关于高阶等差数列
高阶等差数列的通项及前n 项和
大石中学 李浩威
我们先来看一个数列：1,3,6,10,15,21，……，显然这既不是我们所熟悉的等差数列，也不是等比数列，下面我们就要探讨这类特殊的数列．如果我们依次计算这个数列前后两项的差，则可得到：2，3，4，5，6，……，而这个数列恰好就是一个等差数列．
定义1 等于数列{a n }，称∆a n =a n +1-a n 为{a n }的一阶差分，{∆a n }为数列
{a n }的一阶差分数列．
数列{∆a n }的一阶差分∆2a n =∆a n +1-∆a n 称为{a n }的二阶差分，{∆2a n }为{a n }的二阶差分数列．
数列{∆2a n }的一阶差分∆3a n =∆2a n +1-∆2a n 称为{a n }的三阶差分，{∆3a n }为
{a n }的二阶差分数列．
依次类推，对于正整数k ，∆k a n =∆k -1a n +1-∆k -1a n 称为{a n }的k 阶差分，
{∆k a n }为{a n }的k 阶差分数列．并且约定：∆0a n =a n ，∆1a n =∆a n ．
定义2 对于数列{a n }，若有正整数k ，使{∆k a n }是非零常数列，则称{a n }为
k 阶等差数列．当k ≥2时，k 阶等差数列称为高阶等差数列，常数列称为零阶等
差数列．
显然，一般的等差数列（常数列除外）是一阶等差数列，而我们上面介绍的数列{1,3,6,10,15,21，……}是一个二阶等差数列．
高阶等差数列虽然较一般等差数列复杂，但它的通项公式和前n 项和（也是可以求出的，利用数学归纳法可以证明得到下面定理．
定理1 数列{a n }是k 阶等差数列当且仅当a n 是关于n 的k 次多项式，且
0122k k
a n =C n -1a 1+C n -1∆a 1+C n -1∆a 1+ +C n -1∆a 1．
定理2 若{a n }是k 阶等差数列，则它的前n 项和S n 是一个k +1阶等差数列，
且
1232k +1k
S n =C n a 1+C n ∆a 1+C n ∆a 1+ +C n ∆a 1．
注：上述公式中，∆a n 、∆2a n 、∆3a n 、……、∆k a n 分别是{a n }一阶、二阶、
m
三阶、……、k 阶差分，C n =
n (n -1) (n -m +1)
，m =0,1, 2, k ．
m (m -1) 2 1
求高阶等差数列的通项以及前n 项和的方法大致可分为两类：一类是叠加法，其思想主要是基于恒等式a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1；另一类是待定系数法，其主要思想是基于定理1和定理2，在求出阶数的情况下，假设出通项a n 及前n 项和S n 的多项式，用待定系数法求解．下面我们用例子看看高阶等差数列的通项以及前n 项和的求法．
例1 已知a n =(n +1)(n +2)(n +3) ，求数列{a n }的前n 项和S n ．
解法一：显然该数列的通项是n 的3次多项式，由定理1知{a n }是三阶等差数列．又a 1=24，∆a 1=36，∆2a 1=24，∆3a 1=6，由定理2，
123243
S n =C n a 1+C n ∆a 1+C n ∆a 1+C n ∆a 1
=n 24+
n (n -1) n (n -1)(n -2) n (n -1)(n -2)(n -3)
36+ 24+ 6 2 13 2 14 3 2 1
n (n +5)(n 2+5n +10)
=．
4
解法二：构造辅助数列{u n }，令u n =n (n +1)(n +2)(n +3) ，则
∆u n =u n +1-u n =(n +1)(n +2)(n +3)(n +4) -n (n +1)(n +2)(n +3)
=4(n +1)(n +2)(n +3)
=4a n ，
所以S n =
∆u 1+∆u 2+∆u 3+ +∆u n
4
u -u +u -u +u -u + +u n +1-u n =213243
4
u n +1-u 1
4
(n +1)(n +2)(n +3)(n +4) -24=
4=
n (n +5)(n 2+5n +10) =．
4
解法三：由定理1和定理2可知，{a n }是三阶等差数列，{S n }是四阶等差数列
，
假
设
S n =
t +
1
t 2+n 2
3
计t +3n ，+t n 算4
可t 得n ：
S 1=24, S 2=84, S 3=204, S 4=414, S 5=750，代入S n =t 0+t 1n +t 2n 2+t 3n 3+t 4n 4并求解线性方程组可得
t 0=0, t 1=
5035101
, t 2=, t 3=, t 4=， 4444
n (n +5)(n 2+5n +10)
即S n =．
4