量子力学知识点小结

第一章

⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。

⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：

表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以h ν为能量单位吸收或发射电磁辐射。

表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：

光(电磁辐射) 不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程

⒒光电效应机理：

当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点：

①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W0 ≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。

②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。

⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：

①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ' 的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。

⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象

⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性

⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

⎧⎪E =h ν = ω⎪ h ⎪⎨P =n = k λ⎪⎪h 2π =, k =n ⎪2πλ⎩

⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。

⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。

21. 标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。

第二章

⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。

⒉波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。

⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。

⒋波函数的归一化条件 ⎰ψ(x , y , z , t ) d τ=1 (2. 1-7) ∞2

⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn ，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn 中。

⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。

⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。

⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。

⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数f n 为该算符的第n 个本征值。波函数ψn 为f n 相应的本征波函数。

⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。

⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x 的偶函数的态称为偶(正) 宇称态；凡波函数ψ(x)为x 的奇函数的态称为奇(负) 宇称态。

⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x 2)/2， ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。 ), n =0, 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ 线性谐振子的能级为：E n = ω(n +⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。

⒖隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

16．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？

答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。

17．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？

答：定态是一种特殊状态即能量本征态，在定态下，一切显含时间的力学量（不管是否为守恒量）的平均值和几率分布都不随时间改变，粒子在空间的几率密度和几率流密度也不随时间改变。

第三章

⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

*ˆ为厄密算符。ˆ满足下列等式ψ*F ˆˆφ dx =F ψφ dx ，⒉厄密算符的定义：如果算符F 则称F ⎰⎰()

式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。

⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。

简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。

⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。

电离能：电离态与基态能量之差

⒍氢原子中在半径r 到r+dr的球壳内找到电子的概率是：W nl (r ) dr =R 2(r ) r 2dr 　 n l

在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：w lm (θ, ϕ) d Ω=lm (θ, ϕd Ω　

* ψ2d τ=0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：⎰ψ12

则称函数ψ1和ψ2相互正交。

⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk 或φl 。

ˆ的正交归一本征波函数，λ是本⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn (r)是厄密算符F n

征值，则任一波函数ψ(r)可以按φn (r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。

ˆ的本征态φ时，⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符F 力学量F 有确定值，这个值就是

ˆ在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，算符F

这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。

ˆB ˆ 。 ˆ-B ˆA ˆ, B ˆ]≡A ⒒算符对易关系：[A

ˆ与B ˆ是可对易的； ˆ, B ˆ]=0，则称算符A 可对易算符：如果[A

ˆ与B ˆ是不对易的。 ˆ, B ˆ]≠0，则称算符A 不对易算符：如果[A

⒓两力学量同时有确定值的条件：

ˆ有一组共同本征函数φn ，而且φn 组成完全系，则算符ˆ 和 G 定理1：如果两个算符F

对易。

ˆ对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 ˆ 和 G 定理2：如果两个算符F

⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，

2∴ (∆F) 2⋅(∆G ) 2≥ ⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：

ˆˆ⎤=+⎡F , H ⎥=0 ⎢ ⎣⎦

量子力学中的能量守恒定律形式是：

ˆ=ˆ, H ˆ⎤=0 ⎡H ⎢⎥⎣⎦

⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r →－r) 的运算。

宇称算符：表示空间反演运算的算符。

宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。

16. 相关关系式：

⎡μ，p ˆ⎤=i δν⎥μν⎢⎣⎦, ⎡ˆ2⎤⎢L , L μ⎥=0, (μ=x , y , z ) ⎣⎦

⎧⎡ˆˆ⎤ˆ⎪⎢L x , L y ⎥=i L z ⎦⎪⎣

⎪⎡ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆˆ⎡ˆ (μ=x , y , z ) 综合写成 ：L ⨯L =i L ⎨⎢L y , L z ⎥=i L x ⎢L μ，L μ⎥=0，⎦⎣⎦⎪⎣ ⎪⎡ˆˆ⎤ˆL z , L x ⎥=i L y ⎪⎢⎦⎩⎣

ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤⎡L ⎡L ⎡L μ=0, (μ=x , y , z ) , y =i z ; μ, x y , x ⎥=-i z ⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤⎡L ⎡⎡⎡L z , y ⎥=-i x ⎢L z , x ⎥=i y ; 　　　　L x , z ⎥=-i y 　y , z ⎥=i x ; 　　　　⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆ⎤⎡L ⎡L ˆ; ⎡L ˆ p =0, (μ=x , y , z ) , p =i p , p =-i p μ, μ⎥x y ⎥z y x ⎥z ⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆ⎤⎡L ⎡L ⎡ˆˆ⎤⎡L ˆˆˆˆy , p z ⎥=i p x ; 　　　　z , p y ⎥=-i p x ⎢L z , p x ⎥=i p y ; 　　　　x , p z ⎥=-i p y 　⎢⎢⎢⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎣

ˆ+L ˆ⨯p ⎡x , p ⎡x ˆ2f (x ) ⎤=2i p ˆf (x ), ˆ f (x ) p ˆ⎤=i ⎛ˆ+p ˆf (x ) ⎫ˆˆ=2i p , p f (x ) p , p ⨯ L ⎪x x x x x x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

第四章

⒈基底：设 e 1, e2, e3 为线性无关的三个向量，空间内任何向量 v 必是e 1, e2, e3 的线性组合，则e 1, e 2, e 3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。

⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φm 看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因) ，则波函数的集合｛φm ｝构成的一个线性空间。

⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。

第五章

1. 斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。

2. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。

3. 周期微扰产生跃迁的条件是： ω=±ωmk 或 εm =εk ± ω，说明只有当外界微扰含有频率ωmk 时，体系才能从Φk 态跃迁到Φm 态，这时体系吸收或发射的能量是 ωmk ，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。

4. 光的吸收现象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。

5. 原子的受激辐射(跃迁) 现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。

6. 原子的自发辐射(跃迁) 现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的

现象。

7. 自发发射系数A mk ：表示原子在单位时间内，由εm 能级自发跃迁到εk 能级，并发射出能量为 ωmk 的光子的几率。

8. 受激发射系数B mk ：作用于原子的光波在ω→ω+d ω频率范围内的能量密度是I (ω) d ω，则在单位时间内，原子由εm 能级受激跃迁到能级εk 、并发射出能量为 ωmk 的光子的几率是B mk I (ωmk ) 。

9. 吸收系数B km ：原子由低能级εk 跃迁到高能级εm 、并吸收能量为 ωmk 的光子的几率是B km I (ωmk ) 。

第七章

⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。

⒉塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。

简单(正常) 塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。 产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。

复杂(反常) 塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。 产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。

⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S ：

S =s (s +1) ，s =s 1+s 2，s 1-s 2=1， 0

所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。

⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L ：

L =(l +1) , l =l 1+l 2, l 1+l 2-1, l 1+l 2-2, ∙∙∙, l 1-l 2

对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。

⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J 1：

J 1=l 1+s 1, l 1-s 1， s 1= 2

每个电子只有两个J 1值。

⒍LS 耦合总角动量J ：

J =, j =l +s , l +s -1, l +s -2, ∙∙∙, l -s

⒎jj 耦合总角动量J ：

J =, j =j 1+j 2, j 1+j 2-1, j 1+j 2-2, ∙∙∙, j 1-j 2

⒏价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。 ⒐内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。

⒑原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。

⒒电子组态：价电子所处的各种状态。

⒓原子态：原子中电子体系的状态。

⒔原子态符号：用来描述原子状态的符号。

⒕原子态符号规则：用轨道总量子数l 、自旋总量子数s 和总角动量量子数j 表示

①轨道总量子数l =0,1,2,···，对应的原子态符号为S , P , D , F , H , I , K , L , ···;

②原子态符号左上角的数码表示重数，大小为2s +1,表示能级的个数。

③原子态符号右下角是j 值 ，表示能级对应的j 值 。

形式为：2s +1S j , 2s +1P j , 2s +1D j , 2s +1F j , ∙∙∙

⒖光谱的精细结构：用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线，会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则) ：

(1)从同一电子组态形成的、具有相同L 值的能级中，那重数最高的，即S 值最大的能级位置最低；

(2)从同一电子组态形成的、具有不同L 值的能级中，那具有最大L 值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则：

1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。

2、原子的宇称：如果原子中各电子的l 量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。

3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS 耦合选择定则：

① ∆S =0，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。 ②∆l =0, ±1，当∆l =0时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。

③∆j =0, ±1 ， j =0 至 j =0的跃迁是禁止的。

jj 耦合选择定则：

①∆j 1 ∆j 2=0, ±1

②∆j =0, ±1， j =0 至 j =0的跃迁是禁止的。

⒚全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。

⒛全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才是可以区分的。

21. 全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

22. 对称波函数：设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q1, …,q i ,q j , …,t) 表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则Φ是q 的对称波函数。

23. 反对称波函数：设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q1, …,q i ,q j , …,t) 表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则Φ是q 的反对称波函数。

24. 对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称(反对称) 的状态，则它将永远处于对称(反对称) 的状态上。

25. 费密子：自旋为或奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称22()

的，服从费密—狄拉克统计。

26. 玻色子：自旋为零、 或 整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色—爱因斯坦统计。

27. 交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。

28. 泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。

29. 交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。

30. 交换能J 与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。

31.LS 耦合引起的精细结构分析。如n=3能级中，有一个p 电子和d 电子所引起的能级差别(原子态) 。

32. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。

33. 反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。)

量子力学期末试题及答案一

一、（20分）已知氢原子在t =0时处于状态

⎛1⎫2⎛0⎫⎛1⎫1

ψ(x ,,0) =ϕ2(x ) ⎪-ϕ1(x ) ⎪+3(x ) ⎪ 01333⎝⎭⎝⎭⎝0⎭

其中，ϕn (x ) 为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t >0时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

E n =-μe 41

2 2n 2， n =1, 2, 3, （1）

将t =0时的波函数写成矩阵形式

⎛1⎫ϕx +x 2(

)3()⎪33⎪ （2） ψ(x ,0) = 2⎪-ϕ1(x ) ⎪3⎝⎭

利用归一化条件

2c ⎛1**d x ϕx +3(x )(

) ⎰ 32-∞⎝∞⎛1⎫⎫ 3ϕ2(

x )+33(x )⎪2*⎪-ϕ1(x )⎪⋅ ⎪32⎪⎭ -ϕx () ⎪ （3） 13⎝⎭

⎛124⎫272= ++⎪c =c 9⎝999⎭

于是，归一化后的波函数为

ψ(x ,0) =⎫1⎫(

x )+3(

x )⎪ϕx x 32(

)3()⎪2⎪ （4） ⎪=⎪2⎪ -ϕ1(

x )1(x )⎪⎪ 3⎝⎭⎝⎭

能量的可能取值为E 1, E 2, E 3，相应的取值几率为

W (E )=1, 0

能量平均值为 41; W , 0=(E )2772; W （5） (3E ), 7

412E 1+E 2+E 3=777 （6） 44μe ⎡411121⎤161μe -2⎢⨯+⨯+⨯⎥=-2 ⎣717479⎦504 2E 0=

自旋z 分量的可能取值为, -，相应的取值几率为 22

⎛ W s z =, 2⎝ ⎫⎫123⎛0⎪=+=W ; s z =-, ⎪0=2⎭⎭777⎝4 （7） 7

自旋z 分量的平均值为

3 4⎛ ⎫ s z 0=⨯+⨯ -⎪=- （8） 727⎝2⎭14

t >0时的波函数

⎡i ⎤⎡i ⎤⎫x exp -E t +x exp -E t 2(

)2⎥3(

)3⎥⎪⎢⎢ ⎣⎦⎣⎦⎪ψ(x , t ) = （9） ⎪⎡i ⎤ ⎪x exp -E t ()11 ⎪⎢⎥⎣ ⎦⎝⎭

二. （20分） 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动(V 0>0)

x

⎪0, x >a ⎩

若已知该粒子在此势阱中有一个能量E =-V 0的状态，试确定此势阱的宽度a 。 2

解 对于-V 0

⎧ψ1(x )=0⎪ ⎨ψ2(x )=A sin (kx +δ) （1）

⎪ψ(x )=B exp (-αx )⎩3

其中，

k =2m (E +V 0)

; α = 2m E

（2）

利用波函数再x =0处的连接条件知，δ=n π，n =0, 1, 2, 。

在x =a 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

ψ2(a )=ψ3(a )

ψ(a )=ψ(a )'

2' 3 （3）