缓和复曲线大地坐标计算的数学模型
/,移槭壤建设
[文章编号]1672-7045(2008)08-0089-02
缓和复曲线大地坐标计算昀
00@o
摘要:测量手册上缓和复曲线大地坐标计算的公式相当繁杂,比较难以掌握且费时费力,不适合在施工现场使用。本文提出的缓和复曲线大地坐标计算的数学模型,可以沿同向和不同方向进行曲线段路线的计算,作业量小比较容易掌握。
关键词:缓和复曲线大地坐标计算公式数学模型[中图分类号]U412.2[文献标识码]A
现代高等级公路常以“曲线为主”的思路进行路线勘探设计,最终以路线坐标参数形式表示平面设计结果。作为施工企业,就是要把设计者的思路通过具体的工程施工原原本本地表现出来。由于缓和复曲线(或称卵形曲线)的线型关系比较复杂,或者坐标精度的差异等,有可能会导致路线工程质量的重大问题,因此,对曲线路线段的精确控制是十分重要和必要的。然而,招标设计文件一般只提供曲线的起点、主点坐标及过该点切线的方位角、分段弧长,这些是远远满足不了施工放样的需要的,施工测量人员必须要依据有限的数据分别计算出曲线段上每5m(10m)的坐标。本文试图着眼于缓和复曲线的全局,本着实用、从简的原则给出一个人地坐标计算的数学模型,即使在野外利用程序性计算器亦可以做到;只需简单输入放样点的桩号,不论曲线如何变化,都可以快速得到放样点的大地坐标。
从上面的论述可知,不论哪种缓和曲线,都是可以分解成上述三种基本线型或其组合曲线。只要拟合出基本曲线的数学模型,在利用程序计算器求解时定义好数据结构,组成结构数组或者链表描述整条曲线的要素,做到数据的适时交换和相互调用,即可自动求出缓和复曲线上任意一点放样坐标。本文总的思路是先由设计文件上给出的缓和曲线起点至半径为00的弧长,求出缓和曲线上任一点至半径为*的弧长,进而对上述三种缓和曲线采用本文提出的数学模型计算出曲线上任意一点的夫地坐标。
大地坐标计算模型缩略图如图1所示,曲线在切线的右侧(曲线右
三种线型组成的:①从半径为*到半径为一个确定值尼的第一缓和曲线;②在两个半径不等(尺。R。)的复曲线中插人的缓和曲线或圆曲线;③从半径为尺。渐变到半径为*的第二缓和曲线。我国公路、铁路线型设计的缓和曲线一般是由半径p=*,曲率K=O的直线过渡到曲线段,随着曲线的增长,曲率半径逐渐变化到圆曲线的曲率半径鼻,_1/R。即缓和曲线上任意一点的曲率半径P与该点至曲线起点的弧长成反比,表述为式(1):
l--A2/p
(1)
式中:P为曲线上任一点的曲率半径;z为曲线上任一点至曲线起点(半径p=*)的弧长;A2为曲线参数。
2缓和曲线计算数学模型
1缓和复曲线的种类及基本特征
缓和复曲线(或称卵形曲线)是一种由多种曲率半径的圆曲线和缓和曲线组成的极其复杂的曲线,一般有双旁插、单旁插、无旁插等几种线型。由于其线型极其复杂、规律性不易被人们认识以至在设计中会出现较大的连接误差,本文的计算基础是假设曲线的设计是完美无缺的,不考虑设计误差。
不论何种复杂的缓和复曲线,归纳起来都是由以下
偏),勘。>p,。
设曲线起点A的坐标为(‰弘),过起点A和
曲线上任意一点i的切线与算
轴的夹角分别为a。和a。两切
万方数据
憾吣嘴.1.÷一
尸移城辘.积
线间的夹角那(顺时针为正,逆时针为负)起点半径为
P。,桩号为厶,曲线上任意一点的半径为P。,桩号为zH,由图中点位关系得式(2)
蠢#磁×cosw--d/x
穰广过曲线越点A的切线AT坐标方位角;Z广曲线起点A至M(p=oo)的弧长,为曲线上任意
一点i至点肘(p=00)的弧长;
对予是的计算方法又可;;乏根据缓秘复基线的线型避行分类:
(1)在第一缓和曲线中,缓和曲线的起点即为半径*的点(ZH或HZ点),所以f0-o,z,=厶一厶,此时有P。>p。。
(2)在第二缓和髓线中,缓和曲线的起点为YH(HY)点,半径势*静点是flZ(ZH)点,妒。<尹,掰以鑫:£程-£。,踣蠡一(点。—如)。
(3)在复曲线中捕入缓和曲线时(YH-HY)间,当Po》P,,P。距半径为*点的弧长lo=A2/a。,则有fl≈。十(厶-Lo)。擞P。<p,时,是、!{的计算方法与第二缓和熊线的厶、z。计算方法裰淹。
在公式(8)中Ⅳ黼正负号的确定:po>鼽时无论曲线左偏还是右偏均取正号;po<p,时取负号。
层前正负号的确定:无论p。是否犬于p。,纵坐标并的簌蘑一律右穰取受号,左镶取正号;横坐标Y的E裁一箨右编取歪号,左倘取负号。3
&--d/×sln蒯。sin(唧》;
令a锹棚,则有
,2
。
cos(g秘)
1
《2》
…喊。8(邢)…s(时参一百L"0)
一时崇,xo。s去一妇t一善,嗉
‘
(3)
…㈣。8m。s孝一mm鲁
si孵Si拶×cos音+c08孙sin丢
将式(4)、式(5)代人式(2)则有
(4)(5)
矧(一r×cos面2t—sinr×si毒)
d,--dr(sinr
x
c。s面2i+c08r×stn丢)
将三角函数用级数展开并代入式(6)中,再积分即求得曲线方程掰:如式(7)所示
结束语
坟上透过方程线性化,将缓纛复鼗线大缝垒标计算
~眩耕票+蒜】cosp(婴6,4~黑336,4+上422黑40/1)stnL∥皤耕等+去≥】sinr
…‘
一(导一芸+一r'-r。o)336,442240A…F
、
2
6。
方程简化为简单的线性方程从而适仓程序性计算器计算。现实工作中,只袋定义好数据结构,组成合理、唯一的结构数组或者链表描述整条曲线的要素,利用程序计
《7)
算器求解耐,傲到模块闻数据的适时交换和相互调用,就能自动求毒缓秘笺戆线上饪意一点放样坐标。该谨算方法曾在多条公路的路线及匝道施工放样中广泛使用,方便、快捷、高效,计算成果满足施工精度要求,在工程实践中的应用效果明显,希望本文的计算方法和思路熊给广大测绘露行提供参考穗磐鉴。
m,。1…'
、6A2
6
为了方便表示,令
N=(I,-Z0)一百lSl-150+{斋,
艮望!墨一上兰上十
醚2
33为矗6
参考文献
【1】JTJ071-1998,公路工程质量检验评定标准【s】.【2】李贵乐.工程测量学【M】.北京:测绘出版社,
1984.
望i墨
4224泓”
张。+Nc08Ms抽r1;
y=yo+Nsin弘鬯cosTJ
则曲线方程式(7)简化为式(8)
(8)
【3】张坤宜。同向缓和复蝎线数学模型的探讨【J】.公路,1999,(09):21-26.
(撵者蕈位:育皆带畚工程有飘留訇,广置甯守
530011)
式中,T=a铷当po>p,时,士苁/2A2夔线右偏取负号,左偏取歪号;po<p:时,与既剩穰爱。
万方数据
哂.缎t:鼻。
缓和复曲线大地坐标计算的数学模型
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
文艺屏
南宁市政工程有限公司,广西,南宁,530011广西城镇建设
CITIES AND TOWNS CONSTRUCTION IN GUANGXI2008(8)
参考文献(3条)
1. JTJ 071-1998.公路工程质量检验评定标准2. 李青乐 工程测量学 1984
3. 张坤宜 同向缓和复曲线数学模型的探讨 1999(09)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxczjs200808037.aspx