微分中值定理的应用.1pdf
第!)卷
信阳农业高等专科学校学报Y=FGB45=>J6BK4BL*LG6IF5
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微分中值定理的应用
张娅莉!,吴
(!$信阳职业技术学院数学与计算机科学系,河南信阳%&%’’’;#$信阳建筑工程质量监督站,河南信阳%&%’’’)
摘
了几种构建辅助函数证明题的方法。
关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;辅助函数
中图分类号:*
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得((>T)W(>4))(L!)U((LT)W(L4))>V(!)。
证明:令X(S)U((>T)W(>4))(LS)W((LT)W由条件知函数X(S)闭区间[4,T]上连续,在(4,T)内可导。
且X(4)U(>T)(L4)W(>4)(LT)UX(T)根据罗尔定理,在(4,T)内至少存在在点!,使得XV(!)U((>T)W(>4))LV(!)W(L(T)WL
定理的基本方法是广泛使用辅助函数,本文就如何在(L4))(>S)
!
罗尔中值定理
上连续,在(4,T)内可导,且在区间端点处的函数值(4))>V(!)U’
相等,即(>4)U(>T),那么至少存在一点!$(4,T),即有((>T)W(>4))(L!)U((LT)W(L4))>V(!)使>V(!)U’。
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
(4,T),使>V(!)U。
(LS)则在(4,T)内至少存在一点!,使得TW4&’,(>T)W(>4)>V(!)
U。
(LT)W(L4)LV(!)如下结论:
推论:如果函数(>S)、L(S)在闭区间[4,T]上连续,在(4,T)内可导,则在(4,T)内至少存在一点!,使
收稿日期:#’’&W!#W!’
作者简介:张娅莉(!-))W),女,河南信阳人,讲师,华中师范大学数学与统计学院硕士研究生$
#
果,从而构建出适当的辅助函数,再验证相关的条件
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来证明。
如果去掉条件%S$(4,T),有L(S)则得到89:;一些题目可直接从结论出发,分析要证明的结&’,
例!:设函数(>S)在闭区间[4,T]上连续,在(4,
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张娅莉,等:微分中值定理的应用
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例3:(
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代入上式可得.*#.*-*%#*-&(-%!).!-,结论得证。*%-#*-!
一个端点处值为零,且要证明的等式中含有任意的自
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#730利用中值定理证明方程根的存在性例8:设($*)在[(,-]上可导,且(/($*)/-,又对于((,-)内的所有点*有$’(*)&%-证明方程
$*)5*%-&(在((,-)内有唯一的实根。证明:先证存在性
令#(*)&($*)5*%-,则#(*)在[(,-]上可导,
因为(/($*)/-,所以#(()&($()%-/(,#
(-)&($-),(且中值定理知#(*)在((,-)内至少有一个零
点,即方程($*)5*%-&(在((,-)内至少有一个实根。
再证唯一性用反证法,设方程($*)5*%-&(在((,-)内有两个实根*-,*#,不妨设(/($*)/-,有($*-)&-%*-,($*#)&-%*#9对($*)在[*-,*#]上由拉格朗日中值定理,有!(!
**($*#)%($*-)-%*#%(-%*-)-,#)使$’(!)&**&#%-*#%*-&%-这与假设($*)&%-矛盾,唯一性得证。参考文献:
-]0华东师范大学数学系9数学分析(上)[:]9北京:高等教育出版
社,-;;-9#]0赵香兰9巧用微分中值定理[
(#):=8%==93]0王希超9拉格朗日中值定理的巧用[%#3?9
(编辑:夏新奎)
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微分中值定理的应用
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
张娅莉, 吴炜, ZHANG Ya-li, WU Wei
张娅莉,ZHANG Ya-li(信阳职业技术学院,数学与计算机科学系,河南,信阳464000), 吴炜,WU Wei(信阳建筑工程质量监督站,河南,信阳464000)信阳农业高等专科学校学报
JOURNAL OF XINYANG AGRICUL TURAL COLLEGE2007,17(1)0次
参考文献(3条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 1991
2.赵香兰 巧用微分中值定理[期刊论文]-大同职业技术学院学报 2004(02)
3.王希超 拉格朗日中值定理的巧用[期刊论文]-山东大学学报(自然科学版) 2002(02)
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下载时间:2010年8月9日