黎曼可积函数列的极限理论及应用

３０ＳＴＵＤｌＥＳｌＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ高等数学研究Ｖ０１．１２，Ｎｏ．４Ｊｕｌ．。２００９

黎曼可积函数列的极限理论及应用’

邢家省１

２河南工业大学郭秀兰２饶明贵３北京１０００８３；（１北京航空航天大学数学系数学信息与行为教育部重点实验室郑州４５００００；３河南工程学院郑州４５１１９１）

摘要对黎曼可积函数列的极限函数的可积性进行讨论．运用黎曼积分自身的理论依次证明

了：一致收敛函数列的极限函数的黎曼可积性．黎曼积分下的控制收敛定理和广义积分下的控制收敛定

理．并给出了一些应用例子．

关键词黎曼积分；函数列积分极限；积分控制收敛定理．中图分类号０１７７．２

在数学分析课程中，关于黎曼可积函数列的极限函数的可积性问题涉及很少，原因是，目前人们认为，要解决这样的问题，需要借助勒贝格测度与勒贝格积分理论．如果在数学分析中引入这些知识，势必会破坏现有课程的结构，而且接受起来难度太大，花费时间也长，不必要也不现实．因此，现有一般教材中干脆对这个问题避而不谈，也有部分处理办法是，将函数列的条件加强至连续．我们发现，它完全可以用黎曼积分自身的理论来解决，不需勒贝格测度方面的任何知识．这样一来，不仅使人们易于接受、掌握和应用，更重要的是，由此还可以得到其它一系列结果，使得黎曼积分理论进一步完善和系统化．

１一致收敛的函数列的极限函数的黎曼可积性

定理１假设函数列｛厶）的每一项都在区间■，６］上可积，如果｛厶）在［口，阳上一致收敛于函数，，

ｆｂｆｂ则函数，在［口，６］上可积，且

ｌｉｍ

卅—’∞ＪＩ＾（ｘ）ｄｘ—ｌｎｆ（ｘ）ｄｘ，４Ｊ

亦即成立

ｒ６一

Ｊａｌｉｍ月ｒ。”ＪⅡＩ厶（ｘ）ｄｘ＝Ｉ

ｒｂｍ一”ｌｉｍｆｍ（ｚ）ｄ五

证法一分两步进行，首先设Ｊ。一Ｉｆ。（ｘ）ｄｘ，证明数列｛－，。）收敛；然后证明函数ｆ在［口，６］

Ｊａ

上可积，其积分值就是｛Ｊ。）的极限值．

由于｛厶｝在［口，６］上一致收敛于厂，故任给￡＞０，存在Ｍ＝Ｍ（￡）∈Ｎ。（Ｎ。为自然数集），当ｍ＞Ｍ时，对于任意ｚ∈［口，ｂ３，Ｐ∈Ｎ。，成立不等式

Ｉ厶一（ｚ）一ｆｒｏ（ｘ）Ｉ＜忐，

从而

ｒ６

Ｊｍ＋ｐ—Ｊ。ｌ—ＩＩ厂埘＋，（ｘ）ｄｘ—Ｉ

Ｊ“一ｆ。（ｘ）ｄｘＩ—Ｊ口

・收稿日期：２００７—０９—１２．基金项目ｔ北京航空航天大学精品课建设项目荩金资助；河南省教育科学“ｆ一五”规划课题（２００７一ＪＫＧＨＡＺ一０１９）．

第１２卷第４期邢家省．郭秀兰，饶明贵：黎曼可积函数列的极限理论及应用３１

Ｉ（，ｏ，（ｚ）一ｆｍ（ｚ））ｄｘＩ≤ｌＩ／■，（ｚ）一Ｌ（ｚ）ｌｄｘ＜￡，

这说明｛Ｊ。）是基本列．根据柯西收敛原理，可知数列｛．，。）收敛．令ｌｉｍＪ。＝．，，那么，对上述￡，必存在ＭＩ＝Ｍｌ（￡）∈Ｎ。，当研＞Ｍ。时，ＩＪ。一．，ｌ＜￡．

另对区间［口，６］进行任意分割

△：口＝ａｏ＜ｚｌ＜…＜ｚｒｌ＜ｚ。＝ｂ，

并记

血ｆ一毛一ｚ卜ｌ，Ａ（△）一ｍａｘ△．ｒｉ，

Ｉ每ｆ≤”８∈［ｚ卜ｌ，而］（ｉ一１，２，…，，１），

口（厶）＝∑厶（８）缸，，口（，）一∑，（８）缸卜

由于函数列｛厂ｍ｝在［口，６］上一致收敛于，，故对上述￡．存在Ｍｊ＝Ｍｚ（￡）∈Ｎ’，当ｍ＞Ｍ２时，对任意ｚ∈［口，６］，成立不等式

Ｉ厶（ｚ）一，（ｚ）ｋ志，

从而

ｌ盯（，辨）一盯（，）Ｉ—Ｉ∑［厂埘（８）一厂（８）］血ｒＩ≤∑Ｉｆｒｏ（Ｓ，）一厂（８）ｉ缸；＜￡．

综合以上结论，得知，若取ｍ。＞ｍａｘ（Ｍ］，Ｍ；），就有

Ｉ口（氏）一盯（，）Ｉ＜￡，

有Ｉ口（＾）一．厂～ｌ＜ｅ．从而，当Ａ（△）＜艿时，有

Ｉ盯（厂）一ＪＪ‰一．，Ｉ＜￡．由于厂ｍ。（ｚ）在ｋ，５３上可积，其积分值为Ｊ。。，则存在艿＞０，对任意分割△，只要Ａ（△）＜艿，就Ｉ≤Ｉ口（，）一ｄ（氏）Ｉ＋Ｉ口（厶。）一Ｊ。。Ｉ＋１

ｔ＇ｂＦｂＪ～一ＪＩ＜３￡Ｉ，所以，函数，在［口，６］上可积，且积分Ｉｆ（ｘ）ｄｘ一－，，故

ｌｉｍｌｆ。（ｘ）ｄｘ—Ｉｆ（ｘ）ｄｘ．

证法二对区间［口，６］的任意分割

△：ａ＝．Ｔｏ＜ｚｌ＜…＜ｚ，ｒｌ＜ｚ。一ｂ，

设Ｌ＝［ｚ卜ｌ，ｚ；］，ｉ一１，２，…，行，记

缸ｆ＝毛一ｚ卜ｌ，｜；Ｉ（△）一ｍａｘ△ｘｉ，

ｌ≤ｉ≤”∞（，，Ｊｆ）＝ｓｕｐ｛Ｉｆ（Ｙ１）一ｆ（Ｙ２）ｌ：Ｙｌ，Ｙ２∈Ｉｉ），

埘（厶，△）＝∑∞（厶，Ｉｉ）Ａｘ；，叫（厂，△）＝∑ｃｔ，（厂，Ｊ。）ａｘ，．

由｛＾）在［口，６］上一致收敛于，，得对任意ｇ＞０，存在ｍ∈Ｎ。，使得不等式ｌ厶（ｚ）一厂（ｚ）Ｉ＜志

对任意的ｚ∈［口，６］成立；因为＾（ｚ）在［ｎ，６］上可积，故对上述￡＞０，必存在艿＞０，使对任何分割△，当Ａ（△）＜占时，都有∞（厶，△）＜吾．由于对任意ｙ・，ｙ２∈Ｊ，，成立

Ｉ懒）一地）Ｉ≤Ｊ内）一厶锄）Ｉ＋１厶ｂ）一厶锄）Ｉ＋１厶‰）一他）ｌ＜丽圭历＋“厶，Ｊｆ），于是

３２高等数学研究２００９年７月从而ｒ）≤志＋埘（厶，Ｉｉ），忙１，２，…，ｎ・ｃｔ，（厂，ｚＸ）一蚤叫（，＾）Ａｔｔ≤蚤［志＋∞（＾，¨］缸ｉ一志圣位ｔ＋∑ｉ＝１ｃＥ’（，，Ｊｃｃ，（厶’Ｊｆ）Ａｔｔ＜Ｙ。＋Ｔ。＿￡＇

故得函数，在［口，６］上可积，进而可得成立

ｌｉｍＩｆ。（ｚ）ｄｘ—Ｉ厂（ｚ）ｄｘ．

推论在定理１的条件下，还成立下列极限关系：

（１）ｌｉｍｌＩ＾（ｚ）一厂（ｚ）Ｉ如＝０；

（２）任给ｚ∈［口，５３，有ｌｉｍ

，ｒｚ、ｆ。（ｔ）ｄｔ—Ｉｒｏ

Ｊａｆ（ｔ）ｄｔ；（３）｛ｌｆ。（ｔ）ｄｔ｝在［口，６］上一致收敛于Ｉ’Ｊ口’ｆ（ｔ）ｄｔ．

定理２［１’２’６１设二元函数ｆ（ｘ，“）在闭矩形Ｊ一［ｎ，６］×［口，加上连续，则

妒（“）＝ｌ

是区间［口，阅上的连续函数．

定理３ｆ（ｘｌｕ）ｄｘ如果函数ｆ（ｘ，乱）及其偏导数誓Ｏｆ都在闭矩形Ｊ＝［口，６］×［口，团上连续，那么函数

垆（“）一Ｉｆ（ｘ，“）ｄｚ

在［口，阅上可微，而且

证明吐丝掣一ｒ丝坐丝字型如：ｒ晏厂（训＋跏）ｄｒ＇（０＜口＜１）．对任意Ｕ，１１，＋Ａｕ∈［口，阅，Ａｕ≠０，注意到参ｃ“，＝『６ｃ争ｃ…№．

血血Ｊ。Ｊ。锄。‘‘一、。、一

由于譬在Ｊ一［口，６］×ｋ，团上连续，得当△“一０，导厂（ｚ，ｚ‘＋弘Ｍ）一致收敛于晏，（ｚ，“）．利用定ｄＵＯｕＯｕ。

理１，结论得证．

２黎曼积分下的控制收敛定理

设函数列｛＾）的每一项都在区间［口，６］上可积，且满足如下条件：定理４Ⅲ

（１）ｌｉｍｆ．（ｚ）一厂（ｚ），ｚ∈ａ，６］；

（２）存在常数Ｍ＞ｏ，使Ｉ＾（ｚ）Ｉ≤Ｍ（ｘ∈ａ，６］，珂一１，２，…），即｛＾）在■，６］上一致有界；（３）对任意０＜艿＜ｂ—ａ，函数列｛＾）在［“，ｂ一胡上一致收敛于函数，，

那么函数厂在［口，６］上可积，而且１ｉｍＩｆ。（ｘ）ｄｘ—Ｉ

证明ｆ（ｘ）ｄｘ．由条件（１）、（２）可得，在ｋ，６］上有界，由条件（３）可得，对任意０＜艿＜６一ｎ，，在［ｎ，６一胡上可积，再利用可积充要条件的达布定理，可得厂在［Ⅱ，６］上可积．记

第１２卷第４期邢家省．郭秀兰，饶明贵：黎曼可积函数列的极限理论及应用３３

凡（ｚ）＝，：“训ｚ，

ｎ—－∞ｒｏＦ（ｚ）一Ｉｆ（ｘ）ｄｘ，ｚ∈［ｎ，ｂ－１，Ｊｎ显然ｌｉｍＦ。＝Ｆ（ｚ），ｚ∈［ｎ，６］，｛Ｆ。（ｚ））在［ａ，５３上等度连续，ｌｉｍＦ。（ｚ）一Ｆ（ｚ）关于，ｌ是一致的；

对｛Ｆ。（ｚ））利用函数列极限的性质，得

ｌｉｍＦ（ｘ）＝ｌｉｍｌｉｍＦ。（ｚ）一ｌｉｍｌｉｍＦ。（ｚ）一ｌｉｍＦ。（６）．”。。ｒｒｐ６－”。ｐ。ｚ４６＿

例１证毕．（１）ｌｉｍｌ。ｓｉｎ”ｘｄｘ一０；

ｒ１

（２）ｌｉｍｌｚ”ｄｘ一０；

＂—・。。Ｊ０

（３）ｌｉｍＩ÷ｄｘ一０，（口＞ｏ）；

（４）ｌｉｍＩ‘—等矗ｄｚ一０，（口＞ｏ）．ａ十九。Ｚ。ｎ—ｏ。Ｊ０

定理５ｔ４３设函数列｛＾）的每一项都在区间［口，６］上可积，且满足如下条件：

（１）ｌｉｍ＾（ｚ）一厂（ｚ），ｚ∈Ｉ－ａ，５３；

（２）存在常数Ｍ＞０，使Ｉ＾（ｚ）Ｉ≤Ｍ（ｘ∈■，６］，行一１，２，…），即｛＾｝在［口，６］上一致有界：（３）函数厂在［口，６］上黎曼可积，

则成立

ｌｉｍｌｆ。（ｘ）ｄｘ—Ｉ，（ｚ）ｄｘ．

利用勒贝格积分的控制收敛定理，即可给出证明．

３累次积分可交换次序定理的证明

定理６设二元函数ｆ（ｘ，“）在闭矩形［口，６］×［口，加上连续，则有

』６（肛（…ｍ№一『＝（『：ｐｂｍ∽㈦批

证明用函数的极限与积分可交换次序的定理，给出直接的证明，而不用二重积分．

对区间［口，６］的任意分割

Ａ：ａ—Ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜．靠１＜毛；ｂ，

任取８∈［耳ｌ，五］（ｉ一１，２，…，，１），令缸ｉ＝ｚ‘一ｚ卜ｌ，Ａ（△）＝ｍａｘ，△ｘｊ；记

９（ｚ）一Ｉｆ（ｘ，“）ｄｕ，

则有

奎妒（８）血。；奎（ｆ９厂（８，“）ｄ“）血，一『９妻，（８，“）缸ｉ）ｄ“，

因为ｆ（ｘ，“）在［ｎ，６］×［口，阅上一致连续，所以

。慨客心，乱溉一胁…），

且关于Ｕ∈［口，印是一致收敛的．利用定理１得

＿ｆ，ｂ（ｆｌｆ（ｚ∽ｄｕ）ｄｘ—ｆ妒（ｚ）如＝眦ｌｉ…ｍ客驴（８）缸；一。题墨，（砉，（８，Ｈ）位ｆ）ｄＨ＝』＝。牌。』：（客ｍ∽∽扣Ｍｍ∽ｄｘｍ，

３４高等数学研究２００９年７月

４广义积分下的控制收敛定理及其应用

定理７［１３设｛＾（ｚ））是［口，。。）上的函数列，Ｉｆ。（ｘ）ｄｘ存在，｛＾（ｚ）｝在［口，＋。。］上收敛于，（ｚ）．如果满足：

（１）对任意Ａ＞ａ，｛＾（ｚ））在［口，Ａ］上一致收敛于，（ｚ）；

（２）积分Ｉ

ｒ∞ｆ。（ｘ）ｄｘ对ｎ一致收敛，ｒ∞ｒ”．

那么积分Ｉｆ（ｘ）ｄｘ收敛，而且ｌｉｒａＩｆ。（ｘ）ｄｘ—Ｉｆ（ｘ）ｄｘ．

定理８【１＇６３设｛＾（ｚ）｝是［口，＋∞］上的函数列，ｌｆ。（ｘ）ｄｘ存在，｛＾（ｚ））在［ｎ，＋∞］上收敛于厂（ｚ）．如果满足：

（１）对任意Ａ＞ａ，（＾（ｚ））在［口，Ａ－］上一致收敛于，（ｚ）；．

（２）函数列｛Ｉ厂。（ｔ）ｄｔ）在［口，＋∞）上一致收敛，

ｒ∞ｒ∞ｒ∞ｒ”

，那么积分Ｉ厂（ｚ）ｄｘ收敛，｛Ｉ厂。（ｚ）ｄｘ｝收敛，而且ｌｉｍＩｆ。（ｘ）ｄｘ＝Ｉ，（ｚ）ｄｘ．

”一∞ＪＪｎＪ口４Ｊ口

可以证明定理７与定理８是等价的．定理７常被使用的情形，是如下的控制收敛定现．

定理９ｃ２３（控制收敛定理）设（＾（ｚ））是［口，＋∞）上的函数列，Ｉｆ。（ｘ）ｄｘ存在，｛＾（ｚ））在［口，＋ｏｏ）上收敛于，（ｚ）．如果满足：

（１）对任意Ａ＞ｎ，｛＾（ｚ））在［口，Ａ］上一致收敛于，（ｚ）；

（２）如果存在［口，＋∞）上的非负连续函数Ｆ（ｚ），使得ＩＦ（ｘ）ｄｘ收敛，而且对一切充分大的ｚ

及所有的ｌ＇ｌ，都有Ｉ＾（ｚ）ｌ≤Ｆ（ｚ），

ｒ∞ｒ∞ｒ”

那么积分Ｉ厂（ｚ）ｄｘ收敛，而且ｌｉｒａｌｆ。（ｚ）ｄｘ＝ｌ厂（ｚ）ｄｘ．

对反常积分下的函数列的极限，也有相应的积分控制收敛定理．我们也可以给出相应的函数项级数的积分收敛定理．对含参变量广义积分的连续性、可微性，也可以利用定理７给出一种证明．

定理１０［ｈ２’６３设函数ｆ（ｚ，Ｍ）在■，＋。ｏ）×Ｊ上连续，这里Ｊ是某个区间．若对任何口，ｐ∈Ｊ，口＜肛积分Ｉｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ关于Ｈ在［口，团上一致收敛，那么对口，卢∈Ｊ，口＜卢，成立

ｆＰｄ“ｆ弛，“）ｄｘ＝ｆ叱ｃ…ｍ．

证明对任何ａ，卢∈Ｊ，口＜ｐ，令

ＦＡ（乱）一Ｉｆ（ｘ，“）ｄｘ，

显然Ｆ＾（“）在［口，团上是连续的，且当Ａ一＋∞，时ＦＡ（“）在［口，加上一致收敛于函数

９（“）＝Ｉｆ（ｘ，“）ｄｘ．

由一致收敛的函数列极限与积分号的可交换次序性质，得

＾一ｏ。Ｊ口ｍｉｉｌ＾ｌＦｍＩＦ（ｕ）ｄｕ一ｌｒＦ＾＝ＩｄＭＩ一ｒｌｉｍＦＡ（ｕ）ｄｕ：ｒｄＭｒｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ，Ａ，，

Ｊ口＾呻∞Ｊ口Ｊ４又

第１２卷第４期邢家省，郭秀兰，饶明贵：黎曼可积函数列的极限理论及应用３５

Ｊ＝ＦＡ（Ｍ）ｄ越一ｆ（，：厂（ｚ，Ｍ）ｄｘ）ｄｔｔ—Ｊ．：（＿『：，（ｚ，ｔｔ）ｄＭ）ｄｘ，

故・

Ｊｒｄｚ卜，删“：阻ｒ厂（训）ｄｘ．ｑ●口Ｊ口Ｊ｜

定理１１［１，２脚如果函数，（ｚ，“）满足下列条件：

（１）函数ｆＣｘ，Ｍ）在［“，＋ｏｏ）×［口，＋ｏｏ）上连续，

（２）对任何以ｐ＞口，积分Ｉｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ关于“在区间［口，卢］上一致收敛，对ｉｆ：何ｂ＜‘【积分

，’＋∞

ｌｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ关于ｚ在［口，６］上一致收敛，’

ｒ＋∞ｒ扣ｏｒ＋∞ｒ扣ｏ

（３）积分Ｉｌｆ（ｘ，甜）Ｉｄｕ中至少有一个存在，

Ｊ口ｄｕｌＪｄｕ，ＩｄＪｄｘＩｆ（ｘ，越）Ｉ４Ｊ口

ｒ＋∞ｆ’∞ｆ＋∞ｆ＋∞

那么积分ｌｄｕＩｄｘＩｆ（ｘ，ｕ）ｄｕ都存在，而且相等，即成立

Ｊ口ＪⅡｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ，ＩＪｄＪ口

－ｕｆ７ｄｚｒ”厂（训池：ｆ７ｄ“ｒ厂（训ｍ．。Ｊｄ¨－Ｊ口

ｐ４．－ｏｏｆ＋∞ｒ＋∞ｔ＇４－口。

证明不妨假定ｌｄａ：Ｉｆ（ｘ，“）Ｉｄｕ存在，因而ｌｄｘＩｆ（ｘ，甜）存在．要证明的便是

ＪａＪ口Ｊ口Ｊｔ

ｌｉｍ１ｉｍＩｒＩ厂（ｚ，ｕ）ｄｘ，ｐ＋ｏｏｊ口Ｊ＝Ｉｆ（ｘ，ｕ）ｄｕ．．

ａＪ口，口

由于Ｉｆ（ｘ，ｕ）ｄｘ关于“在［口，阅上一致收敛，所以成立

弘ｆ００ｍ∽如＝』＋”耐乡ｃ…ｍ，

记

ｃ９‘（ｚ）一Ｉｆ（ｚ，ｕ）ｄｕ，Ｆ（ｚ）一Ｉｃ扣

，（ｚ，ｕ）ｄｕ，

显然

产枷

Ｉ局（ｚ）Ｉ≤ＩＩｆ（ｚ，乱）Ｉｄｕ，

Ｊ口

由条件知

肛＋ｏｏ。ｌｉｍＲ（ｚ）一Ｆ（ｚ），

且在任何区间［口，６］上一致收敛，利用控制收敛定理，得

ｐ＋。。Ｊ＿ｌｉｍｌＦｐ（ｚ）ｄａ：＝ｌＦ（ｚ）ｄｘ．

Ｊ４

这就证明了结论．

参考文献

Ｅ１３常庚哲，史济怀．数学分析教程（上册）ＥＭ３．北京：高等教育出版社，２００３．

１－２３张筑生．数学分析新讲ｒＭ３．北京：北京大学出版社．１９９０．

［３１华东师范大学数学系．数学分析（上册）ｒＭ．１．北京：高等教育出版社，２００１．

Ｉ－４．１周民强．实变函数论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００１．

Ｉ－ｓ．１邢家省．空间中弱收敛序列的一些性质１－Ｊ．１．河南科学，２００１。１９（４）：３３１—３３６．１－６．１邢家省，付传玲．郭秀兰．函数列积分的极限定理及其应用．河南科学，２００８，２６（４）：３８３—３８８．

黎曼可积函数列的极限理论及应用

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：邢家省， 郭秀兰， 饶明贵邢家省(北京航空航天大学数学系数学信息与行为教育部重点实验室,北京,100083)， 郭秀兰(河南工业大学,郑州,450000)， 饶明贵(河南工程学院,郑州,451191)高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009，12(4)0次

参考文献(6条)

1.常庚哲.史济怀 数学分析教程 2003

2.张筑生 数学分析新讲 1990

3.华东师范大学数学系 数学分析 2001

4.周民强 实变函数论 2001

5.邢家省 空间中弱收敛序列的一些性质[期刊论文]-河南科学 2001(04)

6.邢家省.付传玲.郭秀兰 函数列积分的极限定理及其应用[期刊论文]-河南科学 2008(04)

相似文献(1条)

1.期刊论文 邢家省.付传玲.郭秀兰.Xing Jiasheng.Fu Chuanling.Guo Xiulan 函数列积分的极限定理及其应用 -河南科学2008,26(4)

给出了黎曼可积函数列积分的极限定理的证明,列举了函数列积分极限定理的一些应用.应用积分控制收敛定理,给出了无穷限积分可交换积分次序定理的证明.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200904009.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c43170a7-e3bf-4631-838e-9dcb014fd225

下载时间：2010年8月7日