第一讲正交向量组及施密特正交法
第一讲
Ⅰ 授课题目:
§5.1 预备知识:向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求:
1.了解向量的内积及正交向量组的概念;
1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法;
2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点:
重点:正交向量组及正交矩阵
难点:施密特正交化方法
Ⅳ 讲授内容:
一、向量的内积
前面曾介绍过向量的线性运算,但在许多实际问题中,还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此,作为解析几何中向量的数量积的推广,引进向量的内积运算. 定义1 设有n维向量
⎛x1 x2
x=
x⎝n
⎫⎛y1
⎪
⎪ y2
y=, ⎪
⎪
y⎪
⎝n⎭
⎫
⎪⎪⎪, ⎪⎪⎭
令 [x,y]=x1y1+x2y2+ +xn,
[x,y]称为向量x与y的内积.
内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当x与y都是列向量时,有 [x,y]=xy.
T
内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数): ① [x,y]=[y,x]; ② [λx,y]=λ[x,y]; ③ [x+y,z]=[x,y]+[x,z].
⎛1⎫⎛-3⎫ ⎪ ⎪ 2⎪ 0⎪
例1 设有两个四维向量α= ⎪,β= .求[α,β]及[α,α].
-16⎪ ⎪ ⎪ 5⎪ -5⎪⎝⎭⎝⎭
解 [α,β]=-3+0-6-25=-34 [α,α]=1+4+1+25=31
n维向量的内积是数量积的一种推广,但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹
角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来,利用内积来定义
n维向量的长度和夹角: 定义2 令x=
x,x=
x1+x2+ xn
222
,则x称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质:
① 非负性 当x≠0时,x>0,当x=0时,x=0; ② 齐次性 λx=λx;
③ 三角不等式 x+y≤x+y.
向量的内积满足施瓦兹不等式 [x,y]≤[x,x]⋅[y,y]
2
由此可得
[x,y]
xy
≤1 (当x y≠0时)
于是有下面的定义:
当x≠0,y≠0时, θ=arccos二、正交向量组
当[x,y]=0时,称向量x与y正交.显然,若x=0,则x与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.
定理1 若n维向量α1,α2, αr是一组两两正交的非零向量组,则α1,α2, αr线性无关.
证明 设有λ1,λ2, λr使 λ1α1+λ2α2+ +λrαr=0,
[x,y]
x y
称为n维向量的夹角.
以α1左乘上式两端,得 λ1α1α1=0, 因α1≠0,故α1α1=T
2
TT
≠0,从而必有λ1=0.类似可证λ2=0, λr=0.于是向
量组α1,α2, αr线性无关.
注 1.该定理的逆定理不成立.
2.这个结论说明:在n维向量空间中,两两正交的向量不能超过n个.这个事实的几
何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量;空间中找不到四个两两垂直的非零向量.
正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.例如n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间Rn的一个正交基.
⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪3
例2 已知3维向量空间R中两个向量α1= 1⎪,α2= -2⎪正交,试求一个非零向量
1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
α3,使α1,α2,α3两两正交.
⎛α1T
解 记 A= T
α⎝2
⎫⎛1⎪= ⎪ 1⎭⎝
1-2
1⎫⎪, 1⎪⎭
α3应满足齐次线性方程Ax=0,即 ⎛1
1
⎝
1-2
⎛x1⎫
1⎫ ⎪⎛0⎫⎪⎪, x2⎪= ⎪ ⎪1⎭ ⎪⎝0⎭⎝x3⎭
1-3
1⎫⎛1⎪~ 0⎪⎭⎝0
01
1⎫⎧x1=-x3
⎪,得 ⎨, 0⎪x=0⎭⎩2
⎛1
由 A~ 0
⎝
⎛-1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪
从而有基础解系 0⎪,取α3= 0⎪即合所求.
1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭
定义3 设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V⊂R)的一个基,如果e1,e2, ,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2, ,er是V的一个规范正交基.
n
若e1,e2, ,er是V的一个规范正交基,那么V中任一向量α应能由e1,e2, ,er线性表示,设表示式为 α=λ1e1+λ2e2+ +λrer.为求其中的系数λi(i=1, r),可用
ei左乘上式,有 eiα=λieiei=λi,即 λi=eiα=[α,ei].
T
TTT
设α1,α2, αr是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量e1,e2, ,er,使e1,e2, ,er与α1,α2, αr等价.这样一个问题,称为把α1,α2, αr这个基规范正交化.
以下办法可把α1,α2, αr规范正交化: 取 b1=α1;
b2=α2-
[b1,α2]
b1;
[b1,b1]
[b1,αr][b,α]
b1-2rb2
[b1,b1][b2,b2]
[br-1,αr]
b.
[br-1,br-1]r-1
…… br=αr-
-
容易验证b1,b2, ,br两两正交,且b1,b2, ,br与α1,α2, αr等价. 然后只要把它们单位化,即取e1=
b1b1
,e2=
b2b2
,……,er=
brr
,就得V的一个规范正交基.上述从
线性无关向量组α1,α2, αr导出正交向量组b1,b2, ,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它不仅满足b1,b2, ,br与α1,α2, αr等价,还满足:对任何k(1≤k≤r),向量组b1,b2, ,bk与α1,α2, αk等价.
⎛1⎫⎛-1⎫⎛4⎫
⎪ ⎪ ⎪
例3 设α1= 2⎪,α2= 3⎪,α3= -1⎪,试用施密特正交化过程把这组向量规范
-1⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
正交化.
解 取b1=α1;
b2=α2-
[α2,b1]
b1
2
⎛-1⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪4 ⎪5 ⎪b1= 3⎪- 2⎪= 1⎪;
1⎪6 -1⎪3 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫
⎪[α3,b1][α3,b2]
b3=α3-b1-b2=2 0⎪. 22
b12 1⎪
⎝⎭
再把它们单位化,取
⎛1⎫⎛-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪11 ⎪1
e1= 1⎪,e3= 0⎪. 2⎪,e2=
6 3 2 ⎪⎪⎪1-1⎝⎭⎝1⎭⎝⎭
即合所求.
⎛1⎫ ⎪
例4 已知α1= 1⎪,求一组非零向量α2,α3,使α1,α2,α3两两正交.
1⎪⎝⎭
解 α2,α3应满足方程α1x=0,即x1+x2+x3=0.
它的基础解系为
⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪
ξ1= 0⎪,ξ2= 1⎪.
-1⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭
T
把基础解系正交化,即合所求.亦即取 α2于是得
⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪⎪1
= 0⎪,α3= 2⎪.
2 ⎪ -1⎪
⎝-1⎭⎝⎭
=ξ1,α3=ξ2-
[ξ1,ξ2]
ξ1.
[ξ1,ξ1]
α2
三、正交矩阵
在平面解析几何中,坐标轴的旋转变换为
⎧x=x'cosθ-y'sinθ
⎨
''y=xsinθ+ycosθ⎩⎛cosθ
对应的矩阵 A= sinθ
⎝
-sinθ⎫⎛1T
⎪ ,显然AA=⎪ 0cosθ⎭⎝
0⎫
⎪=E.这样的矩阵称为正交⎪1⎭
矩阵.
定义4 如果n阶矩阵A满足ATA=E (即A-1=AT),称A为正交矩阵.
上式用A的列向量表示,既是 ⎛α1T
αT
2
T⎝αn
⎫⎪⎪
⎪(α1,α2, ,αn)=E, ⎪⎪⎭
j
亦即 αiα
(
T
)=(δ
ij
),
这也就是n2个关系式
T
αiαj=δij=⎨
⎧1, 当i=j,⎩0, 当i≠j
(i,j=1,2, n).
这就说明:方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位鲜花量,且两两正交.又ATA=E与AAT=E等价,所以上述结论对A的行向量亦成立.由此可见,正交矩阵的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基.
⎡⎢⎢⎢,⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1212120
--121
1-212
-
1⎤2⎥1⎥⎥2⎥
都是正交矩阵. ⎥0⎥1⎥⎥2⎥⎦
⎡0
比如:⎢
⎣11⎤⎥0⎦
⎡2⎢,⎢2⎢1⎢⎣21⎤
-⎥2⎥2⎥2⎥⎦
2
120
012
注 正交矩阵的性质:设A,B均为正交矩阵,则
1.A=±1,因此A为满秩矩阵; 2.AT=A-1,并且也是正交矩阵; 3.AB也是正交矩阵.
定义5 若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.
设y=Px为正交变换,则有 y=
yy=
T
xPPx=
TT
xx=x.
T
按x表示向量的长度,相当于线段的长度.y=x说明经正交变换线段长度保持不变,这正是正交变换的优良特性.
Ⅴ 小结与提问: 小结:1.内积是计算向量的长、夹角的基础,须掌握其计算和运算性质.
2.向量的夹角是对两个非零向量定义的,这个定义的合理性是由施瓦兹不等
式保证的,因为对任何非零向量α,β,由施瓦兹不等式有
[α,β]
⋅β
≤1.从而
θ=arccos
[α,β]
⋅β
才有意义.
3.把线性无关的向量组正交规范化,须先正交化,后单位化,而不能先单位化,后正交化.
4.正交矩阵是一类重要的矩阵,一个矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是A
的 行(列)向量组是正交规范组,这是实际计算中求正交矩阵的根据.
提问:1.向量空间的规范正交基是否唯一? 2.A、B均是正交阵,A+B是正交阵吗? Ⅵ 课外作业:
P161 1.(2)2.(1)3.
第二讲
Ⅰ 授课题目: §5.2 方阵的特征值与特征向量 Ⅱ 教学目的与要求:
1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念; 2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。 Ⅲ 教学重点与难点:
重点:矩阵的特征值与特征向量的概念 难点:矩阵的特征值与特征向量的性质及求法 Ⅳ 讲授内容:
一、特征值与特征向量的定义
定义1: 设A是n阶方阵,数λ和n维若非零列向量x,使得Ax=λx成立,则称λ是方阵A的一个特征值,x为方阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
注 1.A是方阵;
2.特征向量x是非零列向量;
3.方阵A的与特征值λ对应的特征向量不唯一; 4.一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法
Ax=λx⇒(A-λx)=0或(A-λE)x=0已知x≠0,所以齐次线性方程组
(A-λE)x=0有非零解⇔A-λE=0
定义2 设An⨯n=(aij)n⨯n,λ为实数,则行列式
a11-λ
a12a22-λ an2
a1na2n ann-λ
A-λE=
a21 an1
是关于λ的n次多项式,称为方阵A的特征多项式.方程A-λE=0称为方阵A的特征方程. 显然,矩阵A的特征方程在复数域内的n个根就是A的所有特征值.故求矩阵A的特征值、特征向量的步骤为:
(1)由A-λE=0求出λ,即为特征值;
(2)把得到的特征值λ代入齐次线性方程组(A-λE)x=0,求出非零解x,即
为所求
⎛-1
例2 求矩阵A= -4
1⎝
-1-λ
1301
0⎫⎪
0⎪的特征值与特征向量. 2⎪⎭
002-λ
=(2-λ)(1-λ),
2
解 A-λE=-41
3-λ0
所以 λ1=2,λ2=λ3=1.
⎛0⎫
⎪
当λ1=2时,解方程(A-2E)x=0,得基础解系p1= 0⎪,
1⎪⎝⎭
所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征向量. ⎛-2
当λ2=λ3=1时,解方程(A-E)x= -4
1⎝
120
0⎫⎛x1⎪ 0⎪ x2
1⎪⎭⎝x3
⎫⎛0⎫
⎪ ⎪⎪= 0⎪, ⎪ 0⎪⎭⎝⎭
⎛-1⎫ ⎪
得基础解系p2= -2⎪,所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量.
1⎪⎝⎭⎛-2
例3 求矩阵A= 0
-4⎝
-2-λ
121
1⎫⎪
0⎪的特征值与特征向量. 3⎪⎭1
103-λ
=-(λ+1)(λ-2)
2
解 A-λE=0-4
2-λ1
所以λ1=-1,λ2=λ3=2.
⎛1⎫
⎪
当λ1=-1时,解方程(A+E)x=0,得基础解系p1= 0⎪,
1⎪⎝⎭
所以kp1(k≠0)是对应于λ1=-1的全部特征向量.
⎛0⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪
当λ2=λ3=2时,解方程(A-2E)x=0,得基础解系p2= 1⎪,p3= 0⎪,
-1⎪ 4⎪⎝⎭⎝⎭
所以k2p2+k3p3(k2,k3不同时为0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量. 三、特征值与特征向量的性质
性质1 若A为n阶矩阵,x为A的对应于特征值λ的特征向量,则
(1)kA的特征值为kλ(k是任意常数);
(2)Am的特征值为λ(m是正整数); (3)若A可逆,则
1
m
λ
是A
-1
的特征值;
(4)若f(x)为x的多项式,则f(λ)是f(A)的特征值.
性质2 A与AT有相同的特征值.
定理1 设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2, ,λn,则
(1)λ1+λ2+ +λn=a11+a22+ +ann; (2)λ1λ2 λn=A.
例4 设三阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求行列式A3-3A+E的值.
解 设f(x)=x3-3x+1 ,则f(A)=A3-3A+E,由定理1可知f(A)等于f(A)的三个特征值之值.而由性质1得f(A)的特征值为f(1),f(2),f(-3),故f(A)=153. 定理2 设λ1,λ2, ,λm是方阵A的m个特征值,p1,p2, ,pm依次是与之对应的特征向量.如果λ1,λ2, ,λm各不相同,则p1,p2, ,pm线性无关. 证明 设有常数x1,x2, ,xm使x1p1+x2p2+ +xmpm=0.
则A(x1p1+x2p2+ +xmpm)=0,即λ1x1p1+λ2x2p2+ +λmxmpm=0, 类推之,有λ1x1p1+λ2x2p2+ +λmxmpm=0.(k=1,2, ,m-1) 把上列各式合写成矩阵形式,得
⎛1
1
(x1p1,x2p2, ,xmpm)
1⎝
k
k
m
λ1λ2
λm
⎫⎪m-1
⎪λ2
⎪=(0,0, ,0). ⎪m-1⎪λm
⎭
λ1
m-1
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当λi各不相等时该行列式不等于零,从而该矩阵可逆.于是有(x1p1,x2p2, ,xmpm)=(0,0, ,0).
即xjpj=0(j=1,2, ,m).但pj≠0,故xj=0(j=1,2, ,m).
所以向量组p1,p2, ,pm线性无关. Ⅴ 小结与提问:
小结:1.特征值λ可能是实数,也可能是复数.
kx也 2.特征向量是满足方程Ax=λx的非零向量,且对任意非零常数k≠0,
是A的属于特征值λ的特征向量. 3.如果x1,x2都是A的属于特征值λ的特征向量,且当k1x1+k2x2≠0时,
它也是A的属于λ的特征向量.
提问:设α与β分别是矩阵A的属于特征值λ1与λ2的特征向量,而且λ1≠λ2,问
α+β是否是A的特征向量?
Ⅵ 课外作业: P162 4.(1)(2)