抽象函数问题及解法

抽象函数问题及解法

原创/O客

本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。

如果一个关于函数f (x ) 的题目，已知f (x ) 的性质及f (x ) 满足的关系式，求证f (x ) 的其他性质， 题目做完了，我们还不知道f (x ) 的具体的解析式，这就是抽象函数问题.

一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.

解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.

（1）函数性质法.

函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.

（2）特殊化法.

特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x 换成-x 或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.

（3）模型函数法.

模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种： ①满足关系式

f (x +y )=f (x )+f (y ) （ⅰ）

的函数f (x ) 是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f (x )=kx (k ≠0).

事实上，f (x +y )=k (x +y )=kx +ky =f (x )+f (y ).

令x =y =0，得f (0)=0，故f (x ) 的图象必过原点.

令y =-x ，得0=f (0)=f (x )+f (-x ) ，即f (-x )=-f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数.

命题（ⅰ）可以推广为f (x +y )=f (x )+f (y )+b (b 是常数），其模型函数为一次函数f (x )=kx -b (k ≠0).

②满足关系式

f (x +y )=f (x ) f (y ) （ⅱ）

的函数f (x ) 是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f (x )=a x (a >0，a ≠1）. 事实上，f (x +y )=a x +y =a x ·a y =f (x ) f (y ).

令x =y =0，得f (0)=1，故曲线f (x ) 必过点(0，1).

命题（ⅱ）等价于f (x -y )=

③满足关系式

f (xy )=f (x )+f (y ) (x ，y ∈R +) （ⅲ）

的函数f (x ) 是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f (x )=loga x (a >0，a ≠1）. 令x =y =1，得f (1)=0，故曲线f (x ) 必过点(1，0). f (x ) f (y )

x 命题（ⅲ）等价于f ( )=f (x )-f (y ) (x ，y ∈R +) . y

④满足关系式

f (xy )=f (x ) f (y )

的函数f (x ) 是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f (x )=x n .

⑤满足关系式

f (x +y )= f(x )+f(y ) 1- f (x ) f(y )

的函数f (x ) 是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f (x )=tanx .

需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.

我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.

例如（2008·重庆），若定义域在R 上的函数f (x ) 满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1，则下列说法一定正确的是（ ）

A. f (x ) 为奇函数 B. f (x ) 为偶函数 C. f (x )+1为奇函数 D. f (x )+1为偶函数

这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f (x )=kx -1(k ≠0），易知选C.

如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g (x )=f (x )+1的奇偶性”. 那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g (x ) 是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g (-x )+g (x )=0，即f (-x )+f (x )+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f (0)的值，再用x ，-x 进行代换，进而得到g (-x ) 与g (x ) 的关系式. 于是解答如下.

g (x ) 是奇函数. 证明如下：

令x 1=x 2=0，有f (0)=f (0)+f (0)+1，得f (0)=-1.

再令x 1=x ，x 2=-x ，有f (0)=f (x )+f (-x )+1，即f (-x )+f (x )+2=0，

从而g (-x )+g (x )= f (-x )+f (x )+2=0，

所以函数g (x ) 是奇函数.

1. 与单调性相关的问题

例1 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意x ，y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y ) ，且当x >0时，f (x )

解析 联想模型函数f (x )=kx (k ≠0) ，猜想“f (x ) 是奇函数，且为减函数”.

设m

因为当x >0时，f (x )0，所以f (n -m )

即f (n )

根据最值定理，f (x ) 在[-3，3]上的最大值为f (-3)，最小值为f (3).

因为f (1)=-2，所以f (2)=f (1+1)=2f (1)=-4，f (3)=f (2)+f (1)=-6.

又令x =y =0，得f (0)=f (0+0)=f (0)+f (0)，故f (0)=0，

再令x =1，y =-1，得0=f (0)=f (1)+f (-1)，故f (-1)=2，

f (-3)=f (-2)+f (-1)=3f (-1)=6.

所以f (x ) 在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.

点评 我们可以举出具有这种性质的一个函数y =-2x （x ∈[-3，3]）. 此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f (-3)的值. 由0=f (0)=f (x -x )=f (x )+f (-x ) ，得f (-x )=-f (x ) ，故f (x ) 是奇函数. 因此 f (n)-f (m )=f (n)+f (-m )=f (n-m )

注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.

1例2 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-)=0，2

1当x >-f (x )>0. 求证f (x ) 是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 2

11解 设m >n ，则m -n >0，m -n ->-， 22

所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )

11=f (m -n )+f )-1=f (m -n -)>0，即f (m )>f (n ). 22

从而f (x ) 为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.

例3 已知函数f (x ) 的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y ) ，当x >1时，f (x )>0.

（1）求f (1)，并证明f (x ) 在定义域上是增函数；

11（2）如果f ，求满足f (x )-f () ≥2的x 的取值范围. 3x -2

解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.

设0

n n n n f (n ) - f (m )= f (m ) - f (m )= [f ()+f (m )] - f (m )= f ()>0 (因为 m m m m

即f (m )

111（2）由f (1)=0， f (1)=f (x )=f ()+f (x ) ，得f ()=-f (x ). x x x

1有f (f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 3

有f (x )-f (1)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2)) ， x -2

所以原不等式可化为f (x (x -2)) ≥f (9)，于是

x >0，

x -2>0， 解得x ≥10.

x (x -2) ≥9.

从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.

点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.

此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log3x .

2. 与奇偶性相关的问题

例4（2002·北京）已知f (x ) 是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x ) 的奇偶性.

解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.

令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.

f (x ) 为奇函数，证明如下.

令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，

又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).

所以f (x ) 为奇函数.

点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b ) 而得结论.

例5（2009·全国）函数f (x ) 的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1) 都是奇函数，则（ ）

A. f (x ) 是偶函数 B. f (x ) 是奇函数 C. f (x )=f (x +2) D. f (x +3)是奇函数

解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①

由f (x -1) 是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1) ， ②

在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x ) ，

在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x ) ，

所以f (2-x )= f (-2-x ) ，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x ) ，知4为f (x ) 的周期.

于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，

所以f (x +3)是奇函数，可知选D.

点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cos

πx f (x 2

还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x ) ，即f (-x +1)=-f (x +1).

此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t ) ，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x ) 的定义域.

例6（2014•全国）已知偶函数f (x ) 在[0，+∞) 上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .

解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).

因为f (x ) 是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，

因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).

又f (x ) 在[0，+∞) 上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞) ，

所以|x -1|

综上可知，x 的取值范围是(-1，3).

例7（2015•全国）设函数f ´(x ) 是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )0成立的x 的取值范围是( )

A. (-∞，-1) ∪(0，1) B. (-1，0) ∪(1，+∞)

C. (-∞，-1) ∪(-1，0) D. (0，1) ∪(1，+∞)

解析 因为f (x ) 是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，

对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得

[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x ) •(-x )´=-f ´(x ) ，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.

因为当x >0时，xf ´(x )

故当x 0，-xf ´(-x )

-xf ´(x ) f (x ) (x

由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )

因此，f (x ) 在(-∞，0) 上是减函数，又f (-1)=0，

所以x 0，即f (x )> f (-1)，解得x

由奇偶性与单调性的关系知，

f (x ) 在(0，+∞) 上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，

πx 来解此选择题，可知选D. 事实上2

所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0

综上可知，选A.

评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x ) ，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.

f (x ) xf ´(x )-f (x ) （2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=，得g ´(x )=. 当x >0时，x x g ´(x )0，

即g (x )>g (1),解得00)”时，可以

f(x ) 考虑构造辅助函数g (x )=xf ´(x )+f (x )0)”时，可以考虑构造辅助函数 x

h (x )=xf (x ).

（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：

-x +1，x >0，

f (x 0， x =0， -x -1， x

图1

3. 与周期性相关的问题

例8（2001·全国）设f (x ) 是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任

111意x 1，x 2∈[0]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1) f (x 2) ，且f (1)=a >0. 求f () ，f () ，并证明f (x ) 是周期函224

数.

111111解 由题设得a =f (1)=f ()=f (f (，即f a 2. [1**********]1a = f ()=f (f () f () ，即f ()=a 4. 24444412

因为f (x ) 是偶函数，所以f (-x )= f (x ) ，

又f (x ) 图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x ) ，

用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x ) ，

于是f (2+x )=f (x ) ，所以f (x ) 是周期函数.

例9 设函数f (x ) 定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x ) 是周期函数，并找出它的一个周期.

解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，

所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，

两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).

因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).

所以，f (x ) 是周期函数，它的一个周期是6.

点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x ) ，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=

±1f (x +4)=f (x ) 等. f(x )

例10（2011·上海）设g (x ) 是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x ) 在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x ) 在区间[-10，10]上的值域.

解 由g (x +1)=g (x ) ，知g (x +n )=g (x ) ，n ∈Z .

所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .

因为x ∈[3，4]时，f (x ) ∈[-2，5]，

故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，

有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x ) ∈[-15，-8].

当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x ) ∈[-14，-7].

„„

当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，

从而f (x -6) ∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x ) ∈[4，11].

综上，当x ∈[-10，10]时，有

f (x ) ∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪„∪[4，11]=[-15，11].

所以f (x ) 值域为[-15，11].

4. f (x )=af (x +b ) 的问题

关于已知f (x ) 所满足的方程求f (x ) 的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x ) 满足关系式f (x )=af (x +b ) ，求解与f (x ) 相关的问题.

例11（2010·广东）已知函数f (x ) 对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x ) 在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).

（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；

（2）写出f (x ) 在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x ) 在[-3，3]上的单调性.

解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2) ，

13故f (1)=-1，f (. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k

1113所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f ()=- 2k 24k

（2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2) ，

设-2≤x

所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).

设-3≤x

11所以f (x )=f (x -2)=x -2)(x -4). k k

k 2(x +2)(x +4)，-3≤x

x (x -2) ， 0≤x ≤2， 1 x -2)(x -4) ， 2

因为k

数. （图2）

例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x ) 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x ) 成立.

（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；

（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，

因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .

（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，

y =a x ， x 有解，消去y 得a =x ， 所以方程组 y =x

显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .

于是对于f (x )=a x 有

f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x ) ，

所以f (x )=a x ∈M .