指数与对数 (初中)
指 数 运 算
1．整数指数幂概念(初中指数概念 a
n
=
a ⋅ a ⋅a a (n ∈N *)
n 个a
a =1(a ≠0) a -n
=
1a
n
(a ≠0, n ∈N *)
2．运算性质：a
m
.a n = am+n (m，n ∈Z)
n
n
n
（a m ）n = amn (m，n ∈Z)
(ab)=a.b (n∈Z)
a m ÷a n 可以看做a m .a -n =am-n ∴a m ÷a n =am .a -n =am-n
() 可看作a n ⋅b -n ∴() n =a n ⋅b -n =n b b b
a
n
a
a
n
3、进入高中后，将指数的概念由整数推广到有理数，又推广到全体实数，从而得到： （1）正分数指数幂的意义:
m
a
n
=
a
m
(a＞0,m,n ∈N*, 且n ＞1)
-m n
（2）负分数指数幂：a
=
1
m
(a＞0，m,n ∈N*,且n ＞a
n
（3）0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂无意义. （4）运算性质：a
m
.a = a
n
n m+n
(m，n ∈R) (m，n ∈R)
（a ）= a
m mn
(ab)n =an .b n (n∈R)
a m ÷a n =am .a -n =am-n
() b a
n
=a n ⋅b -n =
a b
n n
4、由于分数指数的引入，使得根式与分数指数幂可以互化。分数指数幂实际上就是根式的另一种表示形式，根式的意义也得到扩充： （1）定义：若x =a (n >1, n ∈N *)
x=
n
n
则x 叫做a 的n 次方根。 记做
n
a
，即
a
。正数的正的方根，叫做算术根。零的算术根规定为零。负数
没有算术根。这里的
a
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
**理解：“算术根”中的“算术”，理解为“非负数”（因为小学里的“算术”课不研究负数，因此而得名）。
（2）性质：
①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 记作：x =
n
a
②当n 为偶数时，
正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： x =
±a
。
负数的n 次方根在实数范围内不存在。即负数没有偶次方根。 注：0的任何次方根为（3）根据n 次方根的定义，得到三组常用公式： ①当n 为任意正整数时，(②当n 为奇数时，a 当n 为偶数时，a
n
a
) =a.例如，(
n
27) 3=27，(5-32) 5=-32.
n
=a；
⎧a (a ≥0)
⎨
=⎩-a (a
n
=|a|
4
例如，
(-2)
3
5
=-2，2=2；3=3，
(-3)
2
=|-3|= -（-3）=3
np
3根式的基本性质：○
a
mp
=
a
m
mp
m
，（a ≥0）. 即a np =
a
n
注意，○3中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.
例如
(-8)
2
≠
-8
.
用语言记住上面三个公式：
① 实数a 的n 次方根的n 次幂等于它本身.
②n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根等于a 本身； n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根等于a 的绝对值。
3若一个根式(算术根) 的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个○
根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变。
（4）由于根式与分数指数幂可以互化。很多根式运算可转化为指数运算。指数运算也可转化为根式运算（便于进行分母有理化等运算）。练习：
a ⋅a = a a a = 23⨯3
32
⨯6 =
m +m m
2
-
1
+2
1
-
12
= (0.064)
-
13
-(-
-2
÷16
0.75
÷(
12
-
13
) =
+m 2
-12
83, 100
, ()
4
-13
1
-3
, (
1681
)
-
34
=
23
(-100)
4
=
13
13
11
4x 4(-3x 4y ) ÷(-6x
-
12
y
-
2
) = 4a 3b
-
13
÷(-
23
a
-
b
-
) =
解方程4x -2x +1-8=0
对 数
一、如果a =N（a ＞0，且a ≠1），那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N=b,读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 a
以10为底的对数叫常用对数，记为lgN 。以e 为底的对数称为自然对数，记为lnN, e是一个无理数（无限不循环小数），e=2.71828…
根据对数定义知道： 1、log a 1=0 loga a =1 2、负数和零没有对数。 二、对数的运算性质：
（1）log a MN= loga M+ loga N; （2）log a M = loga M- loga N;
N
b
（3）log a M=n loga M（n ∈R ）
n
log （4）两个换底公式：log N M=
log
(5) a log n =nlog
b
b
M N
(b>0且b ≠1）
b
b
a
b
证明： 设a=n ,则a log
x
n
=（n ）log
x
b
n
=n
b
（x ·
log
b
n
）
=nlog
b
n
x
=nlog b a
(6)对数恒等式：a log
a
N
=N; log a =b
a
（7）
三、对数式与指数式的关系
对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。
例: 1．求值:
(1) 解:
(1)
(2)
2．求值
:(1) 解:
(1)
(2)
(3)
(2)
(2)
(3)
法一：
法二：
。
3．已知:log23=a，log 37=b，求:log4256=?
解:∵
，∴，
练习:
1． 2．
）
3、已知:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。 （ 4、
1log
2
3
-
1log
4
3
+
1log
6
3
1
5、如果log7［log3(log2x)］=0，那么x 2=？ 6、如果x ＞6，则
log
2=
4
(6-x )
4
+
3
(4-x )
3
=
1-a a
7、已知8、
log
3
，则log 23=
log
(3-22) =x
log
2
3
log
3
4
=__________；
(2+1)
，则x =__________；
x
8=
12
，则x =__________。log (x
a
2
-7x +7=0
)
，则x =__________。
1
9、
2
lg 25+lg 2-lg 0. 1-log
2
9⨯log
3
2
=
lg 25+lg 2lg 50+lg 2
2
=
(lg2) +lg 2⋅lg 50+lg 25
2
=
10、
log a 2=m , log a 3=n , a
2m +n
=