九年级数学试卷(含答案)

数 学

注意事项：

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2．试题卷上不要答题，请直接把答案写在答题卡上，试题卷上的答案无效。 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。

一．选择题（每题3分，共24分）

2

1. -的相反数是

32233

A．- B. C. - D.

3322

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A B C D

3．2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”

．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童

A. B. C. D.

5、下列说法错误的是（ ）

A 为了解全国中学生的心理健康情况，应用采用全面调查方式； B 调查某品牌圆柱笔芯的使用寿命，应采用抽样调查方式； C 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8； D 一组数据2，4，6，4的方差是2 6．函数y=

的图象与直线y=﹣x 没有交点，那么k 的取值范围是（ ）

A．k ＞1 B. k＜1 C. k＞﹣1 D. k＜﹣1

7．如图，点P 在以AB 为直径的半圆内，连接AP 、BP ，并延长分别交半圆于点C 、D ，连接AD 、BC 并延长交于点F ，作直线PF ，下列说法一定正确的是（ ）

①AC 垂直平分BF ；②AC 平分∠BAF ；③FP ⊥AB ；④BD ⊥AF ． A． ①③ B． ①④ C ． ②④ D ． ③④

8．当﹣2≤x ≤1时，二次函数y=﹣（x ﹣m ）2+m2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）

77

A.-

C.2

或 D.2

-

44

二．填空题(每题3分，共21分)

9. 分解因式：a 3﹣4ab 2= _________ ．

10. 如图，在△ABC 中，∠C=90°．若BD ∥AE ，∠DBC=20°， 则∠CAE 的度数是 ．

11. 若关于x 的方程x 2+(k﹣2)x+k2=0的两根互为倒数，则k= _________ ． 12. 一直P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) 是同一个反比例函数图像上的两点，若x 2=x 1+2，且

111

=+，则这个反比例函数的表达式为__________. y 2y 12

13．如图，在正方形ABCD 中，AD=1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′，此时A ′D ′与CD 交于点E ，则DE 的长度为 ．

14．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧

上一点（不与

A ，B 重合），则cosC 的值为 ．

15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：

①2a ﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a ；④只有当a=时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是 ．（只填序号）

三．解答题

⎛1⎫

16．(8分) 计算：-|-|+ -⎪-sin 600。

⎝2⎭

17．(9分) 某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n ，并按以下规定分为四档：当n ＜3时，为“偏少”；当3≤n ＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n ≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图

（1）分别求出统计表中的x 、y 的值；

（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；

-2

（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率． 18．（9分）如图，以AB 为直径的⊙O 经过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积． 19．（9分）某校数学课外实践活动小组想利用所学知识测量南明湖的宽度．如图所示是南明湖的一段，两岸AB ∥CD ，河对岸E 处有一座房子，小组成员用测角仪在F 处测得∠EFD=30°，往前走200米后到达点G 处，测得∠EGD=60°，请你根据这些数据帮该小组算出湖宽EH （结果精确到0.1

≈1.732）．

20、(9分) 如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y =B(m，－1) 两点。

⑴求直线和双曲线的解析式；

⑵若A 1( x 1，y 1) ，A 2(x 2，y 2) ，A 3(x 3，y 3) ，为双曲线上的三点，且

k 2

相交于A(1，2) 、x

x 1＞x 2＞0＞x 3，请直接写出y 1 y2，y 3的大小关系； ⑶观察图像请直接写出不等式k 1x ＋b ＜

k 2

的解集。 x

21．（10分）某初中准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x （x ≥2）个乒乓球，该校附近A ，B 两家超市都有这种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价均为40元，每个乒乓球的标价为4元，目前两家超市同时在做促销活动： A 超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B 超市：买一副乒乓球拍送2个乒乓球．

设在A 超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为y A （元），在B 超市购买乒乓球拍和乒乓球的费用为y B （元）．请解答下列问题： (1)分别写出y A 、y B 与x 之间的关系式；

(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

(3)若每副球拍配15个乒乓球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 22．（10分）操作发现： (1)如图l ，在Rt △ABC 中，∠C=2∠B=90°，点D 是BC 上一点，沿AD 折叠△ADC ，使得C 恰好落在AB 上的点E 处，请写出线段AB 、AC 、CD 之间的关系： ；

(2)猜想论证：

如图2，在(1)中∠C ≠90°，其他条件不变，请猜想AB 、AC 、CD 之间的关系，并证明你的结论； (3)拓展应用：

如图3，在四边形ABCD 中，∠B=120°，∠D=90°,AB=BC,AD=DC，连接AC ，点E 是CD 上一点，沿AE 折叠，使得点D 正好落在AC 上的点F 处，若BC=22 +2，则DE 的长为 ．

23. （11分）如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y=4﹣x 于C 、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O 、C 、D 三点． （1）求抛物线的表达式；

（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．选

一. 择题：

BACAA BDC

二 . 填空题：

9. a(a+2b)(a-2b)

10. 70°

11. -1

12.

y

4 x

13. 2﹣

14.

15. ③④

三．解答题 16. 解：原式=2

﹣

+4﹣

=

+4．

17. 解：（1）x=11,y=3

(2) 400⨯8%=32(人) （3）图略，p=

1 2

18. 解：（1）连接OD ，

∵AB 是⊙O 的直径，D 是AC 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ， ∵DE ⊥BC ， ∴OD ⊥DE ， ∵点D 在圆上，

∴DE 为⊙O 的切线；

（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°， ∴DC=2， ∵OD ∥BC ， ∴∠ODA=30°， ∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=30°， ∴∠AOD=120°， ∴OA=

，

∴阴影部分面积S=

19. 解：∵∠EFD=30°，∠EGD=60° ∴∠FEG=30°，∴FG=EG， ∵FG=200米，∴EG=200米， ∵EH ⊥CD ， 则sin ∠EGH=

﹣×2×=﹣．

EH

， GE

∴GH=EG•sin ∠EGH=200 sin60°

=≈173.2， 答：河宽约为173.2 m． 20. 解：(1) ∵双曲线y =

k 2

，经过点A(1，2) ，∴k 2＝2 x

2

∴双曲线的解析式为： y =

x 2

∵点B(m，－1) 在双曲线y =上，

x

∴m ＝－2，则B(－2，－1) ．

由点A(1，2) ，B(－2，－1) 在直线y =k 1x +b 上，得

⎧k 1+b =2⎨

⎩-2k 1+b =-1 解得k ＝1，b ＝1

1

∴直线的解析式为：y ＝x ＋1． (2)y 2>y 1>y 3. (3)x＜－2 或0＜x ＜1.

21. 解：（1）由题意，得y A =（10×40+4x）×0.9=3.6x+360，y B =10×40+4（x ﹣20）=4x+320． 当y A =y B 时，3.6x+360=4x+320，得x=100； 当y A ＞y B 时，3.6x+360＞4x+320，得x ＜100； 当y A ＜y B 时，3.6x+360＜4x+320，得x ＞100， ∴当2≤x ＜100时，到B 超市购买划算， 当x=100时，两家超市一样划算， 当x ＞100时在A 超市购买划算．

（3）由题意，知x=15×10=150＞100， ∴选择A 超市，y A =3.6×150+360=900（元）；

如果先选择B 超市购买10副乒乓球拍，送20个乒乓球，费用为400元，然后在A 超市购买剩下的乒乓球，费用为（10×15﹣20）×4×0.9=468（元），共需费用868元． ∵868＜900，

∴最佳方案是先选择在B 超市购买10副乒乓球拍，然后在A 超市购买130个乒乓球． 22. 解：(1)AB=AC+CD； (2)AB=AC+CD；

证明：∵∠C=2∠B, △AED ≌△ACD,

∴AE=AC, DE=DC, ∠AED=∠C=2∠B, ∵∠AED=∠B+∠EDB ，

∴∠EDB=∠B, BE=DE,BE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+DC

23. 解：（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax +bx ．

2

∴，解得，

∴抛物线的表达式为：y= -

（2）存在．

4213x +x ． 33

设直线OD 解析式为y=kx，将D （3，1）代入求得k=∴直线OD 解析式为y=

1

， 3

1x ． 3

14213

x ） x ），N （x ，-x +，

333

142134

x ）|=|x 2-4x |． ∴MN=|yM﹣yN|=|x ﹣（-x +

3333

设点M 的横坐标为x ，则M （x ，

由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3． ∴|

42

x -4x |=3． 3

42

x -4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x=3

或x=

；

若

若

42

x -4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x+9=0，解得：x=． 3

∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：或

（3）∵C （1，3），D （3，1）

或．

∴易得直线OC 的解析式为y=3x，直线OD 的解析式为y=如解答图所示，

设平移中的三角形为△A ′O ′C ′，点C ′在线段CD 上． 设O ′C ′与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A ′C ′与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ． 设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2）， 则图中AF=t，F （1+t），Q （1+t，

1

x ． 3

11+t ），C ′（1+t，3﹣t ）． 33

设直线O ′C ′的解析式为y=3x+b， 将C ′（1+t，3﹣t ）代入得：b=﹣4t ， ∴直线O ′C ′的解析式为y=3x﹣4t ． ∴E （

4

t ，0）． 3

1331x ，解得x=t ，∴P （t ，t ）． 3222

1

过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG=t ．

2

联立y=3x﹣4t 与y=

11

OF •FQ ﹣OE •PG 22

111141=（1+t）（+t ）﹣•t •t 233232112

=-(t-1) +

63

1

当t=1时，S 有最大值为．

3

1

∴S 的最大值为．

3

∴S=S△OFQ ﹣S △OEP=