雨中行走问题模型
数学建模之雨中行走问题模型
摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。就淋雨量
与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少； 若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
关键词：淋雨量， 数学模型， 降雨的方向。
正文
1. 问题的提出
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m =5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论 （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量； （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。
（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2. 建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，ω，α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量. （说明：题目中所涉及的图形为网上提供）
2. 问题的分析
总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积、 单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①
时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②
由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v
3. 合理假设
3.1模型的假设
（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下) ，宽0.5m, 厚0.2m. 其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3
（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；
（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为v =(v x , v y , v z ) , 人行走的距离为d=100米。
在上述假设下，再有数学分析中曲面积分的通量概念，显然，单位时间内的淋雨量正比于|u -v x |,|0-v y |,|0-v z |⋅(1, b , c )=|u -v x |+|v y |⋅b +|v z |⋅c ，从而总淋雨量正比于R (u )=
()
d
(|u -v x |+a ).........................(3.1) u
其中a =|v y |⋅b +|v z |⋅c ≥0，于是该问题抽象成如下数学问题： 在d, v x ,a 已知条件下，求R (u )的最小值。 3.2变量限定
u m :跑步的最大速度
v :雨的速度
w :单位时间内的降雨量
Q :总的淋雨量
u :跑步速度
θ
:雨线方向与人体夹角
s :人可以被雨淋到的全身面积
t =
d
:雨中行走的最短时间 u m
4. 模型的构建与求解
由于这个模型的特殊性，用图解法求解更方便些，分以下几种情况进行讨论： 4.1不考虑雨的方向
这是最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，降雨淋遍全身，那么淋雨的面积
s =2(1.5*0.5+1.5*0.2)+0.5*0.2=2.2m 2
淋雨的时间t =
d 100
==20s u m 5
而降雨量w =2cm /h =
1
⨯10-4m /s 18
1
⨯10-4≈2.44⨯10-4m 3。 18
所以总的淋雨量Q =stw =2.2⨯20⨯
4.2考虑雨的方向；分雨从迎面和背面吹来两种情况，但雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为θ 。如图1和图2。
图1 雨从迎面吹来 图2 雨从背面吹来
由此建立总淋雨量与速度u 之间的关系表达式。
v x =v sin θ, v z =v cos θ。
4.2.1当v x >0时（即雨从背面吹来的情况），
d (v x +a )⎧d
v x -u )+a )=-d (u
.................(3.2) R (u )=⎨
⎪d u -v +a =d (a -v x )-d u >v
(x ))((x )⎪u ⎩u
再将v x 与a 进行比较： 1）当v x >a时，R (u )
u 的图形如图
3所示，由图可知， u =v x 时，R (u )的最小值为
R min =
da
v x
图3 当v x >a时，R (u )
2）当v x
u 的图形
u 的图形如图4所示，由图可知，当u 尽可能大时，R (u )才会可
图4 v x
4.2.2当v x
u 的图形
d (|v x |+a )d
+d ........................... (5.3) R (u )=(u +|v x |+a )=
u u
此时无论v x 为何值，R (u )都无最小值，即只有当u 尽可能大时，R (u )才会尽可能小，
R (u )
u 的图形如图5所示。
4.2.3当v x =a及v x >0时，分别为式（3.1）和式（3.2）的特例。
所以综上所述，当v x >a>0时，即雨从背面吹来时，只要u =v x 就可使前后不淋雨，从而总淋雨量最少，而其他情况都应使u 尽可能大，才能使淋雨量尽可能少，显然，这也符合人们的生活常识，
5. 模型的结果分析
综合上面的分析，我们得到的结论是：
1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。
2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的走的速度，使得它恰好等于雨下落时速度的水平分量v x 。但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内，若是雨线方向与人的跑步方向不在同一平面内建立坐标系上，对于这种情况，我们认为在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的，应分别对几个淋雨面进行以上同样方法建立求解模型， 但是解算的过程，我想应该更复杂。
参考文献
[1]熊启才, 曹吉利, 张东生. 数学模型方法及应用，重庆：重庆大学出版社，2005. [2]姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.