"三线合一"性质妙用
等腰三角形“三线合一”的灵巧运用
金山初级中学 庄士忠 201508
“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质,即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容:
如图1,△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点.
C
图1
(1)若AD是等腰△ABC底边BC上的中线,那么AD是顶角∠BAC的平分线,AD是底边BC上的高线;
(2)若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线,那么AD是底边BC上的中线,AD是底边BC上的高线;
(3)若AD是等腰△ABC底边BC上的高线,那么AD是顶角∠BAC的平分线,AD是底边BC上的中线.
显然,“三线合一”性质提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时,要注意灵活运用它们。
一、证明角相等或倍数关系
【例1】已知:如图2,在△ABC中,ABAC,BDAD于D.求证:ABC
BAC2DBC.
【分析】作出等腰ABC的顶角平分线将顶角分为相等的
两部分,根据“三线合一”的性质证得DBC等于其中任一部
分即可.
【证明】作BAC的平分线
2AE,则有12BAC.∵ABAC,12,∴AEBC
(三线合一).∴2C90.又∵BDAD,∴DBCC90.∴2DBC.∴BAC2DBC.
【例2】已知:如图3,△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于E,CE
求证:∠ACE=∠
B。 1BC,E在△ABC外,2
图3
【分析】 :欲证∠ACE=∠B,由于AC=AB,因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形,即做底边BC上的高即可。
【证明】 :作AD⊥BC于D, ∵AB=AC, ∴BD
又∵CE1BC 21BC, ∴BD=CE。 2
在Rt△ABD和Rt△ACE中, AB=AC,BD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL) ∴∠ACE=∠B
【点拨】添加辅助线,利用等腰三角形的“三线合一”性质,巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形,将已知条件与待证结论有机地联系在一起,从而容易获得问题的解决.
二、证明线段相等
ABC是等边三角形,【例3】如图4,D点是AC的中点,延长BC到E,使CECD,
过点D作DMBE,垂直为M.求证:BMEM.
【分析】在BDE中,DMBE.如果能证得DBDE,由“三线合一”就可得出BMEM. BC是等边三角形,【证明】∵AD是的AC中点,
∴ABCACB60,BD平分ABC(三线
合一).∴DBC30.
又∵CECD,∴ECDE.
又∵ACBECDE,∴EACB30.∴DBCE30.∴
DBDE.又∵DMBE,∴BMEM(三线合一).
【例4】如图5,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:DE=DF.
BD
C
图5
【分析】:依题意,DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离,要证明它们相等,可先证明点D在∠BAC的平分线上,这只要证明AD是∠BAC的平分线.
【证明】:连接AD.
∵AB=AC,BD=CD,∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF.
说明:本题的解答过程中,运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质.
【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题,也可以用全等三角形来解决,但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多.因此,我们在解决这类问题时,要纠正总是依据三角形全等的思维定势,应该优先选用“三线合一”来解决.
三、证明直线垂直
【例5】.如图6,在正△ABC中,ADBC于点D,以AD为一边向右作正△ADE.请判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
【分析】在正△ABC中,由“三线合一”知CAD30.而△ADE也是正三角形,于是有
FAEDAECAD603030,这样就得
AF是正△ADE的角平分线,再由“三线合一”得ACDE.
【证明】在正△ABC中,∵ADBC,∴CAD30
(三线合一).在正△ADE中,
∵FAEDAECAD603030,
∴AF是DAE的平分线.∴ACDE(三线合一).
【例6】如图7,在△ABC中,AB=AC,D在BA的延长线上,E在AC上,且AD=AE,求证:DE⊥BC.
BF
C图6
图7
分析:注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形,那么底边上的高与BC垂直.要证明DE⊥BC,应先证明DE与这条高平行.
证明:过A作AF⊥BC于F.∵AB=AC,AF⊥BC于F,
∴AF是等腰三角形△ABC底边BC上的高线.
∴AF平分∠BAC.∴∠BAC=2∠BAF.∵AD=AE,
∴∠D=∠AED.∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D.
∴∠BAF=∠D,DE∥AF.∴DE⊥BC.
说明:本题的解答过程中,运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF是顶角∠BAC的平分线的性质.
【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时,就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直:(1)有一个等腰三角形;
(2)两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线.