用最优化方法解决现实生活中的问题

用最优化方法解决现实生活中的问题

李婷婷

红河学院 数学学院13级 云南蒙自661100

摘要:数学与我们日常生活息息相关, 如何在数学中奖数学最优化问题有效的结合到生活实际中, 是当今社会最热门话题. 本文将针对数学最优化问题进行浅谈, 并通过举例论证来探讨其在生活中的应用.

关键字:数学; 最优化问题; 现实生活; 应用

数学是一门很有用的学科。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事” 如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt 三角形有关知识的应用。 因此我们的研究性课题是数学在生活中的运用，希望通过这次小研究，提高我们的数学能力，能够在生活中自觉地运用数学知识。结合高中知识：函数、不等式、数列等方面，我们上网查了资料相关资料，并结合自身生活实际思考，整理归纳如下。

第一部分 函数的应用

我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。

一、一元一次函数的应用

一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。

例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。

过年这几天和家人上街购物，商家纷纷采取各种优惠措施，我就运用自己的数学函数知识精打细算了一次。

我去“好日子”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我

不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 我在纸上写道：

设某顾客买茶杯x 只，付款y 元，(x>3且x ∈N) ，则

用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;

用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.

接着比较y1y2的相对大小.

设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.

然后便要进行讨论：

当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;

当d=0时，x=24;

当d

综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.

可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！

二、一元二次函数的应用

在企业进行诸如建筑、饲养、造林绿化、产品制造及其他大规模生产时， 其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景。他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题。常用方法有：求函数最值、某单调区间上最值及某自变量对应的函数值。

某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，果园橙子总产量为y 个。

（1）请写出y 与x 之间的关系式；

（2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 解：（1）由题意得：y=（600-5x ）（100+x）=-5x2+100x+6000。

（2）由y=-5x2+100x+6000得

当x=-b/2a=10时，

Ymax=（4ac-b2）/2a=60500

所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。

三、三角函数的应用

三角函数的应用极其广泛，最简的也是最常见的一类——锐角三角函数的应用：“山林绿化”问题。在山林绿化中， 须在山坡上等距离植树，且山坡上两树之间的距离投影到平地上须同平地树木间距保持一致。（如左图）因此，林业人员在植树前，要计算出山坡上两树之间的距离。这便要用到锐角三角函数的知识。

A 如图，一条河宽km ，两岸各有一座城市

A 和B ，A 与B 的直线距离是4km ，今需铺设一条C D B

电缆连A 与B ，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为AD +DB 时费用最少，因为河宽AC 为定值，为了表示AD 和BD 的长，不妨设∠CAD =θ.

（0

∴总费用为

4

-2sin θ+cos θy =4 secθ－2tan θ+=

问题转化为求u =4-2sin θ的最小值及相应的θ值，cos θ

sin θ-2（0，2）（cos θ,sin θ）而u =－2∙表示点P 与点Q cos θ

1（0

π切于点Q 时，u

取到最小值。此时K PQ =，∴

u min = θ=。 即水下6

电缆应从距B 城（－

23+2（万元）。 3）km 处向A 城铺设，图三因此此时总费用达最小值3

注：本题在求u 的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

第二部分 数列的应用

在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。

（一）按揭货款中的数列问题

随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。

若贷款数额a0元, 贷款月利率为p, 还款方式每月等额还本付息a 元. 设第n 月还款后的本金为an, 那么有:

a1=a0(1+p)-a,

a2=a1(1+p)-a,

a3=a2(1+p)-a,

......

an+1=an(1+p)-a,.........................(*)

将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.

由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。

第三部分 导数的运用

例 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) ．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率) ．

(1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．

解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr2) 元．

又根据题意得200πrh ＋160πr2＝12 000π，

1所以h ＝－4r2) ， 5r

π从而V(r)＝πr2h ＝－4r3) ． 5

因为r>0，又由h>0可得3，故函数V(r)的定义域为(0，5 3) ．

π(2)因为V(r)＝－4r3) ， 5

π所以V′(r)＝－12r2) ． 5

令V′(r)＝0，解得r1＝5(舍去r2＝－5) ．

当r∈(0，5) 时，V′(r)>0，故V(r)在区间(0，5) 上为增函数；

当r∈(5，5 3) 时，V ′(r)

即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．

变式题 受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y

51x x 2万元与投入x 万元之间满足y ＝－ax －ln ，且∈[1，＋∞)．当x ＝50102x －12

10时，y ＝9.2.

(1)求y ＝f(x)的解析式和投入x 的取值范围；

(2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．

51解：(1)因为当x ＝10时，y ＝9.2，即×10－a×102－ln 1＝9.2，解得a 50

151x2x ＝. 所以f(x)＝－ln 1005010010

x 因为≥1，所以6

即投入x 的取值范围是(6，12]．

51x 1x2－51x ＋50(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－－＝－＝－5050x 50x

（x －1）（x －50）. 50x

令f′(x)＝0，得x ＝50(x＝1舍去) ．

当x∈(1，50) 时，f′(x)>0，且f(x)在区间(1，50) 上连续，因此f(x)在区间(1，50) 上是增函数，于是f(x)在区间(6，12]上是增函数，所以当x ＝12时，f(x)取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值． 第四部分 研究总结

这次研究运用数学知识解决实际问题给我们带来了许多发现和思考的愉快，这也正验证了苏霍姆林斯基所说的：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者 、研究者、探索者。”这也正是研究性学习的意义所在。 这次研究性学习也有不足之处，能在数学老师指导下，学习一些

大学深入研究的数学应用知识，可以更好的拓宽知识面，加深理解。