数学中的几个经典不等式以及其用
数学中的几个经典不等式以及其用法
一, 数量不等式
1, 基本不等式 设a1,a2……an 为n 个正数则其算术平均数大于等于几何平均数 即：(a1+a2+……+an)/n>=(a1a2……an)^(1/n)，当且仅当a1=a2=……=an时等号成立。当n=2时可采用几何法进行证明（直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高，相似）
1， 用基本不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3. 2， 已知a,b,c 为不全相等的正数，证明：a+b+c>=(ab)^1/2+( bc)^1/2+(ca)^1/2 2, 柯西不等式 设a1,a2……an,b1,b2……bn 为实数
则有：(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)>=(a1b1+a2b2+……anbn)^2 当且仅当bi=0,i=1,2,……n 或者存在实数k 使得ai=kbi,i=1,2,……n 时取等号。当n=2时可借助向量的内积进行解释。
1, 求y=5*(x-1)^(1/2)+(10-2x)^(1/2)的最大值（当x=127/27时取最大值）.
y ≤5+⨯
22x -1+-x =6 22x -15-x =52
2，求y=3sin(x)+4(1+cos2x)^(1/2)的最大值.
解： 易证y ≤[(224) +]⋅(2sin 2x +1+cos 2x ) =41 22
上式当且仅当2sin x +cos 2x 成立 =4
2
3，用柯西不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3.
3，排序不等式 设a1=
则有：a1bn+a2bn-1+……+anb1=
4, 贝努利不等式 设x 为大于-1且不为零的实数，n 为一大于1的一自然数 则有（1+x）^n>1+nx.
二，积分不等式