概率论,统计物理及其它(严士健教授)

摘自北京师范大学新闻网http://news.bnu.edu.cn/News/1685.html

一  引  言

1. 概率论与随机过程是现代数学的一个重要学科．一方面，他有丰富的数学理论，与其他数学学科有深入的相互渗透．另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉．很多问题都可以归结为概率模型，应用概率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重要研究课题．粒子系统便是导源于统计物理的这样一个新的概率论分支．本文的目的就是希望从粒子系统的引入谈起，介绍它与统计物理、流体力学等学科的一些重要联系,稍微具体一些．然后浅谈一下数学与其他学科交叉的一些情况(第六部分), 只作一般介绍. 设想是向所有专业--特别是文科--的朋友提供一些材料, 了解数学对社会的作用, 从而在某些方面有助于提高对现代社会的认识. 作者深知这里涉及面广（特别是后一部分）而研究日新月异，自己的知识面和水平又十分有限，所介绍的内容以及提法肯定有很多不妥之处，望行家和读者批评指正．但是作者希望这一介绍能引起更多的读者、特别是青年的兴趣．如果他(她)们能从中了解一些信息，有所帮助，作者也就达到目的了．

二  随机场与平衡态统计物理、量子场论

2. 概率论与统计物理的联系可以上溯到19世纪统计物理建立之初．一个世纪以来，统计物理学中经常运用概率(统计物理中常用几率这一术语)的概念和方法，而数学家也常常探讨统计物理中的概率论问题. 但是似乎并没有从这两个学科的基础上进行联系, 这当然和两个学科的发展水平有关. 到了20 世纪 60 年代中期，苏联的 R.Dobrushin 用现代概率论的方法研究了 Ising 模型的相变问题．随后于 60 年代末, Dobrushin(1968)、O.Lanford 与 D.Ruelle(1969) 相互独立地提出了无穷粒子系统 的 Gibbs 随机场(或称 Gibbs 态，Gibbs 测度)．使得概率论与统计物理开始从基础上联系起来.

３．Gibbs随机场. 为了读者有更多的了解，我们以经典的 Ising 模型(即交互作用势为紧邻)为例, 较详细地介绍相变的研究．相变是统计物理的基本问题, 超导便是一种相变.

设系统中的粒子位于d维整数坐标的点(简称整点)组成的集合．d维 Ising 模型是对每一粒子，赋以两个状态 -1,1.在R.Dobrushin 以前讨论 Ising 模型的相变是先定义位于 d 维整点的有限粒子系统上的依赖于温度倒数β的 Gibbs 态(概率, 也是测度), 及其有限子集上的序参数, 然后让粒子系统扩展到所有 d 维整点集, 再取有限集上的序参数的极限得到 Ising模型的长程序参数 m(β).如果有一常数 β(c)>0 使得当 ββ(c)时,m(β)>0. 则称Ising 模型有相变.

R.Dobrushin的新办法是应用现代概率论定义所有 d 维整点上的粒子系统的Gibbs态(概率测度). 办法是: ①先给出上述的有限整点集上的如下的条件概率: 对任意给定一个位置 u,定义在不同于u 的位置上的粒子的状态都已经给定的条件下,位置u上状态的条件概率.②如果所有d维整点上的粒子系统的概率测度满足如下条件: 它对任意给定一个位置 u,在不同于u 的位置上的粒子的状态都已经给定的条件下,位置u上状态的条件概率等于①中的条件概率, 则称此概率为以β为参数的d 维(紧邻)Ising 模型的Gibbs测度(或Gibbs随机场,Gibbs态).

有了Gibbs测度, 就可以直接刻画相变, 而不必再依靠 Ising 模型的长程序参数. 对于以β为参数的d维 Ising 模型来说, 如果存在一个与d有关的常数β(c)>0,使得当ββ(c)时, 它的 Gibbs 侧度不唯一, 我们就说它具有相变(可以证明这个概念与上述的一致).     关于Ising 模型的相变有下面的著名成果和未解决的问题.

1°可以证明: 当d=1时, 以β为参数的 Ising 模型没有相变; 当d≧2 时, 以β为参数的 Ising 模型有相变.

2°当d=2时, 算出了β(c). 但是当d>2时, β(c)的值尚不知道, 这是一个没有解决的著名难题.

4.上面说明了用近代概率论的工具－Gibbs 测度如何刻画 Ising 模型的相变, 更值得注意的是这个概念可以大大推广. 由于形式的复杂, 我们不打算在这里介绍．但是应该指出它的基本思路与Ising模型的Gibbs测度一致. 关于它的数学定义, 可以参考《随机场》(北京师范大学出版社1982)．我们只限于介绍它的意义和作用．

一般的Gibbs测度的意义在于给出了一个使得大部分统计物理的平衡态模型都纳入其中的现代概率论框架．可以讨论变分原理．遍历性, 相对熵和比熵, 自由能和比能, 压力和温度, 相图, 相变以及亚稳态等等.参看“Gibbs measures and phase transitions” Parts Ⅲ,Ⅳ(Walter de Gruyter,1988). 在 Dobrushin晚年, 对与Gibbs 测度相关的问题进行了一系列深入的研究. 包括与概率大偏差理论结合(“Large and moderate devisions in Ising model”,载Adv. in Soviet Math.,vol 20(1994),91—219), Wulff 结构研究(“The Wulff construction: a global shape from local interaction” Transl.Math.Monog. vol.104, AMS 1992)等方面的工作, 我认为这些是值得深入分析的工作.

关于统计物理的临界现象的研究, 物理学家还认为有一大批临界指数存在, 并且这些临界指数之间存在一些关系--标度关系(scaling relation). 但是这些临界指数的存在性都没有证明, 只能看作是猜想. 这是一批很值得重视的难题(参看“Critical phenomena and universal exponents in statistical physics on Dyson's hierarchical model”,Ann.Prob.15(1987),431-477).

与Gibbs 测度有关的一个模型是渗流模型, 它是与 Gibbs 测度类似但要简单一些的一种随机场, 在物理和其它方面有一些应用. 它的研究也可以对 Gibbs 测度的研究起借鉴作用, 它同样存在相变现象和临界指数问题. 已经得到比 Gibbs 测度要深入一些的结果(参看 G. Grimmett“Percolation”（世界图书出版公司,1992）及该书所引文献). 还有一个有趣的结果就是可以证明: 对于渗流模型, 在假设临界指数存在的情况下, 某些标度关系成立.

5. 随机场与量子场论的联系. 周先银与 S. Albeverio 合作用格子点上的随机场逼近的方法构造了一种新的φ4 量子场.

对于 d=2,3,φ4场的存在性, 数学上、物理上已有很多讨论. 通常的办法就是对自由部分和交互作用部分用相同分划的相应黎曼和逼近其中的积分,从而用格子点上的随机场逼近连续型φ4 场.周先银和 S.Albeverio 问: 对自由部分和交互作用部分用不同尺度分划的黎曼和逼近其中的积分,是否能得到不同的连续型φ4量子场? 这个问题对研究φ4量子场的唯一性具有非常重要的意义. 他们发现并证明: 对于 d=2情形, 当两种分划的尺度相差到一定程度以后, 能够构造出新的不同于以往所构造出来的二维φ4量子场(参看Albeverio,周先银,“A new convergent lattice　approximation for the φ4(d=2)quantum fields”，Priprint,1995). 这是一个受到专家重视的结果. 他们稍早时候用此法构造出新的高分子测度.

周先银是我校也是我国的优秀的青年概率学家, 他应用概率论方法还得到

φ4量子场的一些其它结果. 他还深入研究了高分子测度,在构造Sierpinski 地毯上的布朗运动方面迈出了关键的第一步和获得第一个重要成果，首次研究了分形型流形上波的传播问题, 在无序系统(disorder system)的研究方面改进了Ya,Sinai, E.Bolthausen 等人的工作.

十分可惜的是, 周先银不幸于1996年英年早逝, 这是我国概率界的一大损失. 北京师大数学系正在筹备出版他的论文集, 我希望能够有青年学者继续他的研究工作.

三  无穷粒子马氏过程与统计物理

6. Gibbs 随机场是刻画平衡态统计系统的静态的无穷粒子系统模型. 作为静态系统来说, 应该是某种随时间演化的动态系统的平稳分布或“极限”. 因此紧接着 Gibbs 测度的提出, F.Spitzer 和R.Dobrushin独立地提出无穷粒子系统的动态模型--无穷粒子马氏过程(或称交互作用粒子系统). 我们从介绍R.Dobrushin提出的自旋系统开始.

自选系统. 现在假设系统位于所有d维整数坐标点(以后简称d维整点)上, 而每一点上的状态是0,1, 而不再是 -1,1.显然它们之间可以一对一转化, 这样做只是为了有利于讨论更多的问题. 用X(t)(t≥0)表示系统在时刻的组态(就是整个系统的状态), 即对每一d维整点u, 有一取值0,1的随机变量X(t,u), 而X(t)是所有X(t,u),u维d维整点, 的集合, 换句话说, X(t)是一个无穷维随机向量. 因而X(t), t≥0,是一个无穷维随机过程.

如果随机过程X(t),t≥0 在d维整点u 处的状态改变的概率速率(简称速度函数)由c(u,x)(其中u是d维整点,x是系统的组态)给出. 则称它是以c(u,x) 为速度函数的自旋过程. 自旋过程最为人知的例子是随机Ising模型,基本接触模型,选举模型(参看《无穷粒子马尔科夫过程引论》,北京师范大学出版社,1982,以下简记作[Ya]).

7. 随机 Ising 模型是经典 Ising 模型的动态模型的稍加推广.后者的速度函数通常写成

c(u,x):=exp{-βΣ|u-v|=1 (2xu-1)(2xv-1)}.

它的建立有利于研究 Ising 模型的更多性质.例如,R.Schonmann用它深入研究了(二维) Ising 模型的亚稳态(文章多数发表在90年代后期的 CMP 上).

基本接触模型的速度函数为

c(u,x)=1,  当xu=1;    =λΣ|v-u|=1 xv,   当xu=0,

其中 λ>0 为常数. 它等价于高能物理中 reggeon 自旋模型场论的一种简化.它有一些通俗直观有趣的解释. 第一是把它解释为传染病模型: 当xu=0时, 认为在u处的个体是“健康”的, 而当xu=1时, 则认为在u处的个体“生病”. 于是上式就可以解释成: 当u处的个体生病时, 治愈率是1; 而当u处的个体健康时, 被传染上疾病的概率速率与它的紧邻个体生病数成比例,比例常数为λ. 第二是将它解释为生死模型.

8. 随机 Ising 模型可以进一步推广. 在[Ya, 第二章]介绍了推广的办法, 即先定义速度函数有势, 再由势定义关于此势的 Gibbs 随机场(是Ising模型的推广). 可以证明: 自旋过程的速度函数有势的充要条件是自旋过程可逆; 此时关于势的 Gibbs 随机场与过程的可逆测度是一致的; 并且给出了判断过程的速度函数有势的十分简单的判别准则. 这个结论实际上就这种组态空间证明了物理学家的观点--“平衡等价与可逆”, 因而可以称这种有势过程为平衡系统. 接着自然会问: 所有的自旋过程都是平衡系统吗?  答案是否定的, 基本接触过程就是一个非平衡系统. 这说明无穷粒子马氏过程不但可作为平衡态统计物理的动态模型, 而且可作为非平衡统计物理的模型. 因此它不但增加了研究平衡系统的数学工具, 而且提出了研究非平衡统计物理的一个数学工具. 接着的重要问题是: 非平衡系统是否也有类似于相变的问题? 实际上是有的. 人们称之为非平衡相变或分岔. 它与过程是否遍历性研究密切相关. 这些问题对统计物理十分重要, 对数学也是深刻而受人重视的课题, 并得到广泛研究. 为了以后能更好地了解更复杂的情况, 下面将就自旋过程来介绍有关概念及发展概况.

9. 遍历的概念. 马氏过程的概率分布依赖于初始分布(即X(0)的概率分布). 如果随机过程X(t),t≥0的初始分布μ使得对每一t≥0, X(t)的概率分布都与μ相同, 则称μ为此过程的平稳分布(或不变测度). 对一般自旋过程来说, 遍历性研究主要是指弄清楚平稳分布集的结构, 进而找出收敛1到给定的平稳分布的那些初始分布. 过程遍历是指: 平稳分布唯一, 而且不论初始分布如何, 过程都(弱)收敛于此唯一的平稳分布. 以往过程遍历是马氏过程研究的一个基本问题, 无穷粒子马氏过程的研究则提出上述更一般的遍历性研究课题. 这种研究可以有如下的实际解释: 一个随时间演化的有空间分布的的随机系统, 例如一片自然森林群落, “最后”总会形成一种特定布局, 这就是平稳分布的一种原型, 我们需要找出各种特定布局就是弄清楚平稳分布集的结构, 以及形成那些特定布局的初始分布. 所以在理论上对遍历性问题研究的进展, 也许对更好地利用随时间而演化的过程有所帮助.

基本接触过程依赖于参数λ. 它类似于 Ising 模型存在相变: 即存在一个常数λc使得当λλc时, 至少有两个平稳分布2. 由于它是非平衡系统, 所以不称此现象为相变, 而称基本接触过程有分岔或非平衡相变, λc称为临界值. 类似地, 如果一个无穷粒子马氏过程依赖于一组参数, 如果存在这组参数的一个区域, 使得当参数值位于区域内时只有一个平稳分布, 当参数值位于区域外时, 有一个以上的平稳分布, 则称此无穷粒子马氏过程有分岔, 而上述区域称为临界域.

四  反应扩散模型与化学或生物反应

前面介绍的自旋过程在每个位置的状态只有两个: 0,1, 实际上有时需要考虑每个位置上有更一般的状态空间. 下面介绍以化学(生物)反应(生灭)为背景的反应扩散模型, 它是非平衡物理讨论的一些模型.

10. 模型的(简化)情景及概率模型. 假设我们所要讨论的粒子系统的粒子只有一种, 用X表示, 其余参与反应的物种用 A,B等其它字母表示,设想他们之间的反应在一空间区域 V中进行. 我们介绍模型时, 同样用X,A,B等表示相应物种的粒子. 反应扩散模型的演化由两种作用组成: 反应和扩散. 反应通常由几个反应组成, 例如 Schlogl 模型由四个反应组成. 粒子扩散(运动)如下刻画: 设想将区域V分划成一些形状和体积相同的小区域(例如正方体), 将这些小区域用字母u,v等表示, 粒子按一定规则在小区域之间运动. 假设所讨论的粒子系统满足以下三条规则:

(i) 对于小区域u中的几个粒子进行一次反应, 或小区域u中的一个粒子进入小区域v, 统一称之为系统发生了一次状态改变. 系统在同一瞬间发生一次以上的状态改变的概率速率为0;

(ii) 小区域u 中的几个特定粒子进行一次第j个反应的概率速率是λj;

(iii)小区域u中一个特定粒子进入小区域v的概率速率是p(u,v).

此外还假设每一u中的A,B粒子的个数不变, 其个数分别以a,b表示.

可以证明: 在上述假设 (i)--(iii) 下, 模型的整个系统的组态改变的概率速率由两部分组成: ① 反应部分: 在每一小区域 u中, 粒子数由k变到j的概率速率是: 当 |k-l| > 1 时, q(k,j)=0; 而当 k ≥ 0,j=k+1, 或  k ≥ 1,  j=k-1时, q(k,j) 一般是k的多项式. ② 运动(扩散)部分. 设小区域u中的粒子数为k, 则u中有一粒子移至v中的概率速率为kp(u,v).

上述模型只考虑一种粒子X的演化, 称为单物种模型, Schlogl 模型是单物种模型的一个典型例子. 相应地也可以考虑多物种模型. 一个经典的双物种生态模型便是 Volterra--Lotka 模型或称亚得里亚海模型(鱼类的生态模型).还有就是耗散结构中的三分子模型. 上面所列举的几个例子便是非平衡统计物理或耗散结构理论中的一些概率模型. 在文献中还提出了非线性 Master方程, 即平均场模型.文章《非平衡系统的概率模型及 Master 方程的建立》（物理学报，29(1980),139-152）对这些模型的假设和推导进行了整理和简化, 可以参考.

11. 有限维反应扩散模型与无限维反应扩散模型. 当小区域的个数有限时, 设为n, 则反应扩散模型就是n维Q-过程, “Multidimensioal Q-processes”(《数学年刊》7B(1986),90-110)对它首次进行了理论研究. 文中建议了一种将多维Q过程归结为一维Q过程研究的方法. 得到了单物种的常返性和遍历性,多物种的问题稍后也解决了.

由于物理学家相当普遍地认为 Schlogl 模型和三分子模型有分岔现象. 前面已经提到, 分岔现象应该是在参数的某一区域内, 模型的不变测度不唯一. 但是从概率论的理论知, 这只能在过程非遍历时才可能发生. 所以自然认为用有限粒子系统来刻画非平衡系统的分岔现象不恰当, 类比于平衡态相变的研究, 我们提出了无穷粒子反应扩散模型(或无穷维反应扩散过程)的研究课题. 对于这个对象的研究成果总结在专著“From Markov chains to non-equilibrium systems”(世界图书出版公司，1992)(以后简记作[Cm]中, 可以从该书了解直到九十年代的全面研究成果及有关文献. 在此只限于介绍几个有兴趣的结果.

关于单物种无穷维反应扩散过程, 遍历性的研究集中于多项式模型. 丁万鼎,T.Liggett, R.Durrett 证明了可逆情形的遍厉性, 并确定了唯一的平稳分布, 陈木法对非可逆情形得到了遍历的较宽的充分条件, 并证明: 当纯生速率足够大时, 过程遍历. 以后又就Schlogl模型估计了使系统遍历的纯生速率的更精确界. 郑小谷和丁万鼎对线性增长模型遍历性得到了比较完整的结论, 特别是得出了临界域. 郑小谷和李勇将定向渗流推广到多色的情形, 并由此首次得到了(非线性)无穷维反应扩散过程的一个(实质上至今是唯一的)非遍历结论. 在[Cm]中, 发表了R.Durrett 关于这个结果及证明的一个简化. [Cm,15.5]的最后一段, 还提出了当纯生速率大于零时关于过程遍历性态的有趣问题.

关于单物种的平均场(非线性master 方程). 郑小谷与冯水用鞅方法得到了解唯一和Schlogl 模型至少有三解的条件, 证明了有非平衡相变. 进一步得到了大数定律和大偏差的结果, 冯水还讨论了多物种的平均场, 得到比较完整的结果.

五  粒子系统的流体动力学极限与流体力学

12. 无穷粒子系统另一个重要的应用是它与近代力学的联系, 它是概率论与其他学科的另一种交叉.一些重要的力学模型, 如 Ginsburg-Landau 模型, 流体力学的Navier-Stokes方程, 多孔介质力学方程(porous media equation)等, 都是从建立偏微分方程来开始研究的. 而近年发展起来的流体动力学极限, 其特点是从微观的分子运动和碰撞的概率规律研究和解释这些模型的性质,相应的偏微分方程的解则成为微观模型的某种极限.“Large scale dynamics of interacting particles” (Springer-Verlag，1991)是一本偏重于物理的专著. “Hydrodynamic limit of interacting particle systems”(Spinger-Verlag,1998(?))是近期出版的一本数学专著,有参考价值.

13.流体动力学极限主要是围绕最简单的排它模型发展数学方法, 然后拓展到有关模型.

排它过程是F.Spitzer 最早提出的粒子系统模型. 这个过程除了速度函

数以外, 其它有关术语与自旋过程是一样的, 它的速度函数--c(u,v,x), u,v是d维整点, x是系统的组态--是一个非负函数, 它本质上表示在不同的位置 u,,v上, 位置u(或v)上的粒子移至位置v(或u)的概率速率,而且在每一位置上最多只有一个粒子(即排它命名的由来, 细节可参看[Ya]).因此它是描述分子运动的恰当数学工具. 成为研究流体动力学极限的最简单的模型.

近年来, 流体动力学极限的研究又有显著的进展. 主要是对于流体力学中的 Navier-Stokes 方程的流体动力学极限和相关的大偏差问题得到一些进一步结果. “Navier-Stokes equations for stochastic lattice gases”(Phys. Rev.E53(1996)4486-4489)陈述了其中一个主要结果. 我们下面只介绍有关模型,帮助读者了解其大概. 有兴趣可以查看原文.

14.首先介绍粒子系统的模型. 设粒子的位置集是三维整点集的一个子集

ΛN={x=(x1,x2,x3): -N≤xi≤N; i=1,2,3},

且具有边界条件(即认为 -N=N,这是数学的一个手法,就是让上述的‘正方形’的两边‘粘’起来，成为一个‘环’)．每一个粒子有一个速度v，设所有可能的速度组成的集合Ｖ有两种：

模型Ⅰ．V是沿每一坐标轴的正反方向的单位向量所组成的集合.

模型Ⅱ. V是(±1, ±1, ±ω),ω=√(1.5+√10), 的所有排列作成的集,

约定在每一位置x上, 具有速度v的粒子数不多于1个. 也就是说, 在每一位置上, 粒子可以多于一个, 但是速度各不相同. 粒子系统的运动由两部分组成:

(i)同一速度的粒子之间按排它性的非对称随机游动(即组成非对称排它过程), 即在x处速度为v的粒子只沿坐标方向转移一个单位--转移到x+e, e为沿坐标方向的单位向量---的概率速率为  p(e,v):=χ+e·v/2,其中e·v 为 e,v 的内积(标量积), χ为使得上述一切速率都大于零的正数.

(ii) 二元碰撞. 同一位置的两个粒子. 设在x处有速度为v,w的两个粒子以一定的概率速率碰撞, 碰撞后产生速度为v',w'的粒子, 则必需有碰撞前后的速度的和不变.

在以上的陈述中, 实际上已经假定粒子系统的动量守恒, 质量守恒. 因为每一粒子的质量假定是 1, 而粒子的总数不变, 所以质量守恒. 粒子游动时速度不变, 碰撞前后速度的和不变, 所以动量守恒.

对于上述的模型, 在满足一定的条件下, 如果给定不可压缩流体 Navier-Stokes 方程的光滑解, 则相应的经验场测度弱收敛于该光滑解

15.对于多孔介质力学方程(porous medium equation)  冯水等也建立了相应的模型和得到相应的流体动力学极限结论(参看“A macroscopic mechanism for the porous medium equation”（Stoc.Proc.Appl.，66(1997),147-182）.

流体动力学极限问题还有很多工作需要去做, 即令是流体力学问题还有很多没有解决. 又如, 从经验场的弱收敛来看, 反应扩散过程的流体动力学极限问题的研究也没有开展. 如果从更广泛的应用来看, 现在流体动力学极限还只是就一些具体例子进行研究, 如何建立一般的概率收敛理论是需要长期探讨的课题.

上面只是就我所了解的粒子系统与有关学科分支的互相渗透的情况作了一

些介绍, 即令是粒子系统来说, 也是远远不完全的, 很多重要的课题没有涉及.

例如, R.Dobrushin 和 E.Pechersky 以及一批俄罗斯学者对排队系统的大偏差理论, 戴建刚(Dai Jian Gang)以及一批美国学者对随机处理网络的研究. 在目前网络如此发展的时期, 这应该是有意义的课题.

六  浅谈数学与其他学科的交叉

16.至于谈到整个概率论以至数学与有关学科的交叉, 那更是一个非常广阔的领域. 于是我想就给我印象很深的某些典型例子, 转述给那些还没有听说过的读者. 这样也许对那些平常接触数学较少的读者会有好处.

二十世纪是科学技术飞速发展的时代,站在新世纪初看二十世纪, 我们的确感觉到科学技术使社会变了人间, 数学在科技推动社会进步方面, 起着从来没有的巨大作用.

二十世纪同样是数学的黄金时代, 经过一个世纪的洗礼, 它使自己的面貌焕然一新, 解决了三百多年没有解决的难题----费马大定理, Kepler 的球堆积猜想, 以及四色问题. 即令是没有解决的歌德巴赫问题, 也推进到 只差“一步之遥”. 其所以能够这样, 主要是对于数学的各个分支学科的内部结构以及它们之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的了解. 那些相互关联不断扩大和深化, 从而数学开始跨越自我以探索与其他学科领域之间的相互作用.

17.数学与其他学科领域之间的相互推动  在本世纪的确有很多令人叹为观止的例子. 首先是理论物理, 世纪初 Riemann 几何对广义相对论的建立, 起了关键作用. 量子力学与泛函分析的相互促进. 杨--Mills 场和微分几何中纤维从上的联络实际是一会事, 因而开辟了大范围微分几何在统一场论中的应用. 1981年以来兴起的超弦理论又成为物理与数学合作的活跃领域. 充分反映了理论物理与数学结下了不解之缘.

到了二十世纪, 生物学应用数学的情况有了极大的改变, 首先是本文四中所列举Volterra-Votka 模型(偏微分方程). 到了世纪中页DNA 的发现, 人们希望通过研究DNA长链的缠绕而了解它的活性, 这就使代数拓扑学中的纽结理论有了用武之地, 以后在计算双螺旋的``环绕数''方面取得了进展, 1984年, 代数拓扑学新的重要不变量--Jones 多项式的发现使生物学家有了对他们观察到的纽结进行分类的工具. 近年来, 对DNA 中的碱基对的排序以及基因图谱的读出, 同样是运用了统计学、组合数学等方面的成果. 可以预见, 新世纪生命科学研究的进展肯定离不开数学. 关于分子链的缠绕问题的研究, 在高分子化学和有关材料科学中也有需要.

18.数学与经济学的交叉也是令人鼓舞的. 二十世纪经济学研究的数学化对经济学产生巨大的影响. J.von Neumann 和O.Morgenstern的著作“博奕论与经济行为”(1944)提出竟争的数学模型并应用于经济问题, 成为现代数理经济学的开端. 到了五,六十年代, 由于G.Debreu(德布洛)的努力, 他以数学对一般经济均衡理论做出的贡献而获经济诺贝尔奖, 以至数学的公理化方法成为现代经济学研究的基本方法. 在数学与经济的结合方面值得称道的还有线性规划的建立, 它是由生产的调度组织管理的需要而产生的, 现在已经普遍用于经济活动分析的各个方面, 在数学学科上形成规划理论的重要组成部分--线性规划. 七十年代以后, 由于衍生经济的发展, F.Black 和 M.S.Scholes 应用随机分析的理论, 得到著名的期权定价公式, 它是数学在金融方面应用的一个突破. 在数学上也对一批学科带来极大的推动. 其它如保险业务, 证券经营等方面, 都广泛地应用着数学. 此外, 还形成了一们新的有关经济的数学学科--精算. 实际上, 从20 世纪 50 年代以来数学方法在西方经济学中占据了重要地位, 以至大部分诺贝尔经济奖都授予了与数理经济学有关的工作.

19.文、史、哲与数学的交叉．它们虽然不像经济、管理、商业等学科那样直接应用那么多数学，但是与数学的交叉却同样深刻和有悠久的历史, 而且东西方的情况很不相同. 在西方, 从古希腊起, 数学与哲学的关系一贯是紧密的. 数学家常常认为它们的思考具有哲学的特征, 很多思想家运用数学的思考方法来分析和认识周围的事物, 科学社会主义的创始人马克思对数学就很有修养, 他的不朽著作《资本论》可以认为是运用了数学的思维方式, 他从分析人们最常见的对象--商品出发, 运用严格论理的方法, 扩展到对整个资本主义的经济分析. 还有一个著名的例子就是美国独立宣言运用欧几里得几何体系来建立它的体系, 提出了“所有的人生来平等”的‘公理性’的政治主张. 由此演绎出宣言的各项主张的正义性. 中国古代数学虽然成就辉煌, 但是只是将它作为一种计算的工具应用于有关方面(例如历法, 建筑, 储运等), 没有将她上升为一种普遍使用的思维方式来看待. 这使得我国不仅在科学技术方面的发展最终落后了, 而且在人文科学某些方面的发展也最终落后了. 因此, 在我国现代化的进程中, 应该重视数学与人文科学的交叉作用，重视数学在思维方面的作用. 这是一项重要的而长期的任务.　在这里我想借用一位西方学者的一段话, 来说明数学与人文科学交叉的极端重要性. 他说:“我们讲数学不只是．．．而是要让人们知道, 如果不从数学在西方思想史上所起的重要作用方面了解它, 就不可能完全理解人文科学, 自然科学, 人的所有创造和人类世界”.

另一方面, 由于现代科技的发展, 看来人文科学从技术层面与数学的交叉正在出现端倪. 而且其发展的前景和重要性未可预料. 例如, 有人用数学方法的方法考古(例如研究苏格兰北部的巨石阵的作用), 有人用来研究在红学研究中热门问题: 红楼梦的前八十回于后四十回是否出于同一作者之手? 也有人用于古文字学. 实际上, 由于数字化趋势的迅猛发展, 计算机技术应用的范围日益广大, 数学对文科的应用, 肯定会大大地发展, 例如, 计算机日益需要处理有关各种类型的文字, 语音的识别问题, 这就需要用数学方法研究人类的自然语言. 可以相信--事实上已经有人在---建立数理语言学及有关研究是重要的.

20.与高新技术的交叉．在信息时代, 数学与高新技术的交叉是特别值得重视的, 现实的情况是: 人们容易看到和称赞计算机及其软件, 高新技术的作用, 忽视或甚至不知道数学在其中的关键作用. 如果长期不注重数学在这方面的作用, 就会使我们的人才普遍缺乏良好的数学修养, 从而使我国的高新技术和计算机技术队伍在发明核心技术方面, 处于一种尾随或依赖外人的情况. 实际上现在所谓的高技术, 数学大都--特别是在核心技术中--占据关键地位. 上面提到的解读基因图谱就是这样， 现在已经广泛应用的 CT 和核磁共振也是这样．和它(反问题)相近的是, 通过一些钻探取得的岩心或地震勘探取得的地质资料, 来确定矿体. 一些传统的工业, 也由于数学和计算机技术的结合的应用, 改变了面貌或取得巨大的进步. 例如机床行业, 由一般机床发展成程控机床, 进而发展成集成制造技术. 我国在这方面起步并不算晚, 但是由于对数学的应用没有重视, 以至落后. 又如飞机制造行业, 由于在飞机制造的各个阶段, 象飞机机形的确定, 风洞试验用计算机试验代替, 直至维修策略的制定都应用了数学, 使得飞机从设想到定型的周期大大缩短, 实现了全面的革新. 有些新兴行业出现了新的问题, 例如信息技术(包括计算机技术)的核心是计算软件和硬件设计问题, 实际上算法的建立是这里面的核心. 所以信息技术的赶超在很大程度上是创造和建立新的好算法, 这就需要数学的深度参与. 又如信息安全问题. 其中有密码的编制与破译问题, 抗干扰和干扰问题等等. 在这里数学成为解决问题的很重要的现代工具. 就连计算机的发明, 关键也在于数学的思想. 良好的数学思维习惯以及逻辑训练同样是提高编程和使用计算机的效率的关键.反过来, 在这些问题的研究过程中, 也向数学提出了需要研究的重要数学问题(例如 NP=P问题)和新的数学研究方向. 这方面不再赘述, 有兴趣的读者可参看《数学史教程》(高教出版社--斯普林格,2000).

从这些对有关现代数学与其他学科的交叉的简单的介绍, 已足以使我们看到: 数学的作用的进一步发挥, 将促进我国现代化的进程, 提高我国现代化的质量. 我衷心祝愿我们大家都会为此从不同的方面不懈地努力.

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