谈谈高中数学课堂中教学目标的设定

谈谈高中数学课堂中教学目标的设定

——以《双曲线及其标准方程》一课为例

内容摘要：《双曲线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人教A 版）第二章第三节的主要内容。这一节是在学习了椭圆的基础上学习的，所以大部分的教学建议都是类比椭圆及其标准方程来完成教学目标。但是在实践过程中发现学生学习的兴趣不高，特别是基础较薄弱的学生，难以用类比的方法过渡，使得他们在学习本节课时有太多模糊不清的地方，导致他们机械接受学习进而丧失学习的兴趣。本文以提高数学课堂学习效率为目的，根据学生认知的规律及解析几何知识特点、发展脉络，科学设定《双曲线及其标准方程》教学目标，让学生轻松落实本节的学习任务。

关键词：双曲线，数学课堂，教学目标

一、对双曲线及其标准方程的教与学困惑

学生在学习在圆锥曲线时，《双曲线及其标准方程》的第一课时是较难让学生产生学习兴趣的一个内容，由于它的学习是在椭圆之后，所以大部分的教学建议都是类比椭圆开展，比如引入是“将椭圆定义中的和改为差会是什么图形？”比如推导双曲线标准方程，是“类比椭圆的推导可以得到”一句带过。这样的引入看似自然，却仍然是我们教师“填鸭式”的引入。并且这样的引入（直接将和改成差，却没有绝对值）很难让学生习惯双曲线定义中的“距离之差的绝对值”，后面的教学虽然会因解释双曲线的左右两支而强调“距离之差要有绝对值”，但绝对值仍然是学生容易忽略的问题。还有双曲线标准方程的推导，如果真的像课本那样类比椭圆的推导带过，大部分的学生都会存在疑惑，真的能推导到出课本上的标准方程形式吗？这种看不见摸不着的类比，并没有体现类比教学的特点。如果花时间推导，普通学生会对复杂且全是字母的计算丧失兴趣，学习效果非常差。最主要的是学生还会因椭圆中的知识及方法掌握不好或不适应而对双曲线的学习感到空洞不实际，进而完全没有兴趣。

根据我自己的教学经验，每次在教这个内容的时候，我都会因课程标准对双曲线及其标准方程是了解层面的要求，而对此内容的教学采取适当的取舍，会根据学生的基础能力而对相关的内容采取选择性讲解的方式，基本按照教参要求完成教学任务。虽然我这样处理教学，但是根据学生作业及练习的反馈，我一直对以下几个方面的教学处理存在很大疑惑：一、引入能否借用椭圆，但是是以更具体学生更能触碰到的方式，而不是仅仅将距离和改成距离差？二、双曲线定义中的距离之差的绝对值能否让学生有直观的认识？三、双曲线标准方程的推导能否在训练学生的计算能力的同时，又能让学生感兴趣，更愿意主动去计算？四、双曲线标准方程中的参数a 、b 、c 间的关系能否让学生直观区分它们与椭圆中参数关系的区别？

二、双曲线教与学的目标存在哪些不足，应达到怎样的要求

现在的高中数学课堂，使学生越来越不喜欢学习数学，不仅仅因为它难学，更多是因为它的课堂没有意思，学生没有兴趣学习。而数学老师传统的备课方式 就是看教材、看教参及选代表性的题型，这样看起来一节课非常充实和有理有据，但是却忽略了对最重要的主体——学生的备课！

其实学生在学习双曲线及其标准方程所产生的问题和教师的教学所产生的疑惑，主要是其教与学的目标存在以下不足：一、只重视本节课教学内容完整性的目标，而忽视学生知识连贯性的目标；二、只重视三维目标专业却空泛的目标，而忽视学生实际的学习目标；三、只重视教学要求输出性的目标，而忽视学生学习效果输入性的目标；四、只重视教学策略的建构性目标，而忽视学生学习的检测性目标。

任何一个教学内容，都必须先备学生，而备学生最重要的环节就是对学生的学习目标做详细分析，即确定这堂课内容的教学目标。因此，根据学生认知的特点，确定一堂数学课内容的教学目标，要先从以下三个方向做详细分析，第一：终点目标分析——数学课程标准对此内容的要求及考试要求；第二：起点能力分析——学生学习此内容的储备知识（或既有知识）的掌握情况；第三：使能目标分析——使学生能够达到此内容的学习目标而采取的策略。然后，紧扣对教学目标所做的分析，严格依照教学目标设定教学内容及环节，选取恰当的策略达到以

上教学目标的要求。比如对于储备知识的落实可以用回忆知识点验收、也可以用基础题型检测；比如用输入型目标的形式放在课堂最后，让学生当堂根据目标检测自己的学习情况。

总之，当所有目标及策略的出发点都是学生时，这样的数学课堂将不会再让学生排斥，反而会让学生更容易接受，进而爱上数学课堂，提高学习效率。

三、设定《双曲线及其标准方程》教学目标的流程及效果

下面以双曲线及其标准方程第一课时为例，谈谈如何确定其教学目标，提高学生课堂学习效率。

（一）具体流程

1、终点目标分析

课程标准要求及考试要求：

（1）直接要求（知识与技能）：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；

（2）间接要求（过程与方法）：通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想；能用坐标法（其实就是解析几何思想）解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；

2、起点能力分析

（1）学生既有知识水平：

①在“直线与方程”中，学生已掌握了平面坐标系中的基本几何元素及其关系的代数表示；

②在“直线与方程、圆与方程”中，学生已基本了解“解析几何的基本研究方法——坐标法”，并在“椭圆”的学习中进一步巩固了坐标法；

③在“椭圆及其标准方程”中，学生对标准方程的推导整理方法已有所了解，熟悉了有关参数a 、b 、c 的几何意义；

（2）知识的发生发展脉络：

①教师要对“解析几何思想”有清晰的认识：用代数方法来研究几何问 题（数形结合思想）；其关键的“媒介”就是坐标系。有了坐标系，“数”才有“形”，“形”才有“数”；

②教师要熟悉“解析几何的基本研究方法（流程）”：第一步：找出问题 （图形）的几何特征；第二步：通过坐标系，用代数式表示几何特征；第三步：整理代数式，将几何问题转化成代数问题；第四步：进行代数运算，解决代数问题；第五步：将运算结果转化为几何问题的结论；

③“解析几何”从必修2至今为止的发展脉络：

通过“直线与方程”的学习，掌握解析几何的基础工具（两点距离、点 到直线的距离、直线与直线的位置关系）——基本几何图形（点、直线）及其关系的代数表示及初步运算；

通过“圆与方程”的学习，熟悉解析几何的基本思想和方法，并巩固基础 工具的使用；

通过“圆锥曲线”的学习，巩固解析几何的基本思想和方法，形成利用解析几何思想方法解决问题的能力；

“双曲线及其标准方程”的知识发展脉络：

a) 熟悉双曲线的几何特征（性质）；

b) 熟悉双曲线的标准方程（代数特征）；

c) 熟悉双曲线标准方程中相关参数的几何意义，并能利用它来

解决简单问题；

d) 能够利用双曲线模型解决实际问题；

3、使能目标分析

①储备知识的检验

两点距离公式及解析几何的基本研究方法，通过练习1的两个小题检验，第一问的解答还可以落实圆的几何特征，第二问的解答也可以落实椭圆的几何特征，为双曲线的几何特征的学习打好基础。

②输入目标要转成输出目标

教师的教学目标要根据期望学生达到的学习目标而定，要将目标中最常见但是对于学生而言最空洞的输入型字眼改成输出型字眼。比如目标中的“认识”要求，要改成“能判断”，“了解”要求要改成“能描述或能列举”，“体会”要求要改成“能归纳或能说出”，“掌握”要求要改成“能写出或能解决”等等。这样的目标才是学生能够触手可得的目标，才是学生学习的明确指向要求。

③推导过程的落实

双曲线的推导过程既然是类比椭圆的推导，那么对于其中的计算能力要求，可以通过练习2的计算落实，这是一道以具体数据为载体、双曲线为背景的轨迹问题，学生在完成练习2的同时，既落实了推导双曲线标准方程的计算，又能引出本节主要内容——双曲线，而且可以结合具体问题引出双曲线的几何特征及标准方程。

④双曲线标准方程中参数a 、b 、c 的关系及几何意义的落实

双曲线标准方程中参数a 、b 、c 的关系及几何意义要分两个步骤落实：一、结合具体练习中的数据，找出双曲线标准方程中参数a 、b 、c 及它们之间的关系，可以比较它们与椭圆参数之间的区别；二、当双曲线焦点在y 轴时，让学生在图中画出相应的参数a 、b 、c 。落实这两个步骤，就能促进学生对参数a 、b 、c 的几何意义及代数关系的理解。

4、根据上述分析，可以确定本节课的教学目标：

①引导学生回顾（巩固）既有（储备）知识：能够写出两点间距离公式，并能用它来解决相关的简单几何问题（本目标若在“椭圆”中已落实，则本节课可省去）；

②结合知识发展脉络设置具体目标：

能描述出双曲线的几何特征，及双曲线标准方程中各个参数的几何意义； （视学生水平可增加一个目标）能够参照椭圆标准方程的整理办法，整理出双曲线的标准方程——目的是加强运算能力，强化椭圆与双曲线的几何、代数特征之间的联系与区别；

对于给定的双曲线标准方程，能够说出其参数和位置特征；反之亦然； 能够根据双曲线及其标准方程的几何意义及代数特征，解决简单的双曲线问题；

能掌握椭圆的几何特征及标准方程；

引导学生从学习中体会解析几何解决问题的基本思路（不作为学习目标）

（二）效果对比

结合终点目标分析、起点能力分析及使能目标分析，我们在双曲线及其标准方程的教学过程中，为了落实目标“能够写出两点间距离公式，并能用它来解决

相关的简单几何问题”和“能描述出双曲线的几何特征”，将引入改成：

练习1：已知平面直角坐标系中的一个点A （5,0），

（1）若某一动点M 到点A 的距离为3，你知道动点M 的轨迹是什么图形吗？并求出它的轨迹方程；

（2）若知点 B (-5,0)，一动点P 到点A 、B 的距离之和为26，你知道动点P 的轨迹是什么图形吗？并请求出它的轨迹方程；

将练习1中的第(2)问的“距离之和为26”改为“距离之差为8”，你还能做出来吗？即

练习2：已知点 A （5,0）， B (-5,0),一动点P 到点A 、B 的距离之差为8，你知道动点P 的轨迹是什么图形吗？并请求出它的轨迹方程；

这样的引入在落实目标的同时，能达到四个方面的效果：第一，几何特征是研究解析几何的重中之重，前两个小题由圆和椭圆的几何特征可以直接写出其标准方程，之后双曲线的几何特征的教学可谓是水到渠成；第二，练习2的演算过程其实就是推导双曲线标准方程的过程，看似没有目的地训练学生的计算能力，实际却又引出了双曲线的标准方程形式；第三，对于练习2还有一个教学策略就是用几何画板还原它的背景，动态展示给学生它的曲线图形，既引出了双曲线定义又能直观地体现双曲线有两支，就要求距离之差有绝对值；第四，练习2的题目条件是归纳双曲线严格定义的参考依据，所求出的方程形式是双曲线标准方程的特征依据。这样的设置清晰而明确地落实了学生的学习目标，学生学习的积极性非常高，课堂效率也非常高！

为了落实目标“能描述出双曲线的几何特征，及双曲线标准方程中各个参数的几何意义”，在教学过程中采用问题教学：

问题1：请你给双曲线下一个严格的定义；

问题2：请你仿照椭圆的标准方程，写出一个中心在

坐标原点、焦点在x 轴上的双曲线的一般标准方程；找出

其参数之间的关系，并比较其与椭圆的参数之间的区别。

问题3：请你写出右图的双曲线的标准方程；你能在

图中找到其相应的参数a 、b 、c 吗？

其中问题1、2衔接练习2的同时，又跟问题3有层层递进的关系，特别是问题3中“你能在图中找到其相应的参数a 、b 、c 吗？”，是落实参数a 、b 、c 几何意义及关系的升华，同时也是我们集体备课中争议最多的地方，传统的教学

更倾向于将这个问题放在双曲线的几何性质中解决，但结合我们的目标分析，我们觉得将这个问题放在第一课时解决非常有必要，它能达到以下两个方面的效果：第一，直观地从图中感受三角形的两边之差（2a ）小于第三边（2c ），从而进一步体现双曲线定义中的a

参考文献

【1】 洛林.W. 安德森（Lorin W.Anderson）等 布卢姆教育目标分类学修订版（完

整版）分类学视野下的学与教及其测评 外语教学与研究出版社

【2】 林少杰 中学数学教学顶层设计研究 广东省出版集团

【3】 皮连生 学与教的心理学 华东师范大学出版社

【4】 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社