必修二立体几何典型例题

必修二立体几何典型例题 【知识要点】

1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线：

①有公共点：相交，记作：a ∩b ＝A ，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a ∥b ．

异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面：

①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a ⊂α ．

直线与平面相交，记作：a ∩α ＝A ，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a ∥α ． (3)空间两个平面：

①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l ，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：

【例题分析】

例2 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD ．

【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加) 中位线辅助证明．

证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．

∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，

∴MA ∥CD ，MA =∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，NE =

1

CD . 21

CD . 2

∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．

又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．

方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ． ∵MF ∥AD ，NF ∥PD ， ∴平面MNF ∥平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．

【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：

(2)

例3 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，AB ⊥AC ，求证：A 1C ⊥BC 1．

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A 1C 垂直于经过BC 1的平面即可．

证明：连接AC 1．

∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴AA 1⊥平面ABC ， ∴AB ⊥AA 1． 又AB ⊥AC ，

∴AB ⊥平面A 1ACC 1， ∴A 1C ⊥A B ．① 又AA 1＝AC ，

∴侧面A 1ACC 1是正方形， ∴A 1C ⊥AC 1．②

由①，②得A 1C ⊥平面ABC 1， ∴A 1C ⊥BC 1．

【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB ⊥AC ”都要将其向“线面垂直”进行转化．

例4 在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AP ⊥PB ，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．

【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化．

证明：

∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，且AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AB ， ∴AP ⊥BC ． 又AP ⊥PB ，

∴AP ⊥平面PBC ，

又AP ⊂平面P AC ，

∴平面P AC ⊥平面PBC ．

【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：

例5 如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，且垂直于底面ABC ，∠A 1AB ＝60°，E ，F 分别是AB 1，BC 的中点．

(Ⅰ) 求证：直线EF ∥平面A 1ACC 1；

(Ⅱ) 在线段AB 上确定一点G ，使平面EFG ⊥平面ABC ，并给出证明． 证明：(Ⅰ) 连接A 1C ，A 1E ．

∵侧面A 1ABB 1是菱形， E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，

又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ．

∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，EF ⊄平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． (2)解：当

BG 1

=时，平面EFG ⊥平面ABC ，证明如下： GA 3

连接EG ，FG ．

∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，

BG 1

=，∴EG ⊥AB ． GA 3

∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， ∴EG ⊥平面ABC ．

又EG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面ABC ．

例6 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．

(Ⅰ) 求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ) 求证：AB 1∥平面BEC 1． 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ) ∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1．

∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又BE ⊂平面BEC 1，

∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．

(Ⅱ) 证明：连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ．

∵BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点， ∴DE ∥AB 1． 又DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．

例7 在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB =2DC =4．

(Ⅰ) 设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (Ⅱ) 求四棱锥P －ABCD 的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M 是PC 上的动点分析知，MB ，MD 随点M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面P AD ．

证明：(Ⅰ) 在△ABD 中，

由于AD ＝4，BD ＝8，AB =4，

所以AD 2＋BD 2＝AB 2． 故AD ⊥BD ．

又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ，

又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面P AD ．

(Ⅱ) 解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，

由于平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，

又△P AD 是边长为4的等边三角形．因此PO =在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，

所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为梯形ABCD 的高，

所以四边形ABCD 的面积为S =

⨯4=2. 4⨯885

=，即为

45

25+48⨯=24. 故

1

V P -ABCD =⨯24⨯2=163.

3

练习

一、选择题：

1．已知m ，n 是两条不同直线，α ，β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) (A)若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥n (B)若m ⊥α ，n ⊥α ，则m ∥n (C)若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α ∥β (D)若m ∥α ，m ∥β ，则α ∥β 2．已知直线m ，n 和平面α ，β ，且m ⊥n ，m ⊥α ，α ⊥β ，则( ) (A)n ⊥β (B)n ∥β ，或n ⊂β (C)n ⊥α (D)n ∥α ，或n ⊂α

3．设a ，b 是两条直线，α 、β 是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) (A)a ⊥α ，b ∥β ，α ⊥β (B)a ⊥α ，b ⊥β ，α ∥β (C)a ⊂α ，b ⊥β ，α ∥β (D)a ⊂α ，b ∥β ，α ⊥β 4．设直线m 与平面α 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) (A)在平面α 内有且只有一条直线与直线m 垂直 (B)过直线m 有且只有一个平面与平面α 垂直 (C)与直线m 垂直的直线不可能与平面α 平行 (D)与直线m 平行的平面不可能与平面α 垂直 二、填空题：

5．在三棱锥P －ABC 中，PA =PB =

6，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，AB ⊥BC ，∠

BAC ＝30°，则PC ＝______．

6．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面ABCD 满足条件______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(只要求写出一种条件即可)

7．设α ，β 是两个不同的平面，m ，n 是平面α ，β 之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ②α ⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α

以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______． 8．已知平面α ⊥平面β ，α ∩β ＝l ，点A ∈α ，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α ，m ∥β ，给出下列四种位置：①AB ∥m ；②AC ⊥m ；③AB ∥β ；④AC ⊥β ， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______． 三、解答题：

9．如图，三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M ，N 分别为P A ，BC 的中点．

(Ⅰ) 求MN 的长； (Ⅱ) 求证：P A ⊥BC ．

10．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求

证：

(Ⅰ) 直线EF ∥平面ACD ； (Ⅱ) 平面EFC ⊥平面BCD ．

11．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB

＝90°，BC ∥AD ，BC =

11

AD , BE //AF , BE =AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．

22

(Ⅰ) 证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(Ⅱ) C ，D ，F ，E 四点是否共面? 为什么?

(Ⅲ) 设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE ．

专题七 立体几何参考答案

练习

一、选择题：

1．B 2．D 3．C 4．B 二、填空题：

5． 6．AC ⊥BD (或能得出此结论的其他条件)

7．②、③、④⇒①；或①、③、④⇒② 8．④ 三、解答题：

9．(Ⅰ) 解：连接MB ，MC ．

∵三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形，

∴MB =MC =

，且底面△ABC 也是边长为1的等边三角形． ∵N 为BC 的中点，∴MN ⊥BC ． 在Rt △MNB 中，MN =

MB 2-BN 2=

2⋅ (Ⅱ) 证明：∵M 是P A 的中点， ∴P A ⊥MB ，同理P A ⊥MC ．

∵MB ∩MC ＝M ，∴P A ⊥平面MBC ， 又BC ⊂平面MBC ，∴P A ⊥BC ．

10．证明：(Ⅰ) ∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ．

又EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD ．

(Ⅱ) ∵EF ∥AD ，AD ⊥BD ，∴EF ⊥BD ．

∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ． ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面CEF ．

∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD ．

11．(Ⅰ) 由题意知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，∴GH ∥AD ，GH =

又BC ∥AD ，BC =

1

AD , 2

1

AD ，∴GH ∥BC ，GH ＝BC ， 2

∴四边形BCHG 是平行四边形． (Ⅱ) C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE ∥AF ，BF =

1

AF ，G 是F A 的中点， 2

得BE ∥FG ，且BE ＝FG ．∴EF ∥BG ．

由(Ⅰ) 知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，故EC ，FH 共面，又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面． (Ⅲ) 连结EG ，

由AB ＝BE ，BE ∥AG ，BE ＝AG 及∠BAG ＝90°，知ABEG 是正方形， 故BG ⊥EA ．

由题设知F A ，AD ，AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ，∴BG ⊥AD ． ∴BG ⊥平面EAD ，∴BG ⊥ED ． 又ED ∩EA ＝E ，∴BG ⊥平面ADF ． 由(Ⅰ) 知CH ∥BG ，∴CH ⊥平面ADE ．

由(Ⅱ) 知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE ．