高中数学奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性与周期性 一、填空题
m
1．已知函数f(x)＝1＋是奇函数，则m 的值为________．
ex －1
m m
解析：∵f(－x) ＝－f(x)，即f(－x) ＋f(x)＝0，∴1＋1＋＝0，
e －x －1ex －1∴2mex m m
＋0，∴2＋(1－ex) ＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. ex －1ex －1ex －1
答案：2
2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2) ＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x) ＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2) ＝3 －22＝－1. 答案：－1 13．已知函数f(x)＝a －，若f(x)为奇函数，则a ＝________.
2x ＋1
11
解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0⇔a －＝0⇔a .
220＋11
经检验，当a ＝f(x)为奇函数．
2
11⎛a －解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x) ＝－f(x)，即a －＝－
⎝2x ＋1⎭. 2－x ＋1∴2a ＝
12x 1
＋＝1，∴a ＝.
22x ＋11＋2x
1
答案：2
4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________.
1
解析：由a －1＝－2a 及f(－x) ＝f(x)，可得a ＝b ＝0.
31答案：
3
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________．
6．
解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}
(2010·全国大联考三江苏卷) 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一 条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x的解集为________． 解析：f(x)＋f(－x)>x即f(x)>x
2
[－2,1) ．
答案：[-2,1) 二、解答题
7．已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝x3＋x ＋1，求f(x)的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0，∴f(－x) ＝(－x)3－x ＋1＝－x3－x ＋1. 由f(x)为奇函数，∴f(－x) ＝－f(x)．∴－x3－x ＋1＝－f(x)，即f(x)＝x3＋x －1.
⎧x3＋x ＋1 (x＞0)
∴x ＜0时，f(x)＝x3＋x －1，又f(x)是奇函数．∴f(0)＝0，∴f(x)＝⎪
⎨0 (x＝0)
⎪⎩x3＋x －1 (x＜0)
8．f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x＋2) ＝f(x)，又当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1， 求f(log1
2
6) 的值．
解：∵x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1. ∴x ∈(－1,0) 时，f(x)＝－f(－x) ＝－2－x ＋1， ∵4＜6＜8，∴－3＜log 1
26＜－2. 又f(x＋2) ＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数．
∵－1＜log 12＋2＜0，∴126) ＝f(log1
2
6＋2) ＝
＝－2－log 13322＋1＝－2＋1＝－1
2
.
2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x) ＝f(2＋x) ，f(7－x) ＝f(7＋x) ，且在闭区间
[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y ＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 解：(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，且f(2－x) ＝f(2＋x) ， 令x ＝－3，f(－1) ＝f(5)≠0，∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f(10＋x) ＝f[2＋(8＋x)]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x) ＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋(13＋x)] ＝f(20＋x) ，∴f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x ＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有 两个根，则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根；在[－2 005,0]上有200×2＝400 个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根． 同步练习g3.1012函数的奇偶性和周期性
1—13、DAA BD B DD D C AAC. 14、f (x ) =-x 2-2x (x
18
、⎡⎢f (1) =f (1) =⎣ 19(1)⎭
24.
函数的奇偶性与周期性
1、若f (x ) (x ∈R ) 是奇函数，则下列各点中，在曲线y =f (x ) 上的点是
1
（A ）(a , f (-a )) （B ）(-sin α, -f (-sin α)) （C ）(-lg a , -f (lg)) （D ）(-a , -f (a ))
a
3. 已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ， 则f () 的值是（ ） A. 0 B.
5215 C. 1 D. 22
4、f (x ) 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2) =0，则方程f (x ) =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A ．5 B ．4 C ．3
1-x
. 若f (a ) =b . 则f (-a ) = 6、已知函数f (x ) =lg
1+x
11
A ．b B ．－b C． D ．－
b b
D ．2
8. 函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( )
(A) f (x ) 是偶函数 (B) f (x ) 是奇函数 (C) f (x ) =f (x +2) (D) f (x +3) 是奇函数 9. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则( ).
A. f (-25)
10. 已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2时，）=f (x ) ，且当x ∈[0, 2) ，则f (-2008) +f (2009)的值为 （ ） f (x ) =l o 2g x (+）1A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
1
2
1113（A ） （B ） （C ） （D ）
241288
x
11. 已知函数f (x ) 满足：x ≥4, 则f (x ) ＝() ；当x ＜4时f (x ) ＝f (x +1) ，则f (2+log 23) ＝（ ）
12已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加，则满足f (2x -1) ＜f () 的x 取值范围是（ ）
1
3
12121212，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） 33332323
14、已知函数y =f (x ) 在R 是奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2-2x ，则x
x +m
15、定义在(-1, 1) 上的奇函数f (x ) =2，则常数m =____,n =_____
x +nx +1
（A ）（
，1]上的函数y =f (x ) 是减函数，且是奇函数，若f (a 2-a -1) +f (4a -5) >0，求实数a 18、定义在[-1
的范围.