导数的应用练习题及详解

一、导数应用

1． 单调区间：一般地，设函数

y =f (x ) 在某个区间可导，如果f ' (x ) >0，则f (x ) 为增函数； 如果f ' (x )

减函数；如果在某区间内恒有2．极点与极值：

f ' (x ) =0，则f (x ) 为常数；

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 二、导数应用的细节

1、导数与函数的单调性的关系

㈠

f '(x ) >0与f (x ) 为增函数的关系。

f '(x ) >0能推出f (x ) 为增函数，但反之不一定。如函数f (x ) =x 3在(-∞, +∞) 上单调递增，但f '(x ) ≥0，∴f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分不必要条件。

㈡

f '(x ) ≠0时，f '(x ) >0与f (x ) 为增函数的关系。

f '(x ) =0的根作为分界点，因为规定f '(x ) ≠0，即抠去了分界点，此时f (x ) 为增函数，就一定有f '(x ) >0。∴当

若将

f '(x ) ≠0时，f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分必要条件。

㈢

f '(x ) ≥0与f (x ) 为增函数的关系。

f (x ) 为增函数，一定可以推出f '(x ) ≥0，但反之不一定，因为f '(x ) ≥0，即为f '(x ) >0或f '(x ) =0。当函数在某个区间

内恒有

f '(x ) =0，则f (x ) 为常数，函数不具有单调性。∴f '(x ) ≥0是f (x ) 为增函数的必要不充分条件。

y =f (x )

㈣单调区间的求解过程，已知（1）分析

y =f (x ) 的定义域; （2）求导数 y '=f '(x )

f '(x ) >0，解集在定义域内的部分为增区间 f '(x )

（3）解不等式（4）解不等式

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数

y =f (x ) 在某个区间内可导。

2、求极值、求最值。

用导数判别f (x 0) 是极大、极小值的思路: 若x 0满足是极值，并且如果负右正”，则x 0是

且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，f (x 0) f '(x 0) =0，

f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极大值；如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左f (x ) 的极小值点，f (x 0)

1．设f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x ) 为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 C ．b ＝0，c >0 [答案] D

[解析] ∵a >0，f (x ) 为增函数， ∴f ′(x ) ＝3ax 2＋2bx ＋c >0恒成立，

∴Δ＝(2b ) 2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac

2．(2014·广东，8) 函数f (x ) ＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) C ．(1,4) [答案] D

[解析] 考查导数的简单应用．

f ′(x ) ＝(x －3) ′e x ＋(x －3)(ex ) ′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.

3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) 上任一点(x 0，f (x 0)) 处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1) 2，则该函数的单调递减区间为( ) A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，2]

B ．(0,3) D ．(2，＋∞)

B ．b >0，c >0 D ．b 2－3ac

C ．(－∞，－1) 和(1,2) [答案] B

D ．[2，＋∞)

[解析] 令k ≤0得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y ＝xf ′(x ) 的图象如图(1)所示(其中f ′(x ) 是函数f (x ) 的导函数) ，下面四个图象中，y ＝f (x ) 的图象大致是( )

[答案] C

[解析] 当0

∴f ′(x )

当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x ) 在(1，＋∞) 上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C. 5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )

ππππππππ

－π，－和⎛0， B. ⎛－，0⎫和⎛0， C. ⎛－π，－和⎛π⎫ D. ⎛－0⎫和⎛π⎫ A. ⎛2⎝22⎝2⎭⎝⎝2⎭⎝2⎝⎝2⎭⎝2⎭[答案] A

π

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

2

π

cos x 0， 当00，∴y ′＝x cos x

>0.

2

6．对于R 上可导的任意函数f (x ) ，若满足(x －1) f ′(x ) ≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)

[解析] 由(x －1) f ′(x ) ≥0得f (x ) 在[1，＋∞) 上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x ) 恒为常数， 故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.

1

7．已知y ＝x 3＋bx 2＋(b ＋2) x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．

3[答案] b 2

[解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2) ≤0，∴－1≤b ≤2， 由题意b ＜－1或b ＞2.

8．已知函数f (x ) ＝ax －ln x ，若f (x ) ＞1在区间(1，＋∞) 内恒成立，实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥1

1＋ln x

[解析] 由已知a ＞在区间(1，＋∞) 内恒成立．

x 1＋ln x ln x

设g (x ) g ′(x ) ＝－0 (x ＞1) ，

x x 1＋ln x

∴g (x ) (1，＋∞) 内单调递减，

x ∴g (x ) ＜g (1)， ∵g (1)＝1， ∴

1＋ln x

1在区间(1，＋∞) 内恒成立， x

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

∴a ≥1.

9．设函数f (x ) ＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11) ． (1)求a 、b 的值；

(2)讨论函数f (x ) 的单调性．

[解析] (1)求导得f ′(x ) ＝3x 2－6ax ＋3b .

由于f (x ) 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11) ，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，

⎧⎪1－3a ＋3b ＝－11即⎨，解得a ＝1，b ＝－3. ⎪3－6a ＋3b ＝－12⎩

(2)由a ＝1，b ＝－3得

f ′(x ) ＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3) ．

令f ′(x )>0，解得x 3；又令f ′(x )

当x ∈(3，＋∞) 时，f (x ) 也是增函数；当x ∈(－1,3) 时，f (x ) 是减函数．

10. f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是

3

2

(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f '(x ) =3x 2-6x =3x (x -2) ，令f '()（2舍去），当－1≤x 0，当0

32

11. 若f(x)=x＋3ax ＋3(a＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ _。

答案: a>2或a

12．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时，tan x =

333，f(X)在tanx=时取得最大值，即填。 444

32

13设函数f (x )=x +bx +cx (x ∈R ) ，已知g (x ) =f (x ) -f '(x ) 是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求g (x ) 的单调区间与极值。

思路分析：先求出f '(x ) , 再利用奇函数定义即可求出b,c 的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及

解答：f′（X ）=3cosx－4sinx=0 tanx=极值

解析：（Ⅰ）∵f (x )=x 3+bx 2+cx ，∴f '(x )=3x 2+2bx +c 。从而

所以g (0)=0得g (x ) =f (x ) -f '(x ) =x 3+bx 2+cx -(3x 2+2bx +c ) ＝x 3+(b -3) x 2+(c -2b ) x -c 是一个奇函数，c =0，由奇函数定义得b =3；

322

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x ) =x -6x ，从而g '(x ) =3x -6，令g '(x ) =3x -6=0

，解得x =

g '(x ) =3x 2-6>0, 解得x >

x

函数g (x

) 的单调递增区间是(-∞,

和+∞

) ；单调递减区间是(； 进而得g (x

) 在x =

g (x

) 在x =

14设a 为实数, 函数f (x ) =x

2

解：(I)f '(x )=3x －2x －1

若f '(x ) =0，则x ==－

3

-。

-x 2-x +a . 求f (x ) 的极值.

1

，x =1 3

当x 变化时，f '(x ) ，f (x ) 变化情况如下表：

+a ，极小值是f (1)=a -1 ∴f (x ) 的极大值是f (-) =

327

15已知a 为实数，f (x ) =(x 2-4)(x -a )

（1）若f '(-1) =0，求f (x ) 在[－2，2] 上的最大值和最小值；

思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有f '(x ) ≥0, 从而得到关于a 的不等式。 解: (Ⅰ)由原式得f (x ) =x -ax -4x +4a , ∴f '(x ) =3x -2ax -4.

23

2

1122

, 此时有f (x ) =(x -4)(x -), f '(x ) =3x -x -4. 224

由f

'(-1) =0得x =或x=－1 ,

3

当x 在[-2,2]变化时，f '(x ), f (x ) 的变化如下表

由f '(-1) =0 得a =

f (x ) 4509

极小=f (3) =-27, f (x ) 极大=f (-1) =2

, 又f (-2) =0, f (2)=0,

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为950

2

, 最小值为-27. 16已知函数f (x ) =x 3-ax 2+bx +c 的图象为曲线E .

(Ⅰ) 若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求a , b 的关系； (Ⅱ) 说明函数f (x ) 可以在x =-1和x =3时取得极值，并求此时a , b 的值； (Ⅲ) 在满足(2)的条件下，f (x )

解：(1) f '(x ) =3x 2-2a x +b , 设切点为P (x 0, y 0) , 则曲线y =f (x ) 在点k =f '(x 20) =3x 0-2ax 0+b , 由题意知f '(x 2

0) =3x 0-2ax 0+b =0有解，

∴∆=4a 2-13b ≥0即a 2≥3b .

(2)若函数f (x ) 可以在x =-1和x =3时取得极值，

则f '(x ) =3x 2-2a x +b =0有两个解x =-1和x =3，且满足a 2≥3b . 易得a =3, b =-9.

(3)由(2)，得f (x ) =x 3-3x 2-9x +c .

根据题意，c >x 3-3x 2-9x (x ∈[-2, 6]) 恒成立.

∵函数g (x ) =x 3-3x 2-9x （x ∈[-2, 6]）在x =-1时有极大值5（用求导的方法）， 且在端点x =6处的值为54.

∴函数g (x ) =x 3-3x 2-9x （x ∈[-2, 6]）的最大值为54. 所以c >54.

P 的切线的斜率