二次函数(二)--图像性质
二次函数(
——二次函数的图像与解析式
一、 知识点回顾
1. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图像五要素
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ⑵ ⑶ (4) . 3. 五点法画函数图像 1) 、若与x 轴有交点
写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点,以及图像与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图; 2) 、若与x 轴无交点
写出函数图像的顶点、与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点,其他一组关于图象对称轴的对称点
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4. y =ax 2+bx +c 图像与系数关系
1) a 决定抛物线的开口
当a>0时, 抛物线的开口向上;
当a0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上 c=0 抛物线经过原点
c
b 异号对称轴在y 轴 的右侧(简称“左同右异”)。 两点关于对称轴对称 抛物线上纵坐标相同 4) b 2-4ac :决定抛物线与x 轴的交点 b 2-4ac ﹥0,抛物线与x 轴有两个交点
b 2-4ac=0,抛物线与x 轴有且只有一个公共点; b 2-4ac ﹤0,抛物线与x 轴没有交点。
5) a +b +c 与a -b +c 的符号:a +b +c 是抛物线y =ax 2+bx +c 上点(1. ,a +b +c )的纵坐标;a -b +c 是抛物线y =ax 2+bx +c 上点(-1. ,a -b +c )的纵坐标; 5. 抛物线关系式的求法
1、 已知抛物线任意三点,三对x 、y 值,用一般式 2、 已知抛物线顶点坐标、对称轴,用顶点式 3、 已知抛物线的与x 轴的两个交点,用交点式 考点1 【y =ax +bx +c 的图像五要素】
1-1【图像】二次函数y=(x +1)-1的图象是下图中的( )
1-2【最值】如图所示的抛物线:当x =_____时,y =0;当x 0时, y _____0;当x 在_____范围内时,y >0;当x =_____时,y 有最大值
_____.
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2
2
1-3【增减性】小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上,依横坐标找到三点(-1,y 1) ,(y 2) , (-3
1,2
1
,y 3) ,则你认为y 1,y 2,y 3的大小关系应为 2
A. y 1>y 2>y 3 B. y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 1 练习1
1. 任给一些不同的实数n ,得到不同的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状都相同;④都有最低点,其中判断正确的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2当m =_____时,抛物线y =mx 2+2(m +2)x +m +3的对称轴是y 轴;当m =_____时,图象与y 轴交点的纵坐标是1;当m =_____时,函数的最小值是-2. 3若二次函数y =x 2-2x +c 图象的顶点在x 轴上,则c 等于
A. -1
B.1
C.
1
2
D.2
4. 二次函数y =x 2+px +q中,若p+q=0,则它的图象必经过下列四点中
A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(1,1) 5. 物体在地球的引力作用下做自由下落运动,它的运动规律可以表示为:s =
12
gt . 其中s 表2
示自某一高度下落的距离,t 表示下落的时间,g 是重力加速度. 若某一物体从一固定高度自由下落,其运动过程中下落的距离s 和时间t 函数图象大致为
A
B
C
D
6.已知二次函数y=
12
x -2x +1 2
(1)求此函数图象的顶点A 以及它与y 轴交点B 的坐标。 (2)求此函数图象与x 轴的交点C 和D 的坐标; (3)求S BCD
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考点2【二次函数五点法的画法】
2通过配方,确定抛物线y=-2x +4x +6的开口方向,对称轴和顶点坐标,再描点画图。
练习2
1.函数y =mx 2+x -2m (m 是常数) ,图象与x 轴的交点有____个. 2.已知二次函数y=x-2(m -1)x +m -2m -3的图象与函数y=-x +6x 的图象交于y 轴上一点,则m=
3. 若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2所示,请写出一个符合图像规律的二次函数解析式 ____ _.
考点3 【y =ax 2+bx +c 图像与系数关系】
3-1【图像的分布】10. 函数y =ax +b 的图象经过一、二、三象限,则二次函数y =ax 2+bx 的大致图象是
2
2
2
2
3-2. 【确定系数的取值范围】二次函数y =(3-m ) x 2-2mx -m 的图象如图所示,则m 的取值范围是
A. m >0 B. m
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2
练习3
1. 已知抛物线y =ax 2+bx +c ,其中a 0,c >0,则抛物线的开口方向______;抛物线与x 轴的交点是在原点的______;抛物线的对称轴在y 轴的______. 2. 若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图,则点(a +b ,ac ) 在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数y=ax+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则a +b +c 0。(填“>”、“<”、“=”)
4.抛物线y=ax+bx +c (a ≠0)的对称轴是x=2,且经过点P (3,0),则a +b +c 的值为( )
A .-1 B.0 C.1 D.2 考点4 【配方法求二次函数的顶点式】 4-1【求顶点式】. 函数y =
2
2
12
x +2x +1写成y =a (x -h) 2+k 的形式是 2
111A. y =(x -1) 2+2 B. y =(x -1) 2+
22211C. y =(x -1) 2-3 D. y =(x +2)2-1
22
D. 四
4-2【求顶点】. 抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第_____象限 A. 一 B. 二 C. 三 4-3【求最值】抛物线y=
12
x -6x +21有最大值吗?若有请求出,若无请说明理由。 2
练习4
1. 不论m 取任何实数,抛物线y =a (x +m ) 2+m (a ≠0) 的顶点都
A. 在y =x 直线上 B. 在直线y =-x 上 C. 在x 轴上 D. 在y 轴上
2. 二次函数y =mx 2+2x +m -4m 2的图象过原点,则此抛物线的顶点坐标是______. 3. 已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2-1的最小值是0,则k 的值是
A.
3
4
B. -
3
4
2
C.
5 4
D. -
5 4
4.将下列函数化成y=a(x -h )+k 的形式,并指出其顶点坐标和对称轴; (1)y=x-2x +3 (2)y=-x -6x +5
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2
5.以P (-2,-6)为顶点的二次函数是( ) A .y=5(x +2)+6 B.y=5(x -2)+6 C.y=5(x +2)-6 D.y=5(x -2)-6
考点5 【二次函数的平移变换】 5-1. 抛物线y =
2
2
2
2
12
x 向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线表达式是 21111A. y =(x +3)2-2 B. y =(x -3) 2+2 C. y =(x -3) 2-2 D. y =(x +3)2+2
2222
2
5-2抛物线y=-x -6x +5向下平移2各单位,向右平移3个单位,所得抛物线的表达式是 A .y=-x -6 B. y=-x -6x +5 C. y=-x +24 D. y=-x -12x +5 5-3抛物线y =-3(x -1) 2向上平移k 个单位,所得的抛物线与x 轴交于点A (x 1,0) ,B (x 2,0) ,若x 12+x 22=
练习5
1.将函数y=2x 的图象向右平移一个单位,再向上平移3个单位,得到的图象解析式是( )
A .y=2(x -1)-3 B.y=2(x +1)+3 C.y=2(x -1)+3 D.y=2(x +1) 2.抛物线y=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
26
,请你求出k 的值. 9
1122
(x +2)-1是则函数y=x +4x +19的图象先向上平移b 个单位,再44
向左平移a 个单位得到的,则a 、b 的值分别为( )
A .a=4,b=6 B.a=6,b=4 C.a=2,b=-1 D.无法确定 3.函数y=-x +bx +c 的图象最高点是(1,-4),则b 、c 的值分别是( ) A .2,5 B.-2,-5 C.-2,5 D.2,-5
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考点6【抛物线关系式的求法】
6-1. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(-2,3) ,且过(-1,5) ,则抛物线的表达式为______. 6-2. 二次函数y =x 2+kx +1与y =x 2-x -k 的图象有一个公共点在x 轴上,则k =______.
6-3. 19.(10分) 如图6是把一个抛物线形桥拱,量得两个数据,画在纸上的情形. 小明说只要建立适当的坐标系,就能求出此抛物线的表达式. 你认为他的说法正确吗?如果不正确,请说明理由;如果正确,请你帮小明求出该抛物线的表达式.
随堂练习6
1. 如图的抛物线关于x 轴对称的抛物线的表达式为______
2. 已知抛物线y=ax+bx +c 经过点(1,2)与(-1,4),则a +c
的值是
3. 请写出一个二次函数,此二次函数具备顶点在x 轴上,且过点(0,1) 两个条件,并说明你的理由.
2
三、精题精练
1.下列抛物线中,对称轴是x=3的是( )
A .y=-3x B .y=x+6x C .y=2x+12x -1 D.y=2x-12x +1 2.将抛物线y=2x向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其表达式为( ) A .y=2(x +1)+3 B.y=2(x -1)-3 C .y=2(x +1)-3 D.y=2(x -1)+3
3.图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A .h=m B.k=n C.k >n D.h >0,k >0
4.一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=ax+bx +c 运行,图象如图所
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示,有下列结论: ①a <-
77②-<a <0③a +b +c <0④0<b <-4a ,其中正确的是( ) 8080
k 2
中,当x >0时,y 随x 的增大而增大,则二次函数y=kx+2kx 的x
A .①② B .②④ C.①④ D.③④ 5.在反比例函数y=图象大致是( )
6.已知二次函数y=ax+bx +c 的图象与x 轴交于(x 1,0)、(x 2,0)两点,且0<x 1<1,1<x 2<2,与y 轴交于点(0,-2),下列结论:①2a +b >1;②3a +b >0;③a +b <2;④a <-1,其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图为二次函数y=ax+bx +c 的图象,则一次函数y=ax+b 的图象不经过( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.二次函数y=ax+bx +c 和一次函数y=ax+b 在同一坐标系中的图象可以是( )
9.若a <0,b >0,c <0,则抛物线y=ax+bx +c 的大致图象为( )
10.如图,坐标系中抛物线是函数y=ax+bx +c 的图象,则下列式子能成立的是( ) A .abc >0 B.a +b +c <0 C.b <a +c D.2c <3b 二、填空题(3*6)
11.已知抛物线y=5x+(m -4)x +1-m 的顶点在y 轴的正半轴上,则m 的值为 12.抛物线y=(k -2)x +7x +(k -5)的图象与x 轴只有一个交点,则k =
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13.抛物线y=ax+bx +c 如图所示,则它关于y 轴的抛物线的表达式是 14.抛物线y=3x+bx +c 的顶点坐标为(
2
2
2
2
,0),则b = ,c = 3
15.已知抛物线y=ax+x +c 与x 轴交点的横坐标为-1,则a +c =
16.若二次函数y=ax+bx +c 的图象如图所示,那么a 0,b 0,c 0(填“>”“<”或“=”) 三、主观题
17.(6分)抛物线y =-x +(m -2)x +3(m -1)经过点(3,0) (1)求这条抛物线的顶点坐标; (2)画出其大致图象。
18.(6分)已知二次函数y=ax+bx +c 的图象开口向上,且经过(0,-1)和(3,5)两点,图象的顶点到x 轴的距离等于3,求这个函数的表达式。
19.(7分) 已知二次函数y=ax+bx +c 的图象经过A (0,1),B (2,-1)两点 (1)求b 和c 的值 (2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图象上
20.(7分)根据二次函数y=ax+bx +c 的图象,在下列条件下,分别求出a 、b 、c 的取值范围。
(1)关于y 轴对称 (2)函数图象顶点在x 轴上;
(3)顶点在原点; (4)与x 轴有两个交点,并且分别在原点两侧。
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21.(8分)已知直线y=-x +2与x 轴交于A 点,与y 轴交于B 点,一抛物线经过A 、B 两点且其对称轴为x =2,求
(1)这条抛物线的解析式; (2)这条抛物线的顶点坐标;
(3)这条抛物线与x 轴和y 轴的交点及原点为顶点坐标的三角形的面积。
22.(8分) 有这样一道题:“已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象过P (1,-4) ,且有c =-3a ,„„求证这个二次函数的图象必过定点A (-1,0). ”题中“„„”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗?若能,请求出;若不能,请说明理由. (2)请你根据已有信息,在原题“„„”处添上一个适当的条件,把原题补充完整.
23(10分)如图3,直线AB 过x 轴上的点A (2,0) ,且与抛物线y =ax 2相交于B 、C 两点,B 点坐标为(1,1).
(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式;
(2)在抛物线上是否存在一点D ,使得S △OAD =S △OBC ,若不存在,说明理由;若存在,请求出点D 的坐标,与同伴交流.
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