1正弦定理(1)
顺迈高中导学案1. 1正弦定理【知识要点】要点一、学过的三角形知识1. 中（1）一般约定：（2）；；
；中角A 、B 、C 所对的边分别为、、；（3）大边对大角，大角对大边，即等边对等角，等角对等边，即
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.
（1）
（2）
（3），
，
要点二、正弦定理及其证明
探究一：若
边的三个内角的对边分别是，，；中，，，，你能将边上的高“算两次”吗？若将上的高“算两次”又有什么结论？整理你的结论
结论一：．
，则斜边等于外接圆的探究二：若的内角成立吗？为什么？，这一关系对任意三角形都
结论二：．
提升：正弦定理常见变形：
1
顺迈高中导学案(1) (2) (3)
探究三：我们知道三角形面积公式是
些公式？
结论三：底高，推导正弦定理的过程说明计算三角形面积还有哪==．
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
【推导过程】
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素. 任何一个三角形都有
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六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
【一】利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；
(1) 若A 为锐角时：
如图：
(2) 若A 为直角或钝角时：
【二】判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边. 对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1) 两角是否相等？(2) 三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
典型例题：
类型一：正弦定理的简单应用：
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例1．已知在中，，，，求和B . ．【变式1】在中，已知，，，求、. 【变式2】在. 中，已知，求例2．在，求和，．
【变式1】在中，，，，求和．
【变式2】在中, , , 求和；
【变式3】在中，，, , 求.
类型二：正弦定理的综合运用
例3. 在△A B C 中，，。
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（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若△A B C 最大边的边长为，求最小边的边长。
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4. 在中，若试判断的形状.
【变式1】在△A B C 中，试判断三角形的形状.
【习题精练】
【A 组】
一、选择题：
1．在△A B C 中，已知a ＝5，c ＝10，A ＝30°，则B ＝()
A ．105°B ．60°
C ．15°D ．105°或15°
2．在△A B C 中，a ＝，b ＝，A ＝30°，则c 等于()
A ．2B .
C ．2或D ．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()
A ．在△A B C 中，a ∶b ∶c ＝s i n A ∶s i n B ∶s i n C
B ．在△A B C 中，若s i n 2A ＝s i n 2B ，则a ＝b
C ．在△A B C 中，若s i n A >s i n B ，则A >B ；若A >B ，则s i n A >s i n B 都成立
D ．在△A B C 中，＝
4．若＝＝，则△A B C 是()
A ．等边三角形
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顺迈高中导学案B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°
5．判断下列说法，其中正确的是()
A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解
B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解
C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解
D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解
二、填空题：
6．在△A B C 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
7. 在△A B C 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若△A B C 只有一解，则x 的取值集合为________．
8. 在△A B C 中，a :b :c =3:3:5，则
9. 在
三、解答题
10、在中，已知, ，解此三角形。中，已知，的值是，则. 的形状是.
11. 在△A B C 中，已知
. ，，B =45 . 求A 、C 及c .
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12．在中，若，，，求.
13. 在中，求B 及C .
14．在△A B C 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，求边b 的值．
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15．在△A B C 中，若＝＝，试判断三角形的形状
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