浅谈伯努利双纽线
浅谈伯努利双纽线
——肖佳曦4018 张寒希4002
摘要：关于伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为lemniscate ，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业领域也得到了广泛应用，在欧洲，伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。
关键词:伯努利双纽线，卡西尼卵形线，四次代数曲线，
引言：伯努利双纽线是一个特殊的曲线，它是多种曲线的特殊情况，这就意味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用，因此对于伯努利双曲线的探讨显得尤为重要和迫切。在计算机高速发展的今天，我们可以采用“数形结合”的方法对曲线的演变过程进行观察和探究。本文通过对伯努利双纽线由来及性质的探究，提出数学研究需要发散思维的观点。在雅各布·伯努利的著作《猜度术》一书中，提出了关于伯努利双纽线的许多应用。
模型的建立：在数学中, 伯努利双纽线是由平面直角坐标系中的以下方程定义的平面代数曲线:(x 2 + y 2) 2 = 2a 2(x 2 − y 2) 。
伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示: ρ^2=a^2*cos2θ
在双极坐标系, 伯努利双纽线的方程也类似:rr ’=a^2/2
伯努利双纽线是卡西尼卵形线，双纽线和正弦螺线的特殊情况，是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。
卡西尼卵形线是这样的曲线:设点M 到两个定点F1与F2的距离的乘积是个常量，即
点M 的几何轨迹叫做卡西尼卵形线。 设，取所在直线为极轴，线段F1F2的中点O 为极点，则可推出卵形线的极坐标方程为：
而当时，所对应的曲线即伯努利双纽线（图1）所对应的方程为：
图（1）
通过对回转抛物面与圆柱面相交的研究得出交线的水平投影曲线
(式1）(如图2) 为四次代数曲线——Perseus 座曲线的结论。其形状特征及其变化规律取决于参数P,R 和h 之值，当h=R,P=2h时，为其特殊情况伯努利双纽线（如图3）
图（2）
图
(3)
伯努利双纽线的作图方法：根据已知参数R.h, 先定出其公共焦点
F 1(2h,0),F2(-2h,0)及曲线上最左，最右A 1,A 2的位置——曲线（4）与x 轴的交点。当R=h时，有A 1(8^1/2h,0),A2(-8^1/2h,0)如曲线（4）所示，过点A 1任作射线，A 1L 交圆于N 1，N 2, 则有ON 1=ON2=2h，现以焦点F 1F 2为圆心，分别以R 1=A1N 1,R 2=A1N 2, 为半径画弧交于点M ，则交点M 属于曲线（4）, 连续转动射线A 1L ，则点M 画出的轨迹为本曲线族。根据圆幂定理可知：A 1N 1*A1N 2=A1F 1*A1F 2=定值，根据作图已知，MF 1=A1N 1,MF 2=A1N 2, 于是MF 1*MF2=A1N 1*A1N 2=A1F 1*A1F 2=定值。
根据圆幂定理，该定值应等于d^2-r^2,其中r 为圆的半径，d 为定点A 1到圆心的距离。
根据本作图有r=OF1=2h,d=OA1=[4h(h+R)]^1/2,于是，d^2-r^2=a^2=4hR，则a=2(hR)^1/2。
同时也可作如下证明定出a 值:设动点M 的坐标为M （x,y ）, 常数为a^2.根据MF 1*MF2=定值=a^2,则有
经整理得
很显然上式应与式(1)完全相等。对照式(1)可得:a=2(hR)^1/2与上述结果完全一致于是就得出了本曲线(4)的几何作图方法
.
曲线（4）
模型的性质：在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线y=±x 的结点和拐点。从伯努利双纽线上任何一点M 到给定的两点F 1F 2的距离之积，等于F 1F 2之间的距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉伯数字8或者无穷大的符号∞。
伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为:
k=±3(x^2+y^2)^1/2*a^-2
伯努利双纽线的曲率半径为r=2a^2/3ρ每个回线围成的面积为s=a^2 正负号取决于描绘曲线时所取的方向。伯努利双纽线的曲率有一个有趣的性质：其每一点上的曲率的绝对值与此点到原点的距离成正比关系。
应用：
（1）在纺织中的应用：伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用，用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。
（2）在增压器中的应用：伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。
（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。
结论：伯努利双纽线作为卡西尼卵形线，双纽线和正弦螺线的特殊情况，同时又是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。它在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位，对于伯努利双纽线的研究有助于我们更好地研究其他相关曲线，达到触类旁通的效果。伯努利双纽线在轻工业和科技方面都得到广泛而恰到好处的应用，因此，对于伯努利双纽线的研究是很有现实意义的。 参考文献：
1．维基百科
2．数学辞典
3. 王叙贵. 《多卵线与多纽线——卡西尼卵形线与伯努利双纽线的推广》. 昆明:昆明师范高等专科学校学报 2001,23(4):34～36 CN53- 1131/G4 ISSN 1008–7958
4. 周良德. 《关于回转抛物面与圆柱面相交的研究》. 湖南：湘潭大学机械工程学院工程图学学报 2000年第三期