选修4_5-不等式选讲教案1
第一讲 不等式和绝对值不等式
课 题: 第01课时 不等式的基本性质 教学目标:
1. 利用作差的方法来比较两个实数大小,建立不等式研究的基础;
2. 掌握不等式的基本性质,并能加以证明;
3. 会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法,反证法证明简单的不等式。 教学重点:应用不等式的基本性质推理判断命题的真假并进行代数证明。 教学难点:灵活应用不等式的基本性质。 教学过程: 一、引入:
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢? ”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 二、不等式的基本性质:
1、实数的运算性质与大小顺序的关系:
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:
a >b ⇔a -b >0 a =b ⇔a -b =0 a
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质:
①、如果a >b ,那么b b 。(对称性) ②、如果a >b ,且b >c ,那么a >c ,即a >b ,b >c ⇒a >c 。 ③、如果a >b ,那么a ±c >b ±c ,即a >b ⇒a ±c >b ±c 。
推论:若a >b , c >d , 则a +c >b +d . 即a >b , c >d ⇒a +c >b +d . ④、如果a >b ,且c >0,那么ac >bc ;如果a >b ,且c b >0,c >d >0,则ac >bd >0.
n n
⑤、如果a >b >0,那么a >b (n ∈N , n ≥1)
⑥、如果a >b >0,那么a >
b (n ∈N , n ≥2) 。
三、典型例题:
例1 判断下列各命题的真假,并说明理由:
(1)如果a >b ,那么ac >bc ;
22
(2)如果a >b ,那么ac >bc ;
n n
(3)如果a >b ,那么a >b (n ∈N +);
(4)如果a >b , c b -d 。 例2 比较(x +3)(x +7) 和(x +4)(x +6) 的大小。
分析:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系。 例3、已知a>b>0,c>d>0,求证:
a d
>
b c
。
四、课堂练习: ⎧x +y >a +b
⎧x >a ⎨、b 、x 、y ∈R ,则 1、若a 是 ⎨⎩(x -a )(y -b ) >0
⎩y >b 成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
a 、b 、c ,判断下列命题的真假: 2、对于实数
>a >b >(1)若c
c -a c -b
>b >(2)若a ,则a >0, b
a 2b
3、已知 4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5,求 f (3)的取值范围。 f (x )=ax +c ,且-
a b
11
五、课堂小结 六、课后作业:
课本P 10第3、4题
选做题:设a ≥ b , c ≥ d
a b
七、教学后记:
课 题: 第02课时 基本不等式 教学目标:
1、掌握定理1并理解定理1的几何意义;
1、学会推导并掌握基本不等式定理;
2、能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:基本不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程:
一、知识学习:
a , b ∈R 那么a +b ≥2ab ,当且仅当 a =b 时等号成立。 定理1 如果 ,
2
2
11
探究: 你能从几何的角度解释定理1吗?
分析:a 与b 的几何意义是正方形面积,ab 的几何意义是矩形面积,可考虑从
图形的面积角度解释定理。
如图把实数a 、以a b 作为线段长度,
在正方形CEFG 中,EF=b . 则S
正方形ABCD
22
在正方形ABCD 中,AB=a , ≥b 为例,
2
+S
正方形CEFG
=a +b ,S 矩形BCGH +S
2
2
2
矩形JCDI
=2ab
其值等于图中有阴影部分的面积,它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。即a +b ≥2ab .当且仅当a
2
2
=b 时,两个矩形成为正方形,此时有a +b =2ab
定理2(基本不等式):如果a ,b 是正数,那么号)
证明:∵( )+( )≥
a +b
∴a +b ≥ ,即 ≥
2显然,当且仅当a =b 说明:1)我们称
2
2
a +b
2
≥ab (当且仅当a =b 时取“=”
a +b
2
=ab
a +b
2
为a ,b 为a ,b 的几何平均数,因而,
此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2
后者要求a ,b 都是正数.
2)a +b ≥2ab 和
2
2
a +b
≥ 成立的条件是不同的:前者只要求a ,b 都是实数,而
3)“当且仅当”的含义是充要条件. 4)几何意义.
C
如图在直角三角形中,CO 、CD 分别是斜边上的中线和高,设AD=a,DB=b,则由图形可
O D
B
得到基本不等式的几何解释。
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
二、例题讲解:
例3 求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相
同的矩形中,正方形的周长最短。 证明:设矩形的长为
x ,宽为y
+2y =l
为定值,根据基本不等式
(1)设矩形的周长为定值l ,即2x
x +y 2
≥xy , 即
l 4
≥xy , xy ≤
l
2
,当且仅当x =y 时等号成立。即当且仅
16
当矩形是正方形时,面积取得最大值。 (2)设矩形面积为定值
s
,即
xy =s
,根据基本不等式
x +y 2
≥
xy , 矩形的周长2(x +y )≥4xy =4s , 即x +y ≥2s
当且仅当
x =y 时,等号成立,即当且仅当矩形是正方形时,周长取最小值。
说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数;
ⅱ) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;
ⅲ)等号成立条件必须存在。
例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域,计划在正方形MNPQ 上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图中四个直角三角形)上铺上草坪,造价为每平方米80元。(1)设总造价为S 元,AD 长为x 米,试建立S 关于x 的函数关系式。
(2)当x 为何值时S 最小,并求出这个最小值。
课本P10第5题、第6题、第9题
补充例题 已知a,b ∈(0,+∞) ,且a+b=1,求证: 122(1)a +b ≥; 2 11(2+≥8; 22
a b 121225(3)(a++(b +≥;
a b 2
1125
(4)(a+b +) ≥.
a b 4
四、课堂小结:
理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一定要满足“一正二定三相等”的条件。 五、课后作业
课本P10第7、8、10题,第11题为选做题。 六、教学后记:
课 题: 第03课时 三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标:
1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。 教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式
教学难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问题 教学过程: 一、知识学习:
定理3:如果a , b , c ∈R +,那么
a 1+a 2+ +a n
n
a +b +c
3
≥
abc 。当且仅当a =b =c 时,等号成立。
推广:
≥n a 1a 2 a n 。当且仅当a 1=a 2= =a n 时,等号成立。
语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考:类比基本不等式,是否存在:如果a , b , c ∈R +,那么a 3+b 3+c 3≥3abc (当且仅当a =b =c 时,等号成立)呢?试证明。 二、例题分析:
例1 求函数y =x (1-5x )(0≤x ≤
2
15
) 的最值。
下列的解法对吗? y =∴y
14=
∙4x ∙x (1-5x )1108
2
1⎛4x +x +1-5x ⎫≤ ⎪4⎝3⎭
3
=
1108
max
55⎛2⎫⎛2⎫
x -2x ⎪=∙x ∙x ∙ -2x ⎪ 解:y =22⎝5⎭⎝5⎭
12
0≤x ≤, ∴-2x ≥0
55
⎡⎛2⎫⎤
x +x + -2x ⎪
4⎝5⎭⎥ ∴y ≤5⎢=⎢⎥
2⎢3675 ⎥⎢⎥ ⎣⎦
224当且仅当x =x =-2x , 即x =时,y = 515675由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________
3
max
例2 :如下图,把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?
解:设切去的正方形边
长为x ,无盖方底纸盒的容积为
V ,则
V =(a -2x )x =
2
14
(a -2x )(a -2x )∙4x
3
3
课本P11第15题 已知a>0, b>0, 且h=min{a,
b a +b
2
2
求证
: h ≤
2
22
证明: a >0, b >0, a +b ≥2ab , 22
a +b ab 1b 1∴≥2, 2≤, 即a ≤, 222
ab a +b 2a +b 2
b
由于 0
a +b
b b
0
a +b a +b
b 12 ∴h ≤a 2≤, 从而h ≤2a +b 22
由例题,我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________,三者缺一不可。另外,由不等
号的方向也可以知道:积定____________,和定______________. 三、巩固练习 1. 函数y =3x +
12x
2
(x >0) 的最小值是 ( )
A.6 B. 66 C.9 D.12 2. 函数y =4x +
2
16(x +1)
2
2
的最小值是____________
3.函数y =x 4(2-x 2)(0
2) 的最大值是( )
A.0 B.1 C.
1627
D.
x
y
3227
z
2
4.(2009浙江自选) 已知正数x , y , z 满足x +y +z =1,求4+4+4的最小值。 5(2008,江苏,21)设a , b , c 为正实数,求证:四、课堂小结:
通过本节学习,要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,,但是在应用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业
P 10习题1.1第13,14题 六、教学后记:
1a
3
+
1b
3
+
1c
3
+abc ≥23