分式的概念及其基本性质1

分式及其性质

我来试试手

1. 2004年10月5日上海金茂大厦举办国际跳伞比赛，从350米的高度跳下，一名运动员到落地时用了28秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？另一名运动员到落地时用了x秒，那么他的平均降落速度又是每秒多少米？

2. 刘翔在雅典奥运会110米栏中以12.91秒的成绩夺冠，被称为“世界飞人”。试求他的平均速度。刘翔决心在下一次比赛中破世界记录，不妨设他以x秒跑完110米栏，则他的平均速度是多少？

请问他平均每场比赛得几分？分球a个.3分球b个.罚球共得c

z

2a3bc12y

分式

分式的概念：两个整式A.B相除，即A÷B时，可以表示为A/B。

如果B（分母）中含有字母，那么A/B叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 ．．．．．．．．．．

1. 判断下列各式中哪些是分式？哪些是整式？ 42

3x、x+yxyx x2xxyc2b3c

整数

有理数



有理式



分数



整式分式

例1. 将下列式子表示为分式：

(1)（x+2）÷y (2) (2x-1)÷(x2+1) (3) 2x:(y+1)

[强调] 分数线不仅起除号作用，而且还兼有括号的作用。

例2. 当x=-3.y=2时，分别计算下列分式的值：

3x2yy3 （1x；（2x7

。

思考题2. 在下表空格中填写适当的数。

例3.当x取什么值时，下列分式无意义？

3xx5（1；（2。

2xx2

2

变式训练：

x5有意义。 （1）当x取什么值时，分式x2x5

2

x2有意义。 （2）当x取什么值时，分式

y3

y

3的值是0？ 例4.当y是什么值时，分式

变式训练：

（1）当y是什么值时，分式

（2）当y是什么值时，分式

一、填空题

1．用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成______的形式，如果除式B中______，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式：

（1）5÷xy为______. （2）（3x＋2y）÷（x－3y）为______.

3．甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．

5．轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米／时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时间可用式子表

示成______小时． 6．当x＝______时，分式

x3x1

没有意义．7．当x＝______时，分式

x1x1

2

的值为0．

8．分式

xy

，当字母x、y满足______时，值为1；当字母x，y满足______时值为－1．

二、选择题 9．使得分式

a

有意义的a的取值范围是（ ）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠－1 a1

10．下列判断错误．．

的是（ ） A．当x

2x1有意义 B．当a≠b时，分式ab3

时，分式3x2

a2b

2有意义 12

2

C．当x2

时，分式

2x1

值为0 D．当x≠y

时，分式xy

4x

有意义

11．使分式

xx5

值为0的x值是（ ）A．0 B．5 C．－5 D．x≠－5

12．当x＜0时，|x|的值为（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．不确定

x

13．x为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )

2

A．

x1x1x

B．

C．

x1 D．

x1x2

1

x1

x2

1

三、解答题

14

xy

xy;

3

x2

1

15．x

一、填空题

16．当x=______时，分式

2x无意义．17.使分式

2x有意义的条件为______．

3x6

(x3)

2

18.分式2x5(x1)2

2

有意义的条件为______．19．当______时，分式|x|4x4

的值为零．

20．若分式67x

的值为正数，则x满足______．

二、选择题

21．若x、y互为倒数，则用x表示y的正确结果是（ ）

A．x＝－y B．x

11y

C．y

x

D．y

1x

22．若分式

5ab3a2b

有意义，则a、b满足的关系是（ ）

D．a＋1＞0

A．3a≠2b 23．式子

x2xx2

2

2

B．a

15

b

C．b

23

a

D．a

23

b

的值为0，那么x的值是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D．不存在

9

24．若分式

a

a

2

a6

2

的值为0，则a的值为（ ） A．3 B．－3 C．±3 D．a≠－2

C．b＜1 D．b＞1

25．若分式

1b2b1

的值是负数，则b满足（ ） A．b＜0 B．b≥1

三、解答题 26．如果分式

28．当x为何整数时，分式

42x1

|y|3y2y3

2

的值为0，求y的值． 27．当x为何值时，分式

12x1

的值为正数？

的值为正整数？

29．已知分式

yayb

,当

y＝－3时无意义，当y＝2，求当y＝－7时分式的值．

分式的基本性质

分式的性质：就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。这个性质．．．．．．．．．．．

叫做分式的基本性质，用式子表示是：

A

B



AMBM

,

AB



AM

BM 其中M是不等于零的整式。

应用分式的基本性质把已知的分子，分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

例1. 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

aac2bc

(c0)

x

3

（1）2b.

； （2）xy



x

2

y

.

例2. 填空：

ab





ab； （2）

2

xxyx

2

2



xy

（1）ab

.

例3. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

121xx

2323yy

0.3a0.5b

（1）2

； （2）0.2ab

.

例4.

5b

x

（1）6a； （2）3y；

例5. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

x

2

a1

2

2x

2

（1）1x； （2）a2； （3）x3.

约分

1. 复习引入：填空：（并说明理由）

(1)

2b2aaca

2



 

ac

(2)

3a3b9cx6x

2



ab

 

1

(3)

 

(3)

y

2



 

2.

分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分，．．．．．．．．．．．．．

也叫化简分式。

公因式： 取系数的最大公约数，取相同因式的最低次幂。 ．．．．．

最简分式：分子、分母没有公因式的分式， 注意：约分的结果必须是最简分式或整式。 ．．．．

3.复习：分解因式：

（1）x2

4230x25

4. 例题讲解： 例1．约分：

（1）

思考：如果的分式的分子、分母是单项式时应该怎样约分？

36abc6abc

23

（2）

例2. 约分：

（1）

mambmcabc

（2）

a4ab4ba4b

2

2

22

（3）

3x614

xx1

2

(4)

2m8m

2

16

(5)

a2a3a

2

2

(6)

x9x6x9

2

2

约分的步聚：

练一练”——我评价 1．判断正误并改正: ①

yy

62

y （ ）

3

（ ）

④

(x2)(x3)(2x)(3x)

2

1 （ 

12

（ ）

12bc（5xy）2. 下列分式） 4ayx2A、1个 B、2个 C3. 约分： (1) 4. 约分 (1)

(5)

4xx

2

2

a+b+c

a4b

2

2

4ax6bx

2

(2) 

3y6xy

2

2

(3)

18(ab)

2

24(ba)

(4)

12x4x4x1

2

16x1

(6)

12x4x4x1

2

(7)

x5x64x16

2

2

3

5. 化简求值:

a8a16a16

2

2

,其中a=5 6. 约分： 2

3

10

xx

2

2

23215

y

2

y

2

知识拓展

1. 已知x-y=4xy，则

2x3xy2yx2xyy

= 。

2. 设abc＝1，则

abc

＋ ＋ ＝______。

ab+a+1bc+b+1ca+c+1

3．设abc0，且

3a2b

4. 当1y0

课堂学习检测

一、填空题 1．

ABAMBMyx

,其中A是整式，B是整式，且B≠0，M是______．

2．把分式

x1x2

中的x和y都扩大3倍，则分式的值______．

(3x

)

5xy1()1x(). 5．． 6． 2223x2yy24yxyxy

2

3．



1x(

)

 4．

二、选择题 7．把分式

a9ab3b

2

约分得（ ） A．

a3b3

B．

a3b3

C．

a3b

D．

a3b

8．如果把分式

x2yxy

中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）

23

A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．是原来的 D．不变

9．下列各式中，正确的是（ ）

A．

ambm

ab

B．

abab

0

C．

ab1ac1



b1c1

D．

xyxy

2

2



1xy

三、解答题 10．约分：

y4xy4x

（1） （2

4） 2xy15ac10ab

22

11; （2（1）5a3

综合、运用、诊断

一、填空题 12．化简分式：（1）

xy(yx)

3



_____；（2）

nmmn

x996xx

2a12b

2

2

2

_____．

13．填空：(1)

mnmn

();(2)()

12a2b



14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）

aab2b()

（2）

a2b2ab

2

1

a

().

aba1

b

二、选择题

15．把分式

2xxy

中的x、 y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（ ）

B．缩小m倍

xy2



xy2

;②

A．扩大m倍 16．下面四个等式：①

C．不变

xy2



xy2

D．不能确定

;③

xy2



xy2

; ④

xy2



xy2



其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 17．化简

ab

2

2

C．2个 D．3个

a22abb2

9ab

2

的正确结果是（ ） A．

2

abab

B．

abab

C．

12ab

D．

12ab

18．化简分式

A．

三、解答题 19．约分：

（1）

3a2b6ab2

2

后得（ ）

3ab

2

a2b2ab2

B．

3aba6ab

2

C．

3aba2b

D．

3ab3ab2b

2

12a(ba)27(ab)

3

22

（2

20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．

（1）

x

2

x2y

3mm

（2） （3） （4） 21m21x2xaa

b

1xx

2

2

拓展、探究、思考

21．（1）阅读下面解题过程：已知

- 11 -

xx1

2



25

,求

x

4

2

x1

的值．

解：

x2x

2

1

5(x0), 

12115

,即x



5x

2

x

x

2



x

x4

1



11x2



11

12

5



42

17



x

2

(x

x)2

(2)2

（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：

2已知

xx2

的值．

3x1

2,求

x

x4

x2

1

- 12 -