两个生物种群竞争的模型分析
第26卷 第6期2006年 12月
农业与技术
Agriculture&T echnology V ol 126 N o 16
Dec. 2006
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两个生物种群竞争的模型分析
王喜平
(河南省南阳理工学院应用数学系, 河南南阳473000)
【摘 要】本文建立讨论了生存在同一环境中的两个生物种群受有限资源限制而生存竞争的数学模型。
【关键词】生物种群; 竞争; 模型分析 中图分类号:Q332文献标识码:C 为简单起见, 假定生存在同一环境范围内相互影响的种群只有N 1和N 2两个, 它们的关系大体可以分为三种情形。第一, 种群N 1的发展以种群N 2的牺牲为代价; 第二, 种群N 1和种群N 2互惠共生; 第三, 种群N 1和种群N 2互相产生负影响。
这里只谈第三种情形——
—针对的全部或者部分资源两个种群产生竞争。
, 会有:
(
) dt
=g (N 1,N 2) dt
令=0dt 0dt
1--=0
1m N 2m -=0
N 1m N 2m
在平面ON 1N 2上做出直线:
+=1, N 1m N 2m L 2:+=1。
N 1m N 2m
如果直线L 1和L 2在第一象限内没有交点, L 1:
若N 2=0, 属于模型的特殊情形, 此时种群N 1将服从劳基斯模型:
=rN 11-dt N 将出现情形1(图1) 或情形2(图2) 。
若N 1=0, 同样有种群N 2将服从劳基斯模型:=rN 21-dt N 容易想到, 当N 1和N 2都不是0时, 增长率会存在不同程度的交叉影响。因此:
=rN 11--dt N 1m N 2m =rN 21--dt N 1m N 图1
这个微分方程组就可以作为两个种群竞争的数学模型, 其中c 1>0, c 2>0。三个和三个以上种群竞争的问题, 也可以构造出类似的模型。只是求问题解的难度会加大。
借鉴于捕鱼模型的解决办法, 我们不去寻求微分方程组的解, 而是直接研究N 1和N 2的稳定点。
图2
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(1) 在图1中, 对于介于直线L 1和L 2之间的
图3的情形3或者如图4的情形4。
任意点(N 1,N 2) , 必有
+1。N 1m N 2m N 1m N 2m
由此可得:1-->0和1--
N 1m N 2m N 1m N 2m
代入原方程组
=rN 11--dt N 1m N 2m =rN 21--dt N 1m N >0,
直线L 1和L 2之间的任意点(N 1,N 2) 随时间的变化
图3
可以知道,
趋势为N 1增大、N 2减小, 直至达到稳定平衡点(N 1m ,0) 。
+N 1m
N 2m
4
) 3中, 1如果点(N 1,N 2) 位于直线L 1上方, >1且
。在各部分区域内, 、负正、正正、正负。dt
+>1, 所以
(N 1,N 2) , 如果点(N 1,N 2) 在区域Ⅱ或Ⅳ, 点(N 1,N 2) 的变化趋势会指向稳定点(0, N 2m ) 和(N 1m , 0) ; 如果点(N 1,N 2) 在区域Ⅰ或Ⅲ内, 其变化趋势指向直线L 1和L 2, 最终达到稳定平衡点(N 1m , 0) 或(0, N 2m ) 。可见, 点(N 1,N 2) 一旦偏离了A 点, 将会逐
(0) 点(N 12, 结论也相同。(2) 在图中, 对于介于直线L 1和L 2之间的
任意点(N 1,N 2) , 必有
+>1和+
0。这说明, 介于dt dt
直线L 1和L 2之间的任意点(N 1,N 2) 随时间的变化
渐趋向稳定平衡点(N 1m , 0) 或(0, N 2m ) 。因此, 点A 是不稳定平衡点。
(4) 在图4中, 直线L 1和L 2也把第一象限分
与(1) 同理可知
成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ共四个部分。在各部分区域内, 和的符号分别为负负、正负、正正、负正。dt dt
趋势是N 1减小、N 2增大, 直至达到稳定平衡点(0, N 2m ) 。
当点(N 1,N 2) 位于直线L 1下方或L 2上方时, 仍然趋向于稳定平衡点(0, N 2m ) 。
除了(1) 、(2) 两种情况以外, 直线L 1和L 2
也可能在第一象限内相交, 解得交点坐标,
A
,
1-c 1c 21-c 1c 2
如果点(N 1,N 2) 在区域Ⅱ或Ⅳ, 其变化趋势指向稳定点A ; 如果点(N 1,N 2) 在区域Ⅰ或Ⅲ内, 其变化趋势指向直线L 1和L 2, 最终仍然达到稳定点A 。可见, 点(N 1,N 2) 即便是偏离了A 点, 也会逐渐趋向平衡点A 。因此, 点A 是稳定平衡点。
综合以上四种情况, 只有情形(4) 才会维持两个种群的稳定并存。其它情形一旦发生, 就会导致两个种群之一发生灭顶之灾。
当直线L 1和L 2在第一象限内相交时, 会出现如