

ｂ（ √０＋Ｃ （ ０）ｃ＋２ 一 　 ） ＋ｄ

ｙａ

＝

．ｄ　　

（ 　）

＊：

ｂ／ｃ ０＋ （ ０ 一ｄ＋ 、 ）（ｃ） 　 ／ｂｄ一（ 　 ０＾＋ ｃ（／ ）口一 　 ）

对ｃ于椭圆 （，式 与 椭 圆程方联解立 将　 ）

＊

＝

得

Ｉ 　　 　 、Ｉ ／ｙ ： ， ｅ　＝　 ， 　 ＩＳＦｌＩ 故 ： Ｅ１ 　 　　 　 ｌ 　

： 仰ｃＩ　 　 ： ｂ

＝

Ｉ

： ／ 　ｂ０ 一） ￣ｄ ｃ—．ｂ ｄ 一（￣ ２ 　ｂ＝／ ｚ 　 　对

于 曲线双 ，由 双曲 线定 义得 ｍ一凡 　

＝＿２　

￣

（　　 （／ ０一 ｃ ）＋ｄ０）一ｄ０　 （）

￣（ ／＋０ ｃ （）０一ｃ （ ）＋０） ｄ一口ｄ． （ 　

± ａ）三角 Ｅ 周的长为ｐ罟＋ 　， ２Ｐ形Ｆ 半 ＝ 号

＋ｃ 由 海伦 式得　 公

Ｓ＝， √

Ｐ 一Ｐ ） ，Ｐ—ｎ （ （ ｎ（ ）Ｐ一 ２ ）　

ｃ

＝＝

对于双曲

线， 式（与 曲双线方程　联 将 ）＊

立 得

、Ｉ， ｓ Ｉ解：／ 故 ＝ 　厂 詈孺　

１　　ｌ Ｅ　ＦＩ 　ｌ

　 √ （（＋２＋ —）＋ ＋ ）—ｐ 一） 号 ｃ詈 号ｍ ｎｃｐ 号ｃ（ 　 √ ２（（＋ ）—ｍ ｎ 号ｃ ｃ ｃｐｍｎ２ ＋ 一）） （２— 　√ （２ ［一 —）号 ｃｐｃ（ ｎ］ 一　 ） ｍ 　４

　√ ２（（ ａ２ ｐ 号ｃｃ４ 一））－ ２４ 　￣

６ｐ ｐ２ ）ｂ ／　 （一 ｃ　

＝ｌ ｙ ‘ ６　ｅ ＝ｃｙ ｌ厢 ＝

Ｐ

　＝

　 （ （ ｃ 一　 ）０ ｄ＋ ０（ ｄ一）。 ） ｃ　 ） ｃ）ｄ＋０ （＋０ （一 ０ （） ｄ一０　 ）（ ０＋ ｃ（ ）０一 ｃ（ 口＋）ｄ （） 口一ｄ 　

）＝

＝

故们 得我到　

＝

＝

６ （＋

（＋ ＋＋） 一号 号 ｃ√ 号 号ｃ２ ）ｃ　

形

４ 是 圆 ＝。６＋ 　 式椭　享１＞＞ Ｐ２ 　 （双线。一 ： 。，。，一 ）享　 曲１６）＞ 点或 （２。＞ 　

Ｅ上Ｆ是 焦点 两， 是坐标原点， Ｉ ＩＰ 　 ０ 若，　 　 ＝Ｏ

ｄ ， 三角 形Ｐ 的 面Ｆ 积　为则 Ｅ Ｓ

： （￣ ／＋ｃ０（ ） ０一ｃ （ ） ０＋ （ｄ ）０一 ｄ）． 　５ 已 椭知圆 焦两半 之 差 径或双 曲线 焦两半　 之径 和， 求点 焦三 形角面 积

　＝

６ｍ｛ｎ 　＋ 　２ ［√ ＋２ｍｎ 　 ＋（ 一） ） （ ｃｃ］ 妻

　

：

＝

　詈

＿＝＿　 　２

６ 　６：　 ． 　

设 ｌ ｌＥ　 　＝， ｍ Ｐ　ｎ， ＝于 圆 ， Ｐ 椭ｌＦｌ 　 对 由椭　 圆定 义 和 题意 得ｍ ＋凡＝ ２ 一，＝２ 　 ａ 凡 ｄ，ｍ联 立两 解 得 ｍ式：０ｄ， 凡＝０一ｄ，＋ 角形　 三

：　

：

故 　

们　得 　

ｌ

Ｆ的半阳周 长 为＋ｃ０由海 公伦 式　 ，得·

３１　 　· 　

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m

０２ 第期　３０ ６年

北河 理科教学 研 究　

题 问讨论

　

＋ （） ｃａ ＋（ — ））ａ （ — ）ｃｄ （ ｄ ｃ． ｃ 　

号号√ｃ ＋一 ｃ一） 号号 ＋＋（专 号＋ｃ 号 一（ ）） （ 号 ） ｃ （ 　

＋－［＋ ｃ）　 号ｃ］一一 √） 　２２＋（ ） 一（号］ 号 ｒ］ ［ 号 　 ‘ ｔ［ｎ （ 　ｃ ＿［） ｃｃ ）（ （ 　　√ ２　 　一］一 ］ 　 　［

于对双曲 线 由，双 线 定曲 义得 —ｎ＝ｍ

　

２± 将 ｍ 一１２＝ａ ，７ ａ ｍ与 ＋＝１ ２ ，７ｄ 立 两联 ，

　式解 得 ｍ＝ ＋ｄ，ａｎ＝ｄ ａ，— 形 Ｐ Ｆ的角　三 Ｅ

半周 为长ｄ＋ｃ 由 伦海 公 式得 ，

＝　

￣（ ＋ ０）ｃ ｃ （—ｄ） ／ ａ （ｃ一 ） ＋ ） ｄ． （ ｃ 　

＿［ ｃ　２ √（

　一 ］　 ］ 　 ［（ ） 孚 ｃ－ ［２ｃ√ｍ　２ √　ｃ 　－＝ ｎ 　 （‘ ａ ６］ ． Ｔ） （ 　＋ Ｃ因

为ｍ —ｎ＝２ 所 以 ｎ＝ ｍ ａ 一　故ａ ，２ ，

将又ｍ ｎ—＝２ａ 与 ｍ ＋ｎ＝２ ｄ 联立两　

式 解 ｍ ＝得—ａ ｎｄｄ＝ａ＋ ， 三，形 角ＰＦ 的 Ｅ 半　 长 为周ｄ＋ ｃ由 伦 公 海得式 … … ，　 故 我们得到　

２ 　 ２　

ｓｂ＋－（） ＝／ ｃｍ２２２ ｍ ２ ￣＿　

ａ

６：　

式形 ５ 是 椭 圆　 Ｐ ＝１ ｎ＞＋＞ｂ 　　 （

　— ａ Ｄ一 　

　

：

￣　

／

＿、（ ＋ｎ（ ｎ— （ Ｃ ／Ｃ） ｍ）ａ— ｍ）一０） ／＋ｃ（ 一ｃ 　

＝

或０ 双 曲线 　一Ｌ ： １血＞０ ｂ＞ｏ ￣ －　 ）ｔ ２ 　（， ） ￣－ ａ　

ｕ　

＝

￣

／　ｒ

＝

）　 。 （ｃ一　

． 一　

　

：一二　

点 ， Ｆ是

个 两 焦 点 ， 焦距 为 ｃ 三 形角 Ｅ，　 ，

半Ｐ Ｆ面积 为的 Ｓ 对椭 于 ， ｌ Ｅ圆ｌｌ Ｆ Ｉ Ｅ， Ｉ Ｐ　 　 —　 　 ｌＰ　

＝

故

们我得 到 形式　 ６ 是Ｐ椭 圆 ＋ ：１　ｎ ６＞ ＞　　 （ 　

ａ 　

’　 　

２’； 对于ｄ双线 ，曲 Ｐ＋ｌ 　Ｆ ２ ，ｌ ｌ ｌ 　 Ｅ ｄ 则　 　 Ｐ ＝

　ｏ

　

Ｓ＝￣（ ／ ａ＋ ｃ （ ａ—ｃ ） （） ｃｄ＋ —ｄ（． ） ｃ ）

　 或０双 曲　 一线＝１ ｎ＞ ０ｂ＞ ｏ ￣－－　 ） 　 ， （）￣ｔ ＿－ａ

　 ｏ 　·　

６ 已

知一 焦条 径半的长 ， 求 点 三焦 角形面 　

积设

知一 条焦半已径 的长为 ｍ ， 条 一　 焦

半另径 的 长 ｎ为　． 于椭 圆对 ，由题 意 及椭 圆 定 义 得ｎｍ 　

＝

点＋ ，Ｆ 两焦点 是 ，， Ｅ焦半 距 ｃ为 ｌ 若Ｅｌ ，　 或　 Ｐ ｌ　 ｌ ｍＦ， 于双 线 ，曲 ＝ｍ ｛ Ｐｘ ，　　 　 ＝ 对 Ｐｍ ，ａｌ Ｅ ｌ　 　

ｌＦＩ ，则 三角 形 Ｐ Ｆ的 积 Ｓ面＝ 　 　｝ Ｐ Ｅ 　（

＋ａｃ（ ） —ｃａ（ ＋ —ｍ）ａｃ ） ｃ（ — ＋ａｍ　 ）

．２

或 ｎ＝ ２ａ， ａ— ｍ ，又 三知角形 Ｐ Ｆ 的半 　

Ｅ周

长 为＋ｃａ由 海 公伦式得　 ，

Ｓ＝ ／ ａ ） ａ一 ２ａ ）ｍ—ａ —ｎ） 　 （￣＋ｃ（ ｃ＋ ｃ ＋（ （ｃ ＋ｃ ）

＝

　７

知已椭圆 或双曲 线上的 到 点坐 两标 轴距　 　

离之比 求焦 点角三 面积　

形 ＋（ｃ（— （ ｃｃ＋ａ ） ａ）ａ — ） ａ 一 ｍａｍ）＋ （ｃ＋ ２　 ￣

ａ＋ｃ （ （／ ）—ａ （ ＋ａ—ｃ）ｍＣａ—＋ｍ ）） （ ．Ｃ 　

不

妨 设 Ｐ点（ ， ）Ｙ 轴到和 　轴的 距 　　ｖ 到 之离比 　 为，则有 ｌ ｌ 　 　＝

＝

对 于双

曲 线，由 题 意及 双曲线 定 不义 　妨

ｌ

ｌ ． 　 １（）

对于椭圆 ，（） 将 代１入圆方程解椭　

得设 ｍ

ｎ—２ ＝ 知 又 三角形Ｐ Ｆ 的半 周 长　ａ ， Ｅ

厮

　吉 川　Ｉ　 －

．　 　 　

．为

号＋ ） ＋海公 得（ 　 由 伦 ｃ 　 式 ｎ，

ｃ ａｂ

　Ｙ 丽 ｐ 　‘

　

‘

ｓ （ ＋＋＋＋２（ 　 ＝ 号号ｃ 号 ｃｃ √） 一） 号 ·√号号 ｃ ）＋ ＋ｎ （＋＋ ｍ号 ｃ ） －（２ —＝

．　

于对 双线 曲 ，）（将 １ 代双 曲线方入程 解得

ｌ　ｌ　 ｙ　ｐ

　

所　 吉川ｙ 　 　 ｌ 　

３２ ． 　

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m

２００ 年６第 ３期　＝

ｌ ｐｃ＝ｌ　Ｙ 　 　 　 ａｃ ｂ　

北理科 河教学 究研　

问题

论　讨

ｃ 。 　。 　

＝ｉ， ’ 改我 　故我 们得 到　

－ ｃ～

一

，～ｐ

－ｃ

　

，＿ ２ ｃ＝ ｐ ．

　

＋　

形式

７ Ｐ 是 椭圆；＿　 １＝Ⅱ＞ｂ ＞ 　． ９Ｃ －＋ （ 　 ０ 或 双 曲线　一 １＝口＞０ ＞ｂ ￣ｏ ）　 （ ，）－　

ｃ海由伦 式 得 公 Ｓ ，　＝（ｐＰ—ｍ ）Ｐｎ—　）（ ·

＋ 　 ）　 （ ＋ｃ ）　 口　

（

ｐ２ ）一ｃ ） ｃⅡ 一（ｃ ＝ ＋Ⅱ （（ ）　（ 　＋ ａ ｃ ＿６ ＿ 　 ）２　 ＋１ …

点２ ， 是两Ｆ焦 点 ， 距焦 为ｃ 如点 果 Ｐ到 　Ｅ， 半， Ｙ 和 到轴　 的轴距 之离比为　 ， 角 形 ＦＰ三 Ｅ　 面积的为 Ｊ· １ 对于椭 圆 ， ｓ （） 　 ｓ＝Ｊ； 　 一

ｃ）＝ （６ ［　

口　） 　 ｃ］一所 以 Ｊ６ 　 ．ｓ＝　

√｝

口 ． ｍ　一与一 （ ）＝ 将ｃ ｍ＝凡一 　 ２ 　 又ｎ　

２ 口联立解 ｍ得 ＝ ２　 ＝ ｎ　 ２０　

，

（）２对 双于线曲 　，　 Ｓ＝／

￣ ，角三 　 故

形

ｂ　 一２ａ　

８

已 知两 条 焦半 ， 的比 ，焦 点 角二彤 囱 积 　　倥

求设

ｌＥｌ　 　ｍ， Ｐ＝　＝ ｎ且 ｍ ＝ ２ Ｐ． ｌ　 ｌ ，Ｆｎ　

Ｐ 的

ｐ周 詈 ＋　ｃ ＋Ｅ 半长＝ 号＋＝ Ｆ　 ＋

所ｃ 以Ｐ— ｍ ＝＋ｃ口 ． ，Ｐｎ＝ｃ一 　

—（）１ 椭由定圆义 得＋ｍｎ ＝ ，２ ｍ ａ与 　＝ｎ联立解

得 ＝ｍ２ 　 　 ０ ，ｎ ２

２ａ　

＝ 　，

又 三知 　角

口，

一ｐ２　 ＝

＋ 　ｃ

一ｃ 海 伦 公 式由得 　

，

形 ＰＦ半 周长的 为＋ｃ 由海 ａ公式伦得 　 Ｅ

Ｊ，ｓ ＝（ 口　＋ （ ） ｃ口＋ｃ２ ） 口＋一一ｃ （ ｃ

２　 ０、 ２ 　＋ 。一 　　 ，

。Ｓ

＝　Ｐ （—Ｐ）ｍ ｐｎ （ （—） ｐ 一２） ）ｃｃ ｃ（＝＋ 口 　（一

）口

（ 　

口（ 　）

＋ 　

ｃ （＋）

　

＋　

ｃ一　 ）

＝

　１ ＋口＋２ｃ（ 　）

口一 ｃ６＝ ＋ ２／ ）　 １　　

一

（ ＝＋口 （ｃ ）

口一ｃ （ ） ＋口 ｃ一

　） 口＋ｃ一 （

　

一

．ｃ以Ｊ ｚ ｂ２２Ｃ故 们 所　 ｓ　 ＂ ，２我 　 ］ ＝１ ￣ｘ ＂ ＋／一

）

２＋ｃ 　 口６（ ＝

（ 　

＝

） 一口＋ 　ｃ ０） 　 （ — ２ ２ ＋ ＾

＝得 到

　

） 　　（口 　ｃ＋＋一口ｃ （　ｃｃ＋ — ））口 ＋ 　 口　

形

８是 圆＝口＋ 式 Ｐ椭享　 ６＞　１　 ２ （＞０ 或双

曲线　 ：１ 口一＞ ，＞ ） ）　 （ ６ ０ ０的一上　ａ

　Ｄ 　

（　

）［ （＋１ ＋ Ⅱ —　１］ ｃ ＋　１ 　 ｃ　 　） ）（［（）

点 ，是Ｆ 焦点两， ｌ ｌ Ｅ Ｆｌｌ　 ， Ｅ， 若 　 ：Ｐ　　 ＝三角　 Ｐ 　

一

口

—１　 ］　 （） ＝（

［２）２１ ＋Ⅱ 一（一 　 Ｃ （ 　）　 　 　

口］ 　所 ，以＝ ｂ ） ． Ｓ　Ａ

十１ 　

形Ｐ 的面Ｆ积为 Ｓ，（ ）Ｅ则 １ 对于椭 圆 ， 　 ＝Ｓ

１

　］＝ ）ｂｃ （ 　［　一

　√

＿ ｃ（２ 　＝ 　

＝

．

　

， 故三 形 角 ＦＰ半的周 长ｐ Ｅ 　

６ｃ

（ 口；对 双线 √｝ ２２ ）于曲 ， 　一）　（ Ｊ　（６＿ ． ｓ 　 ＝√ ｃ２

９　 已 焦点 三角知形 的接 外圆半 ， 径焦点三　 　 求 角 形

面积

　）（ ２由 题 意及 双曲 线定义得 ｍｎ：—± 　 ２， ＝２ｍ ａ将ｎ与 ｍ —ｎ＝ ＋２ ａ 立联解 得 　 ｍ 　，ｎ ＝

设

点焦三形 角Ｐ Ｆ的接外 半径为圆Ｒ ，Ｅ 　在 角 三形 ＰＦ中 Ｅ，令　 Ｅ Ｆ＝Ｐ， Ｐ由正 弦 　定

ｉ ￣

ＩＥ ＩＦ　

一

号 ｃ．＋＿　＋＝．以 ｐｍ＋ 　。ｉ．＿ ｃ以 —　 　 ＋＝＝ ＋ 。ｉ 一　号 　 　＋· 所　

ｃ２　 　

＝　

。 ｓ　

＝ ｓ尺 ＝， ＝ｓ２ ｉｊ云ｃＰ　 ｎＰ

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０２ ０６ 年 第３ 期　

河

北 科教 理学 究研

问题 　论讨　

±

对为Ｐ√ 一 ） 旦±（ 为 角 取面 Ｓ积：—— 　一　 ｃ 于椭（ ， 圆锐　角１云 　＝ 锐Ｊ时　 （　　 ｐ 尺 ± 、 Ｒ 　／＝ 　 取时正 ， 钝 角为 时 取 负 ；于双 线曲， Ｐ 对 Ｐ 　为 角锐取时 负 Ｐ为，钝角时 正 取特）别 地 ， Ｐ 当；　 为 直角时 ， Ｓ＝ ． ｂ　　１ 已知 椭圆 或双 曲 线上 的点 的离 心角 ， ０　 焦求点三 角 形面　积设 Ｐ点 的离 角心为 ｛ ，由椭 圆 参数　的５ 则 方　 ６＞０程 双 曲或线的 参 　数）

正

， 钝 角 为 取时 负）从 而 ｔ得 Ｐｎ， ａ 　 １　ｏ：Ｐ—— 　 ｃｓ　 　 一＋

±Ｒ

　１２　

． 由形

式１得 ： 于对

刖

　

椭

圆 ． 　　 ：ｓ６ｔ

：

—　

—尺 ±￣　一 Ｃ ／Ｒ　

　二 Ｐ为　锐 （

时角 正 取 ， 钝 角为时取 负 ）

对 于 曲双 Ｓ 线Ｐ ．　

＿ ｃ ｔ６２ｏ 　 ： 　 —： ￣（ ￣ 　 ２ｂＲ ／Ｒ

－

２—

ｃ

～２ ）

：

　

（ 锐为 角 时取 负 ， 为钝 角　ｐ Ｐ 时取 正） 当Ｐ 直 角时 为 ． 由直 ， 三角 形角的 　

性方

｛ ｂ　 ６＞ Ｙ０ｂ｛ 程 　ｖ （０＞ ｐ知ｓ Ｌ ａ。 ， ） ｉ 　： ∞　 ｔｎ三 　 ５ｙ ＝

ｔ￣所对以椭圆于 ， ｌ ＝１ ｐＦ ｎ，ｂ ａ． ｛ 　　　 ｓ Ｅ

．１ ｌ 　ｌｃ ｉ｛ｌ对 于双 曲线１， 　 ＝　　ｃ ＝　ｓｂ５ ． ｌ ｎ　　Ｓ＝

质知外圆接径 半： １Ｒ ｌｌＦ 　 Ｅ　　 ： ｃ 以 Ｓ： 所　　

，

ｃ Ｒ ／２±￣６ ＿ 　

一蕊 ：ｃ 故２我们得　 到２ 　 ｂ

ｂ＂

ｌＦ 专　０ｃＹｌ ｂ ｎｌ　故　 　 　，ｌ 　ｐ ｃ＝ｔ． 有 Ｅ｛ ，ｌ ０＝ 　　５ 　 　 Ｐ　 １ａ

式形 １ Ｐ是椭　圆　 ＝＋１ ＞０＞ ｂ ０　（ 　

形

式 Ｐ９是 椭 圆 ＋　 １＝ ８＞６ ＞ 　 　（ 　

０　

’　’ 　

Ｄ

０　或 双 曲线　一 Ｙ １ ＝＞００ ｂ＞ ０ 上一　 ） 的 ２－ 　 （， ）

或０双 线曲　一 ＝１ ０＞ ０６＞ 上０ 的一　 ） 　 （，）

ａ 　ｏ　

点 ，Ｃ 一 ，０Ｃ 是 两 ０ 焦 点 三，角形 　Ｅ（ ，）Ｆ（ ，） 若 Ｐ的外 接 Ｆ 圆半 径 为，Ｒ 三角形 ＰＦ 的　 Ｅ则Ｅ

点 一，Ｃ０ ， Ｃ０ 是 焦点两 ，Ｅ（ ），Ｆ （ ，） 若 Ｐ点的 　 心 角离 ｛ 为三角 形朋 的 面积 Ｆ ．，为（ ） ，５ 则 １ｓ

对　椭于圆 ， Ｓ＝ｂ　 ｓ｛ １ ） 于 双（ 线 ， 曲　 　ｃ ５ｉ． ２ 对ｌ ｎ ．　 ｓ＝

ｂ

　 ｔｎ ＩＩ ａｃ ．　　 　

·

３ ·

４