熊伟运筹学(第2版)第二版课后习题答案1
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习题一 ...................................................................................................................................... 1 习题二 .................................................................................................................................... 27 习题三 .................................................................................................................................... 37 习题四 .................................................................................................................................... 39 习题五 .................................................................................................... 错误!未定义书签。 习题六 .................................................................................................... 错误!未定义书签。 习题七 .................................................................................................... 错误!未定义书签。 习题八 .................................................................................................... 错误!未定义书签。
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习题一
1.1 讨论下列问题:
(1)在例1.1中,假定企业一周内工作5天,每天8小时,企业设备A有5台,利用率为0.8,设备B有7台,利用率为0.85,其它条件不变,数学模型怎样变化.
(2)在例1.2中,如果设xj(j=1,2,…,7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员,该模型如何变化.
(3)在例1.3中,能否将约束条件改为等式;如果要求余料最少,数学模型如何变化;简述板材下料的思路.
(4)在例1.4中,若允许含有少量杂质,但杂质含量不超过1%,模型如何变化.
(5)在例1.6中,假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时,模型如何变化.
1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1-22所示.
试建立该问题的数学模型,使每月利润最大.
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量,则数学模型为
maxZ10x114x212x31.5x11.2x24x325003x1.6x1.2x1400
231
150x1250
260x2310120x3130x1,x2,x30
1.3 建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1-23所示:
问怎样下料使得(1【解】
设xj(j=1,2,…,14)为第j种方案使用原材料的根数,则 (1)用料最少数学模型为
minZxj
j1
14
2x1x2x3x4300
x23x52x62x7x8x9x10450
x3x62x8x93x112x12x13400
xx2xxx3x2x3x4x600
[1**********]
23xj0,j1,2,,14
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X(1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X(2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 (2)余料最少数学模型为
minZ0.6x10.3x30.7x40.4x130.8x14
2x1x2x3x4300
x23x52x62x7x8x9x10450 xx2xx3x2xx4003689111213
xx2xxx3x2x3x4x600
[1**********]
23xj0,j1,2,,14
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X(1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0,用料550根 X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0,用料650根 显然用料最少的方案最优。
1.4 A、B两种产品,都需要经过前后两道工序加工,每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时,每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时.可供利用的前道工序有11小时,后道工序有17小时.
每加工一个单位产品B的同时,会产生两个单位的副产品C,且不需要任何费用,产品C一部分可出售赢利,其余的只能加以销毁.
出售单位产品A、B、C的利润分别为3、7、2元,每单位产品C的销毁费为1元.预测表明,产品C最多只能售出13个单位.试建立总利润最大的生产计划数学模型.
【解】设x1,x2分别为产品A、B的产量,x3为副产品C的销售量,x4为副产品C的销毁量,有x3+x4=2x2,Z为总利润,则数学模型为
maxZ=3x1+7x2+2x3x4x12x2112x3x1712
2x2x3x40x133xj0,j1,2,,4
1.5 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资:
方案一:在三年内投资人应在每年年初投资,一年结算一次,年收益率是20%,下一年可继续将本息投入获利;
方案二:在三年内投资人应在第一年年初投资,两年结算一次,收益率是50%,下一年可继续将本息投入获利,这种投资最多不超过2万元;
方案三:在三年内投资人应在第二年年初投资,两年结算一次,收益率是60%,这种投资最多不超过1.5万元;
方案四:在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率是30%,这种投资最多不超过1万元.
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型. 【解】设x
为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
数学模型为
maxZ0.2x110.2x210.2x310.5x120.6x230.3x34x11x1230000
1.2x11x21x2330000
1.5x121.2x21x31x3430000
x1220000x1500023
x3410000xij0,i1,,3;j1,4
最优解X=(30000,0,66000,0,109200,0);Z=84720
1.6 IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商.公司有机会在三个建设项目中投资:高层办公楼、宾馆及购物中心,各项目不同年份所需资金和净现值见表1-24.三个项目的投资方案是:投资公司现在预付项目所需资金的百分比数,那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金,也获得同样比例的净现值.例如,公司按10%投资项目1,现在必须支付400万,今后三年分别投入600万、900万和100万,获得净现值450万.
公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是:现有2500万,一年后2000万,两年后2000万,三年后1500万.当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用.
IV公司管理层希望设计一个组合投资方案,在每个项目中投资多少百分比,使其投资获得的净现值最大.
表1-24
【解】以1%为单位,计算累计投资比例和可用累计投资额,见表(2)。
表(2)
设xjmaxZ45x170x250x340x180x2900x32500
100x1160x2140x34500
190x1240x2160x36500200x310x220x8000
123
xj0,j1,2,3
最优解X
1.7 图解下列线性规划并指出解的形式:
maxZ2x1x2
x1x21 (1)
x13x21x,x012
【解】最优解X=(1/2,1/2);最优值Z=-1/2
minZx13x2
(2)
2x1x222x13x212x0,x0
21
【解】最优解X=(3/4,7/2);最优值Z=-
45/4
minZ3x12x2x12x211x4x10
12
(3)
2x1x27x3x1
2
1x1,x20
【解】最优解X=(4,1);最优值Z=-
10
maxZx1x2
3x18x212
(4) x1x22
2x13x1,x20
【解】最优解X=(3/2,1/4);最优值Z=7/4
minZx12x2
x1x22
(5) x13
x26x1,x20
【解】最优解X=(3,0);最优值
Z=3
maxZx12x2
x1x22
(6) x13
x26x1,x20
【解】无界解。
minZ2x15x2
(7)
x12x26
x1x22x,x012
【解】无可行解。
maxZ2.5x12x2
2x1x28
(8) 0.5x11.5
x12x210x1,x20
【解】最优解X=(2,4);最优值
Z=13
1.8 将下列线性规划化为标准形式 maxZx14x2x32x1x23x320 (1)
5x17x24x33
10x13x26x35x10,x20,x3无限制
'''【解】(1)令x3x3x3,x4,x5,x6为松驰变量 ,则标准形式为 '''maxZx14x2x3x3
'''2x1x23x33x3x420'''
5x17x24x34x3x53 '''
10x13x26x36x3x65
'''x1,x2,x3,x3,x4,x5,x60minZ9x13x25x3
|6x17x24x3|20
(2) x15
x18x28x10,x20,x30
【解】(2)将绝对值化为两个不等式,则标准形式为
maxZ9x13x25x36x17x24x3x4206x7x4xx20
1235 xx516
x8x8
2
1x1,x2,x3,x4,x5,x60
maxZ2x13x21x15
(3)
x1x21x0,x0
21
【解】方法1:
maxZ2x13x2
x1x31
xx5
14
x1x21x1,x2,x3,x40
x11,有x1=x11,x1514 方法2:令x1
1)3x2maxZ2(x1
4x1
1)x21(x1
x,x012
则标准型为
3x2maxZ22x1x34x1
x20x1
x,x,x0123
maxZmin(3x14x2,x1x2x3)
x12x2x330
(4) 4x1x22x315
9x1x26x35x1无约束,x2、x30
【解】令y3x14x2,yx1x2x3,x1x1x1,线性规划模型变为
maxZy
x1)4x2y3(x1
yxxxx
1123x12x2x330 x1
x1)x22x3154(x1
9(x1x1)x26x35,x1,x2、x30x1
标准型为
maxZy
3x14x2x40y3x1
yxxxxx0
11235x12x2x3x630 x1
4x1x22x3x7154x19x19x1x26x3x85,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x80x1
1.9 设线性规划
maxZ5x12x22x13x2x350
4x12x2x460x0,j1,,4j
取基B1(P1,P3)
2120
分别指出B1和B2对应的基变量和非基变量,求出基本解,并、B=,2
4041
说明B1、B2是不是可行基.
【解】B1:x1,x3为基变量,x2,x4为非基变量,基本解为X=(15,0,20,0)T,B1是可行基。B2:x1,x4
是基变量,x2,x3为非基变量,基本解X=(25,0,0,-40)T,B2不是可行基。
1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划,指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点.
maxZx13x22x1x22 (1)
2x3x1212x,x012
【解】图解法
单纯形法:
最优解X(,),Z
424
minZ3x15x2
x12x26
(2) x14x210
x1x24x10,x20
【解】图解法
最优解:X=(2,2,0,0,0);最优值Z=-16
该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
1.11用单纯形法求解下列线性规划
maxZ3x14x2x3
2x13x2x31(1)
x12x22x33x0,j1,2,3j
maxZ2x1x23x35x4
x15x23x37x430
(2) 3x1x2x3x410
2x16x2x34x420xj0,j1,,4
【解】单纯形表:
因为λ7=3>0并且ai7
maxZ3x12x218x3x12x23x34 (3)4x12x312
3x18x24x310x1,x2,x30
原问题具有多重解。
(1)
基本最优解X(3,,0,
[1**********],0)及X(2)(,0,,,0)T;Z,最优解的通解可表示为41111114
XaX(1)(1a)X(2)即
X(
3411227272
a,a,a,a,0)T,(0a1) [1**********]11
minZ2x1x24x3x4
x12x2x33x48
(4) x2x32x410
2x17x25x310x420xj0,j1,,4
maxZ3x12x2x3
5x14x26x325(5)
8x6x3x24123x0,j1,2,3j
maxZ5x16x28x3x13x22x350 (6)
x14x23x380x0,x0,x0
231
1.12 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划:
maxZ10x15x2x3
(1)
5x13x2x3105x1x210x315x0,j1,2,3j
【解】大M法。数学模型为
maxZ10x15x2x3Mx55x13x2x3
x510
5x1x210x3x415x0,j1,2,,5j
两阶段法。
第一阶段:数学模型为
minwx5
5x13x2x3x510
5x1x210x3x415x0,j
1,2,,5j
最优解X=(2,0,0);Z=20
minZ5x16x27x3
x15x23x315
(2) 5x16x210x320
x1x2x35xj0,j1,2,3
【解】大M法。数学模型为
minZ5x16x27x3MA1MA3x15x23x3S1A1155x6x10xS201232
x1x2x3A35
所有变量非负
第一阶段:数学模型为
minwA1A3
x15x23x3S1A1155x6x10xS20
1232
x1x2x3A35
所有变量非负
最优解:X=(0,3.75,1.25);Z=-31.25 即 X(0,
T,),Z 444
maxZ10x115x25x13x29
(3)5x16x215
2x1x25x1、x2、x30
【解】大M法。数学模型为
maxZ10x115x2Mx75x13x2x495x6xx15125
2x1x2x6x75xj0,j
1,2,,7
因为X7>0,两阶段法
第一阶段:数学模型为
minZx7
5x13x2x495x6xx15
125
2x1x2x6x75xj0,j1,2,,7因为X7>0,
运筹学 习题答案
21
maxZ2x13x2x3x4
x1x22x3x49
2x2x3x45 (4)
2x1x23x3x41xx313xj0,j1,,4
【解】大M法。数学模型为
maxZ2x13x2x3x4Mx9Mx10Mx11x1x22x3x4x5x99
2x2x3x4x65
2x1x23x3x4x7x101xx3x8x1131xj0,j
1,2,,11
1.13 在第1.9题中,对于基B
21
,求所有变量的检验数j(j1,,4),并判断B是不是最优基. 40
1041
【解】B4,B,
112
CCBB1A
1023104(5,2,0,0)(5,0) 11420125595
(5,2,0,0)(5,,0,)(0,,0,)
2424
(0,,0,), B不是最优基,可以证明B是可行基。
1.14已知线性规划
9
254
运筹学 习题答案 24
maxz5x18x27x34x42x13x23x32x420
3x15x24x32x430x0,j1,,4j
23
的最优基为B,试用矩阵公式求(1)最优解;(2)单纯形乘子;(3)1及3;(4)1和3。
25
【解】
5
41
B
123
4
,CB(c4,c2)(4,8,),则 12
5
2
52
T1TT
(1)XB(x4,x2)Bb(,5),最优解X(0,5,0,),Z50
(2)CBB1(1,1) (3)
3514424
N1B1P1
1131222
35343441
N3BP2
1151222
(4)
1
4
1c1CBN15(4,8)550
12
34
3c3CBN37(4,8)770
12
注:该题有多重解:
X(1)=(0,5,0,5/2)
X(2)=(0,10/3,10/3,0)
X(3)=(10,0,0,0),x2是基变量,X(3)是退化基本可行解 Z=50
1.15 已知某线性规划的单纯形表1-25, 求价值系数向量C及目标函数值Z.
【解】由jcj
iij
ci
iij
有cjj
ci
c2=-1+(3×1+4×0+0×(-1))=2 c3=-1+(3×2+4×(-1)+0×4)=1 c5=1+(3×(-3)+4×2+0×(-4))=0 则λ=(4,2,1,3,0,0,0,),Z=CBXB=12
1.16 已知线性规划
maxZc1x1c2x2c3x3
a11x1a12x2a13x3b1
a21x1a22x2a23x3b2 x,x,x0123
的最优单纯形表如表1-26所示,求原线性规划矩阵C、A、及b,最优基B及B
1
.
11
621615
,B【解】B,c4=c5=0,
0501
5
仿照第15题方法可求出c1=12,c2=11,c3=14 由 B
A
46210
得 A
050131
由 Bb
32626
得 b 20510
则有 C(12,11,1A4),
1
6230
0515
623
0
b,0515
11
32621615, B05,B1100
5
1.17 已知线性规划的单纯形表1-27.
当1=( ),2=( ),a=( )时,12为唯一最优解. 当b1=( ),b2=( ),a=( )时,有多重解,此时λ=( )
【解】(1)b1≥0,b2≥0,a
习题二
1.某人根据医嘱,每天需补充A、B、C三种营养,A不少于80单位,B不少于150单位,C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.(1)试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型;(2)假定有一个厂商计划生产一中药丸,售给此人服用,药丸中包含有A,B,C三种营养成分.试为厂商制定一个药丸的合理价格,既使此人愿意购买,又使厂商能获得最大利益,建立数学模型.
表2-22
【解jminZ0.5x10.4x20.8x30.9x40.3x50.2x613x125x214x340x48x511x68024x9x30x25x12x15x150123456
18x17x221x334x410x5180x1、x2、x3、x4、x5、x60
(2)设yi为第i种单位营养的价格,则数学模型为
maxw80y1150y2180y313y124y218y30.525y9y7y0.4
123
14y130y221y30.8
40y125y234y30.98y12y10y0.3
23
1
11y115y20.5
y1,y2,y30
2.写出下列线性规划的对偶问题
max2x14x2minwy14y2
x13x21y1y22(1) 【解】
x5x413y15y242x,x0y,y01212
y1y22
x12x210(2) 【解】2y13y21 x13x2x38x,x无约束,x0y23
312
y1无约束;y20
minZ2x1x23x3
maxw10y18y2
10y17y24y31
10x1x2x34x48y6y8y2
123(3)7x16x22x35x410 【解】
y12y26y344x8x6xx623414y5yy3
123
x1,x20,x30,x4无约束
y1无约束;y20,y30
maxZ2x13x26x37x4
3x12x2x36x49
6x5xx6134
(4)
x12x2x32x425x10
1
x10,x2,x3,x4无约束
maxZx12x24x33x4
minw8y110y26y3
maxZ2x13x26x37x4
3x12x2x36x49
6x5xx6
341
【解】x12x2x32x42
x15x110x10,x2,x3,x4无约束
minw9y16y22y3+5y410y5
3y16y2y3y4y52
2y2y3
12
对偶问题为:
y5yy6123
6yy2y7
123
y1无约束;y20,y3,0,y40,x50
3.考虑线性规划
minZ12x120x2x14x24
x5x212
2x13x27x1,x20
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解;
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;
-
(3)利用公式CBB1求原问题的最优解; (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解. 【解】(1)原问题的对偶问题为
maxw4y12y27y3y1y22y312
4y15y23y320y0,j1,2,3j
容易看出原问题和对偶问题都有可行解,如X=(2,1)、Y=(1,0,1),由定理2.4知都有最优解。 (2)
对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.4
114455551
(3)CB=(7,4),B, X(7,4)(16/5,1/5)
32325555
(4)由y1、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的,解等式
x14x24
2x13x27
得到原问题的最优解为X=(16/5,1/5)。
4.证明下列线性规划问题无最优解
minZx12x22x32x1x22x33
x12x23x32x,x0,x无约束
312
证明:首先看到该问题存在可行解,例如x=(2,1,1),而上述问题的对偶问题为
maxw3y12y22y1y21
y2y2
12
2y13y22y20,y1无约束
由约束条件①②知y1≤0,由约束条件③当y2≥0知y1≥1,对偶问题无可行解,因此原问题也无最优解(无
界解)。
5.已知线性规划
maxZ15x120x25x3x15x2x355x6xx6 123
3x110x2x37x10,x20,x3无约束
的最优解X(,0,
1
419T
),求对偶问题的最优解. 4
【解】其对偶问题是:
minw5y16y27y3y15y23y3155y6y10y20
123
y1y2y35y1,y2,y30
由原问题的最优解知,原问题约束①等于零,x1、x2不等于零,则对偶问题的约束①、约束③为等式,y1=
0;解方程
5y23y315
yy523
得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0);w=55/2=27.5
6.用对偶单纯形法求解下列线性规划
(1)
minZ3x14x25x3x12x23x38
2x12x2x310x,x,x0123
【解】将模型化为
minZ3x14x25x3x12x23x3x48
2x2xxx101235x0,j1,2,3,4,5j
b列全为非负,最优解为x=(2,3,0);Z=18
(2)
minZ3x14x2x1x24
2x1x22x0,x0
21
【解】将模型化为
minZ3x14x2x1x2x34
2xxx2124
x0,j
1,2,3,4j
出基行系数全部非负,最小比值失效,原问题无可行解。
(3)
minZ2x14x22x13x224x2x1012
x13x215x1,x20
【解】将模型化为
minZ2x14x22x13x2x324x2xx10
124
x13x2x515xj0,j1,2,3,4,5
最优解X=(0,5);Z=20
(4)
minZ2x13x25x36x4x12x23x3x42
2x1x2x33x43x0,j1,,4j
【解】将模型化为
minZ2x13x25x36x4x12x23x3x4x52
2xxx3xx312346x0,j
1,,6j
原问题有多重解:X=(7/5,0,1/5,);最优解X=(8/5,1/5,0);Z=19/5 如果第一张表X出基,则有
7.某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C,有关资料见表2-23.
表2-23
(1(2)若增加1kg原材料甲,总利润增加多少.
(3)设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg,若要转卖原材料乙,工厂应至少叫价多少,为什么? (4)单位产品利润分别在什么范围内变化时,原生产计划不变.
(5)原材料分别单独在什么范围内波动时,仍只生产A和C两种产品.
(6)由于市场的变化,产品B、C的单件利润变为3元和2元,这时应如何调整生产计划.
(7)工厂计划生产新产品D,每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg,2kg及1kg,每件产品D应获利多少时才有利于投产. 【解】(1)设 x1、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量,数学模型为
maxZ4x1x23x32x11x2x3200
x2x3x500 123
2x1x2x3600x10,x20,x30
560元。 (2)则最优表可知,影子价格为y1
92
,y2,y30,故增加利润1.8元。 55
(3)因为y2=0.4,所以叫价应不少于1.6元。
(4)依据最优表计算得
8
3c12,c2,1c39
5
13
c1[1,6],c2(,],c3[2,12]
5
(5)依据最优表计算得
运筹学 习题答案 34
100
b1400,400b2100,400b33 500b1[,600],b2[100,600],b3[200,).
3
(6)变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。故x2进基x1出基,得到最最优解X=(0,200,0),即只生产产品B 200件,总利润为600元。
(7)设产品D的产量为x7, 单件产品利润为c7,只有当7c7CBB1P70时才有利于投产。
2
9222
c7CBB1P7YP7,,02
555
1
则当单位产品D的利润超过4.4元时才有利于投产。
8.对下列线性规划作参数分析
maxZ(32)x1(5)x2
x14(1)x26
3x12x218x1,x20
>5
(μ=5,Z=52)
(μ=0,Z=27)
(μ=-1.5,Z=19.5)
maxZ3x15x2
x
14
(2)x26
3x12x2182x1,x20
410
bbb6
182
B1(bb)B1bB1b
00141
00.500303112410305
习题三
1,投资j项目
1.设xj
0,不投资j项目
maxZ30x140x220x315x430x55x14x25x37x48x530x7x9x5x6x25
23451
8x12x26x32x49x530xj=0或1,j1,,5
最优解X=(1,1,1,0,1),Z=110万元。
2.设xj为投资第j个点的状态,xj=1或0,j=1,2,…,12
maxZ400x1500x2450x3400x12
900x11200x21000x3850x111000x1290004
4771212
x2,x3,x1,x2,x3,x4jjjjjjj1j1j5j5j8j8
x1或0,j1,,12j
最优解:x1=x5=x12=0,其余xj=1,总收益Z=3870万元,实际完成投资额8920万元。
3.设xj为装载第j件货物的状态,xj=1表示装载第j件货物,xj=0表示不装载第j件货物,有
maxZ5x18x24x36x47x53x66x15x23x34x47x52x620
3x17x24x35x46x52x656
x4x50xx1
2
1xj0或1
4.设xij(i=1,2,…,5;j=1,2,3,4)为第i人参赛j项目的状态,即
1
xij
0
记第i人参赛j项目的成绩为Cij,,目标函数
第i人参赛j项目
第i人不参赛j项目
5
4
maxZCijxij
i1j1
每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件:
xi1xi2xi3xi43i1,2,,5 每个项目至少要有人参赛一次,并且总的参赛人次数等于10,约束条件:
x1jx2jx3jx4jx5j1
j1,2,3,4
x
i1j1
54
ij
10
xij=1或0,i=1,2,…,5;j=1,2,3,4
x12x28y1Mx15yMx5(1y)Mx12y14y26y38y4
14x1x210y2M
5. (1)2x16x218y3M(2)x210yM(3)y1y2y3y41
x8(1y)My0或1,j1,2,3,4yyy1
2122j y0或1yj0或1,j1,2,3
minZ10y16x115y210x2
x1y1M;x2y2Mx8yM
31
x26(1y3)M
x1x20y44y54y68y78y86.y4y5y6y7y81
x12x220y9M2x1x220y10M
x1x220y11Myyy2
1011
9
11x10,x20;yj0或1,j1,2,,
7.(1)X=(1,2),Z=3 (2) X=(5,0),Z=5 8.(1)X=(3,3),Z=15 (2)X=(5,2),Z=16 9.教材原题遗漏,请补上。
条件(1)条件(2)
条件(3)
条件(4)
x1x24x35x43
5x12x2x36(1) (2)3x1x22x32x44
4x12x2x37x0或1,j1,2,3x13x22x34x47jxj0或1,j1,2,3,4
答案:(1)X=(1,1,1),Z=8 (2)X=(1,1,1,0),Z=4 10.(1)X=(1,0,1,1),Z=8 (2)X=(1,1,0,0,0),Z=-2
maxZ4x13x2+x3
minZ4x1x2x33x4
习题四
4.1 工厂生产甲、乙两种产品,由A、B二组人员来生产。A组人员熟练工人比较多,工作效率高,成本也高;B组人员新手较多工作效率比较低,成本也较低。例如,A组只生产甲产品时每小时生产10件,成本是50元有关资料如表4.21所示。
件增加成本5元。
工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序: P1:每周供应市场甲产品400件,乙产品300件 P2:每周利润指标不低于500元
P3:两组都尽可能少加班,如必须加班由A组优先加班 建立此生产计划的数学模型。
4.1【解】 解法一:设x1, x2分别为A组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量,x3, x4分别为A组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量;x5, x6分别为B组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量,x7, x8分别为B组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。 总利润为
80(x1x3x5x7)(50x155x345x550x7)75(x2x4x6x8)(45x250x440x645x8)30x130x225x325x435x535x630x730x8
生产时间为
A组:0.1x10.125x20.1x30.125x4 B组:0.125x50.2x60.125x70.2x8 数学模型为:
--
minZp1(d1d2)p2d3p3(d4d5)p4(d62d7)
x1x3x5x7d1-d1400-
x2x4x6x8d2d2300
30x30x25x25x35x35x30x30xd-d500
2345678331
0.1x10.125x2d4d440
0.125x0.2xdd565540
0.1x0.125xdd10
3466
0.125x70.2x8d7d710x0,d,d,7;j1,2,,8ii0,i1,2,j
解法二:设x1, x2分别为A组一周内生产产品甲、乙的正常时间,x3, x4分别为A组一周内生产产品甲、乙
的加班时间;x5, x6分别为B组一周内生产产品甲、乙的正常时间,x7, x8分别为B组一周内生产产品甲、乙的加班时间。
数学模型请同学们建立。
4.2设xij为Ai到Bj的运量,数学模型为
minzPdP(ddd)PdPdP(dd)Pd[**************]
x13x23x33d1d1480B3保证供应
x11x21x31d2d2274B1需求的85%xxxdd204B需求的85%
223233212
x14x24x34d4d4323B3需求的85%
x33d5d5200A3对B3 s..tx21d60A2对B1
2x112x212x31x12x22x32d7d70B2与B3的平衡34
cijxijd80运费最小i1j1
x0 (i1,2,3; j1,2,3,4);ij
d,d0(i1,2,...,8);ii
4.3 双击下图,打开幻灯片。
4.4 已知某实际问题的线性规划模型为
maxz100x150x2
10x116x2200
11x13x225x,x012
假定重新确定这个问题的目标为: P1:z的值应不低于1900 P2:资源1必须全部利用
将此问题转换为目标规划问题,列出数学模型。 【解】数学模型为
minZp1d1p2(d2d2)
(资源1)
(资源2)
100x150x2d1d11900
10x116x2d2d2200
11x13x225
x,d,d0,j1,2jjj
4.5 已知目标规划问题
minzp1d1P2d2P3(5d33d4)P4d1
x12x2d1d1x12x2d2d2x12x2d3d3
xdd244
x1,x2,di,di
6
9420
(i1,,4)
(1)分别用图解法和单纯形法求解;
(2)分析目标函数分别变为①、②两种情况时(②中分析w1、w2的比例变动)解的变化。 ① minzp1d1P2d2P3d1P4(5d33d4) ② minzp1d1P2d2P3(w1d3w2d4)P4d1
(1
(b) minzp1d1P2d2P3(w1d3w2d4)P4d1
1(w1,w20)时,满意解为:X=(13/2,5/4) w24w1
(2)由表(2)知,当w2- 4w1 > 0,即 1(w1,w20)时,满意解为:X=(5,2)
w24
w1
(3)当1(w1,w20)时,表(1)和表(2)都是满意解。
w24
(1)由表(1)知,当w1- w2/4 > 0,即