1.3.2角的度量

1.3.2 角的度量

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课标要求

（1）掌握角的度量，会进行“度”、“分”、“秒”之间的换算。

（2）会用量角器画角。

本节重点是角度的换算以及用量角器画角，难点是角度的运算。

教材详析

1.角度换算

（1）度量的单位是“度”、“分”、“秒”. 把

一个周角等分成360份，每一份叫做一度的角，记作1°；

把1°的角60等分，每一份叫做一分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份叫做一秒的角，记作1

（2）1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。

（3）角的单位度、分、秒是六十进制，计算时要防止与十进制混淆，换算关系如下：

1°=60'，1'=60

2. 用量角器测量角的大小

测量角的大小的工具是用量角器. 用量角器量

角的步骤：

第一步对中：中心点对准角的顶点；

第二步对线：零刻度线和角的一条边重合（分

清是内圈的零刻度线还是外圈的零刻度线）；

第三步读数：从（内或外）零刻度线开始，看另一条边所指的度数，读出角的度数。

3.角的画法

画角的方法一般有两种：用量角器画角或用三角板画

角．

1．用量角器画角

（1）画一个角等于已知角：用量角器量出已知角的

度数，再画一个等于这个度数的角．

（2）画两个角的和、差，或一个角的几倍、几分之一：可以利用量角器，量出已知角的度数，计算出它们的和、差、几倍、几分

之一，再按照结果所得的度数画角．

具体操作方法如下： ①点一个点做角的顶点； ②画一条射线，做角的一条边； ③量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合； ④找内圈或外圈的刻度； ⑤描点；

⑥顶点与刻度的点连线。

2．用三角板画角

（1）特殊角，如30°、45°、60°、90°的角，可以直接利用三角板来画，

（2）画其他特殊角，关键在于设法把它写成上述特殊角的和或差，例如，凡是15°的整数倍的角，都可用三角板画出，因为15°的角，可以写成60°角与45°角的差，或45°角与30°角的差．但若写成30°角的一半，则仍不能画出，因为只用三角板，不能二等分角．能用三角板画出的，只限于上述各种角及其和、差、倍所成的角．

4.尺规作图

⑴任意作射线OF；

⑵以B为圆心，任意长为半径作圆，分别交BA、BC于E、D；

⑶以O为圆心，BD长为半径作圆，交OF于M；

⑷以M为圆心，DE为半径作弧，交圆O于N；

⑸作射线OG。

则∠GOF为所求的角，即有∠GOF＝∠ABC（如图1-3.2-1）。

图1-3.2-1

5. 钟面角

在钟表当中，时针与分针具有一定的关系，在不同的时刻它们有着一定的夹角，我们把这个夹角叫做钟面角。

（1）钟面的数字是从1到12，共有12个大格，60个小格，而1周角=360度，所以钟面的每个大格对应360°÷12=30°，每个小格对应360°÷60=6°；

（2）时针1小时转30°，1分钟转0.5°；分针1小时转360°，1分钟转6°.

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例题精析

例1 1.05°等于多少分？等于多少秒？

分析 要将1.05°化为分，根据度与分之间单位换算，只要将60′乘以1.5即可；要将1.05化为秒，只要将3600″乘以1.05即可. 解 60′× 1.05=63′；3600″×1.05=3780″.

所以1.05°等于63分,等于3780秒.

说明 将度化为分，将分化为秒主要依据度、

分、秒之间的单位换算：1°=60′，1′=60″，1°=3600″.

【变式】将70.23°用度、分、秒表示.

分析 70.23°实际是70°+0.23°,这里70°不要变,只要将0.23°化为分,然后再把所得的分中的小数部分化为秒.将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可.

解 将0.23°化为分，可得0.23×60′=12.8′， 再把0.8′化为秒，得

0.8×60″=48″. 所以70.23°=70°12′48″.

例2 将26°48′36″用度表示.

分析 将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了.将36″化成分，可以用(1)′乘以36. 60

1解 把36″化成分，36″=()′×36=0.6′,48′+0.6′=48.6′, 60

1把48.6′化成度,48.6′=()°×48.6=0.81°. 60

所以26°48′36″=26.81°.

说明 将秒化为分、将分化为度主要依据秒、分，度之间的换算：1′=(

1″=(1)°，60

11)′,1″=()°. 603600【变式】4800″等于多少分？等于多少度? 1 分析 要将4800化为分,只要用()′60

乘以4800即可,要将4800化为度,只要用(1)°乘以4800即可. 3600

114解 ()′×4800=80′, ()°×4800=()° 6036003

4所以4800″等于80分,等于度. 3

例3 计算：48°39′40″＋67°41′35″.

分析 先算秒和秒相加：40″＋35″= 75″= 1′15″；再算分和分相加：39′＋41′= 80′=1°20′，加上进位的一分为1°21′；最后算度和度相加：48°＋67°= 115°，再加上进位的度为116°.

解 48°39′40″＋67°41′35″= 116°21′15″.

说明 本题也可用竖式计算如下：

48°39′40″

＋ 67°41′35″ （对齐位）

115°80′75″ （做加法）

即 116°21′15″ （由低位向高位满60进一）.

用竖式计算多位数的加法时，首先要把数位对齐，满十向上一位进一.与多位数的加法类似，在角度的加法运算中，我们可以把度与度、分与分、秒与秒单位上的数分别相加，然后先把满60秒的进为一分，再把满60分的进为一度.

例4 计算：86°23′12″－67°36′50″.

分析 由于分、秒单位上的数都不够减，因此需向“度”单位上的数“借一”，具体办法是：先向23′借一，这时秒单位上的数变为72″，分单位上的数变为22′；再向度单位上的数“借一”，这时分单位上的数变为82′，而度单位上的数则变为85°.

解 86°23′12″－67°36′50″

=86°22′72″－67°36′50″

=85°82′72″－67°36′50″

=（85－67）°（82－36）′（72－50）″

=18°46′22″.

说明 进行角度的减法运算也与多位数的减法有很多相同的地方，即把同单位的数相减，不够减时，应仿照计算多位数减法的方法先向上一级单位“借一”，把被减数的角度化为分、秒单位上的数都大于作为减数的角度的相应单位上的数，然后再减.但要注意“借一当60”.

例5 计算：21°17′×5.

分析 角与一个数相乘，必须度、分、秒分别与这个数相乘，够60就进1.

解 21°17′×5

= 21°×5＋17′×5

= 105°＋85′

= 106°25′.

说明 把一个角度扩大几倍（一个角度乘以一个正整数），可借助乘法分配律的思想，把这个数分别与角度的度、分、秒单位上的数相乘，再把分、秒单位下满60的数向上一位进一.本题也可用竖式计算如下：

21° 17′

× 5

105°85′，即106°25′

例6 计算：49°28′52″4.

分析 角度与一个数相除，要从度、分、秒依次相除，每次相除所得余数必须化为更小的度量单位，并注意题中要求的精确度，进行四舍五入.

解 49°28′52″4

= 12°＋88′52″÷4 （49°÷4 = 12°余1°加到28′52″上为88′52″，

以下依次计算.）

= 12°22′＋52″÷4

= 12°22′13″.

说明 把一个角度除以一个数，先用度除以这个数，把余数部分乘以60转化为分单位上的数后再除以这个数，然后依次类推.

为什么错

1.混淆进制而致错

例7 计算：12°17′×4.

错解 12°17′×4=12°×4+17′×4=48°68′=54°8′.

分析 角度的换算，是60进制，应该是每满60秒的进为1分，每满60分的进为1度.错解把它与十进制相混淆，误认为60′=6°而致错。

正解 12°17′×4=12°×4+17′×4=48°68′=49°8′.

2.误解题意而致错

例8 钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？

错解 2时15分时，时针指向2、分针指向3，相差90°-60°=30°。

分析 错解误认为2时15分时时针指向2，实

际上此时时针从12向前转动了一个角，这个角的度

数为时针每分钟转动的角度0.5°×135.

正解 因为0.5°×135＝67.5°，6°×15＝90°，

所以90°－67.5°＝22.5°.

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例9 12点后，时针与分针何时首次重合？

分析 显然12点后，时针与分针的首次重合应该在1点到2点之间，因为12点时时针与分针互相重合，再次重合时分针应该比时针多 “走”一圈，即360°，所以设1时x分时针与分针重合，分别算出时针与分针转过的角度，列方程求解.

解 设1时x分时针与分针首次重合，则时针转了0.5 (60+x)°，分针转了6(60+x)°. ∵首次重合时分针应该比时针多 “走” 360°,

∴6(60+x)- 0.5 (60+x)=360,∴x

即12点后，时针与分针在1点60. 1160分时首次重合。 11

说明 钟表里的分针与时针的转动问题，本质上与圆周上的追击问题相同，只不过追击问题中的追击路程在这里就用角度表示（如本题中首次重合时分针比时针多 “走”的360°），而且这里的速度是固定的，即时针每小时转30°，每分钟转0.5°；分针每小时转360°，每分钟转6°.

【变式】某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？

分析 设李刚外出用了x分，则时针走了0.5x°，则分钟走了6x°，根据题意，出门时分针落后时针110°，回家时分针超前时针110°，所以路程差是110°×2=220°．由此可列方程求解。

解 设李刚外出用了x分，则时针走了0.5x°，则分钟走了6x°，由题意，得

6x-0.5x=220，解得x=40，

即李刚外出用了40分钟时间．

【智能分级演练】

知识达标 1. 把10.26°用度、分、秒表示为（ ）

A.10°15′36″ B.10°20′6″

C.10°14′6″ D.10°26″

2. 下面等式成立的是（ ）

A.83.5°=83°50′ B.37°12′36″=37.48°

A．18.15° B．18.16°

C．18.26° D．18.36°

8.22°20′×8等于（ ）

A．178°20′ B．178°40′

C．176°16′ D．178°30′

9. 把一个平角16等份，则每份为（用度，分，秒表示） ．

10. 计算：77°53′26″+33.3°= ．

11.计算：

（1）49°38′+66°22′；

（2）180°-79°19′；

（3）22°16′×5；

（4）182°36′÷4．

12. 计算：

①96°-18°26′59′；

②83°46′+52°39′16″；

③20°30′×8；

④105°24′15″÷3。

能力挑战

13. 如图1-3.2-2，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线刻度是

整点时时针（短针）所指的位置．

根据图中时针与分针（长针）的位置，

该钟面所显示的时刻在下列哪范围内（ ）

A．3点～4点

B．6点～7点

C．8点～9点 D．10点～11点

14.在时刻8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ） 图1-3.2-2

A．85° B．75°

C．70° D．60°

15. 甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是（ ）

A．甲说3点和3点半 B．乙说6点1刻和6点3刻

C．丙说9点和12点1刻 D．丁说3点和9点

16. 分别确定如图1-3.2-3所示的四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数．

图1-3.2-3

17. 某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的

刻度处，都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分

针所夹的角α内装有多少只小彩灯？

18. 如图1-3.2-4所示,时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针

方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？

自主创新

图1-3.2-4