多变量线性回归的平均值概念及其在地学
中国科学 D 辑: 地球科学
《中国科学》杂志社2007年 第37卷 第10期: 1392~1399
http://www.scichina.com SCIENCE IN CHINA PRESS
多变量线性回归的平均值概念及其在地学
研究中的应用
周卫健
①②③*
陈茂柏 鲜 锋 宋少华 武振坤
④①②
A. J. T. Jull 刘卫国
①②①②①①②
(① 中国科学院地球环境研究所黄土与第四纪地质国家重点实验室, 西安 710075; ② 西安加速器质谱中心, 西安 710052; ③ 西安交通大学能源与动力工程学院, 西安 710049; ④ NSF-AMS laboratory, University of Arizona, Arizona 85721, USA)
摘要 文章以实例阐述了多变量一元线性回归计算中的“平均值概念”. 作者根据“平均值概念”, 利用珊瑚δ 18O 比值重建了最近90年西沙表层海水盐度的变化历史, 并运用洛川黄土10Be 记录示踪了最近80 ka全球性的古地磁漂移事件, 从而阐明了“平均值概念”在地学数据分析中的重要意义及应用前景.
关键词 多变量 线性回归 平均值概念 珊瑚 重建 黄土 示踪 前人的诸多研究表明, 珊瑚中测得的氧同位素组分δ 18O(M ) 主要与海表面温度SST 和表层海水盐度SSS 两个因素有关; 海洋、湖泊和冰芯中的10Be 记录与就地降水量和大气中测得的
10
10
念”.
本文将通过实例阐述多变量的一元线性回归分析中的“平均值概念”的物理意义. 详细介绍了利用“平均值概念”从最近90年西沙珊瑚的δ 18O 比值重建西沙表层海水盐度变化历史和从最近80 ka洛川黄土中的10Be 记录示踪古地磁漂移事件的重要应用.
Be 产率有关
, 而黄土中
Be 浓度Be (M ) 还与从源区搬运来的粉尘的尘
降通量有关; 黄土的磁化率SUS(M ) 与强冬季风从
源区搬运来的磁性矿物颗粒和就地成壤过程产生的磁性颗粒有关
. 上述指标均与两个或两个以上的
因素有关, 在这里为了便于讨论, 我们将δ 18O(M ), Be (M ), SUS (M ) 分别视为与两个自变量有关的因变量
y (x 1, x 2) . 地学研究中传统的数据分析通常很少去求
1 多变量的一元线性回归分析中的“平均
值概念”
1.1 基本概念
如图1所示: 图1(a)和(b)分别是因变量y (x 1, x 2) 在与线性相关的自变量x 1和x 2坐标平面中的散点图, 它们分别代表了1983~1994年间西沙珊瑚的氧同位素比值δ 18O(M ) 与海表面温度SST 或表层海水盐度SSS 的关系
它们的二元线性回归方程y (x 1, x 2) =ax 1+bx 2+c , 而是分别求因变量y (x 1, x 2) 与某个自变量x 1或x 2间的一元线性回归方程. 根据得到的r 2(回归方程的拟合优度的判定系数) 或r (相关系数) 来判断两个变量间的相关程度, 其中−1≤r ≤+1. 这里涉及到一个被忽视的重要概念: 多变量线性回归计算中的“平均值概
. 假设数据没有测量误差, 图1(a)中的
线性回归直线可视为当x 2取平均值x 2(图1(b))条件下所得到的结果. 所有的数据点都应分布在图1中直
收稿日期: 2007-04-17; 接受日期: 2007-07-06
中国科学院重要方向性项目(批准号: KZCX2-YW-118 )、国家自然科学基金(批准号: 40121303, 40531003, 40523002)和国家重点基础研究发展计划 (编号: 2004CB720200)共同资助 * E-mail: [email protected]
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周卫健等: 多变量线性回归的平均值概念及其在地学研究中的应用 1393
线(回归线) 和竖线(平均值线) 的两边, 它们按图1(b)中x 2与x 2的不同偏离值Δx 2以不同距离分布在图1(a) 中回归直线两边. Δx 2越大的数据点偏离直线越远, 反之亦然. 凡是x 2=x 2的数据点都将落在该回归直线上. 如果考虑到数据的测量误差(或涨落), 数据点将随机地分布在直线两旁, 而不是按上述理想图景分布. 下面将证明, 在数据的理想或实际的情况下, 我们计算y (x 1, x 2) 与某自变量x 1间的一元线性回归时, 实际上是在围绕另一个自变量x 2的平均值x 2进行的, 得到的回归方程y e =ax 1+b 中的估计值y e 是x 1的变化贡献量与2的恒定贡献量之和, 即y e =y (x 1) +y (x 2) =y (x 1) x 2. 这就是“平均值概念”, 其
1.2 证明
为了证明上述分析, 我们把平均值2当作第2个自变量, 进行y (x 1, x 2) 与自变量x 1和x 2间的二元回归计算, 得到y 2e =ax 1+b 1x 2+b 2, , 再将已知的x 2代入, 即可得到y 2e =ax 1+b . 计算证明, 它与y (x 1, x 2) 对自变量x 1间的一元线性回归计算得到的
方程y 1e =y (x 1) x 2=ax 1+b 完全一致, 表明后者的回归计算确实是围绕着另一个自变量x 2的平均值x 2进行的, 它是y (x 1, x 2) 与x 1和2间的二元线性回归计算的一个特例. 表1综合了西沙和海南[7, 8]珊瑚研究中的δ18O(M ) 与SST 或SSS 的一元线性回归计算分析结果, 证明上述二元回归方程的估计值(y 2e ) 与一元回归方程的估计值(y 1e ) 完全一致.
中2的恒定贡献量隐含在估计的回归方程的截距项b 中1) .
图1 因变量y (x 1, x 2) 与线性相关的自变量x 1和x 2坐标平面中的散点图
因变量代表1983~1994年间西沙珊瑚氧同位素比值δ 18O(M ), 自变量为海表面温度SST 和表层海水盐度SSS [7]
1) 其中脚码e 代表估计值, −表示平均值符号, 脚码中x 2的平均值符号−已被省略
1394
中国科学 D 辑 地球科学 表1 “平均值概念”的计算证明
第37卷
样点
n y x1 192
西沙
192
x 2
a)
(y 2) 和(y 1)
2e 12= −0.0729x 1 – 3.4762 y 1e = −0.0729x 1 – 3.4754
y 2e = 0.2244 x1–0.12972– 9.4923 = 0.2244x 1 – 13.05
2e 12= −0.1315x 1– 1.9087 y 1e = −0.1315x 1– 1.9086
y 2e = 0.1051x 1 – 0.22612–2.5869
δ 18O(M ) SST SSS 33.8
δ O(M )
18
SSS SST 27.4
120
海南
120
δ 18O(M ) SST SSS 30.2
= 0.1051x 1 – 8.5333 y 1e = 0.1051x 1 – 8.5345
a) x 1代表参与回归计算的自变量, x 2是未参与回归计算的自变量. δ O(M ), SST 和SSS 是最近12年西沙和海南氧同位素比值数据和观察站提供的海表面温度和表层海水盐度数据[7]. (y 1) 和(y 2) 代表一元线性回归方程和二元线性回归方程, n 是样本数.
b) 2变量的单位略
δ 18O(M ) SSS SST 26.3
1.3 推论
我们再从另一个途径来证明: 若上述平均值概念成立, 则得到下述推论: “3个变量的一元线性回归计算得到的2个回归方程估计值的平均值1x 2和
y (x 2) x 与因变量y (x 1, x 2) 的平均值都应相等, 即,
1
故有
2x 1=2+y (1=12, (9)
所以得到证明
y (x 1) x 2=y (x 2) x 1=y (x 1, x 2) . (10)
我们以上述珊瑚研究中测得的δ 18O, SST 和SSS 以及从洛川黄土中测得的
10
y (x 1) x 2=y (x 2) x 1=y (x 1, x 2) .
Be 记录Be (M ) 和磁化率
设因变量
y (x 1, x 2) =y (x 1) +y (x 2) , (1)
SUS (M ) 计算为例, 应该有如下等式:
δ18O(M ) =δ18O(SST ) SSS =δ18O(SSS ) SST =GM =P , GM (11)
SUS (M ) =SUS (D ) P .
有平均值
12=1+2, (2)
和
y (x 1) =y (x 1) , y (x 2) =y (x 2) . (3)
表2的数据证明计算是完全符合推论的1) .
1.4 推广
应当指出, 这里提出的平均值概念可以推广到3个以上变量(y , x 1, x 2…x n , n >2) 的一元线性回归分析, 或因变量y (x 1, x 2…x n ) 与其中任m (m
若已知一个含4个变量的数据组[9], 计算得它的三元回归方程:
y =0.1547x 1+0.1064x 2+0.0343x 3+0.8276, (12)
从y 与x 1回归计算得:
y e (x 1) =ax 1+b , (4)
按平均值概念有
y (x 1) x 2=ax 1+b 1x 2+b 2=y (x 1) +y (x 2) , (5)
故有
y (x 1) x =y (x 1) +y (x 2) =y (x 1, x 2) , (6)
2
类似地, 由y 与 x 2回归计算得
y e (x 2) =ax 2+b , (7)
按平均值概念有
y (x 2) x 1=ax 2+b 31+b 4, (8)
1) 具体量值的符号含义详见表2中说明以及后文的论述
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表2 “平均值概念”的推论的计算证明
估计的回归方程 平均量
计算得到的平均值 a) −5.48 δ 18O vs SST −5.48 δ 18O vs SSS −5.36
−5.36 δ 18O vs SST −5.36 δ 18O vs SSS 212.32
b)
δ 18O(SST ) SSS = −0.0729 SST − 3.4754 δ 18O(SSS ) SST = 0.2244 SSS − 13.06 海南岛珊瑚
δ18O (SST ) SSS δ18O(SSS ) SST δ18O(M ) δO(SST ) SSS δO(SSS ) SST
Be (M )
GM
δ 18O (SST ) SSS = −0.1315 SST − 1.9086 δ 18O (SSS ) SST = 0.1051 SSS − 8.5345 洛川黄土
Be (P , D) GM = 1.0383 SUS(M ) + 121.31 Be (D ) P,GM = −12.366 D +415.6 洛川黄土
SUS (D ) P = −11.852 D +279.76
212.32 Be (M ) vs SUS (M ) 212.32 Be (M ) vs dust flux 87.67
87.67 SUS (M) vs dust flux
P , GM P
a) δ O(M ), SST和SSS 与表1数据含义相同. Be (M ) 和SUS (M ) 分别代表最近80 ka洛川黄土中测得的Be 浓度和磁化率值. P 代表降水因素, D 代表尘降因素, (P , D) 代表气候综合因素(受东亚季风控制的水降和尘降效应), GM 代表地磁场因素.; b) 因为计算中将磁化率SUS (M ) 作为气候代用指标, 故回归计算Be (M ) vs SUS(M ) 与Be (M ) vs (P , D) 等同, 由此估计值Be e = Be (SUS ) GM = Be (P , D) GM ; c) 所有计算得到的平均值的单位均略
其中x 1=5.2857, x 2=48.918.
其中任一个一元回归方程:
y 1=0.0384x 3+2.7012, (13)
回归估计值y (x 1) x 2, 就得到由于x 2的变化Δx 2引起y 的变化量Δy (Δx 2) , 即
Δy (Δx 2) =y (x 1, x 2) −y (x 1) x 2=y (x 1, x 2) −[y (x 1) +y (x 2)].
和y 与x 1 , x 2, x 3的三元回归方程:
y 2=0.2371x 1+0.0042x 2+0.0384x 3+1.2415, (14)
(19)
下面我们将详细描述平均值概念在地学示踪研究中的具体应用.
代入x 1和x 2 得
y 2=0.0384x 1+2.7012=y 1. (15)
又, 其中任一个二元回归方程
y 3=0.0249x 2+0.03561x 3+2.5456 (16)
2 运用δ 18O 比值重建最近90年西沙的海水盐度SSS
倘若已经得到最近90年西沙珊瑚的氧同位素比值δ18O(M ) 和Sr 同位素数据, 由于同位素Sr 只与海表面温度SST 相关
[10]
和 y 与x 1 , x 2, x 3三元回归方程:
y 4=0.25336x 1+0.0249x 2+0.0351x 3+1.2064, (17)
, 可以很容易利用Sr 作温度计来重
代入1得
y 4=0.0249x 2+0.03561x 3+2.5456=y 3. (18)
建SST . 但人们常遇到的难题是海水盐度的重建研究, 由于它的复杂性, 在大多数情况下, 人们常采取回避的办法, 或假设盐度不变. 事实上海水的盐度是随时间而变化的. 本文中我们将尝试运用“平均值概念”求解海水盐度SSS 变化引起的δ 18O 变化量, 并进而利用最近12年观测数据(δ 18O, SST , SSS ) 重建最近90年海水盐度变化历史.
1.5 应用
“平均值概念”可应用于地学研究中解决如下的问题: 如果由2个自变量(x 1, x 2) 同时作用着的因变量y (x 1, x 2) 和其中一个自变量(x 1或它的代用指标) 是已
知的, 而另一个自变量x 2是未知的, 今要求解未知的x 2的变化Δx 2所引起的因变量的变化量Δy (Δx 2) , 并结合其它已知条件, 试图重建未知的x 2. 它的计算步骤很简单: 首先将因变量y (x 1, x 2) 与自变量x 1进行一元线性回归计算, 再用测量值y (x 1, x 2) 逐点减去
2.1 取样和测量
样品采自西沙群岛海域(16°33.6′N, 111°39.8′E) 一个正在连续生长的活体澄黄滨珊瑚(Porites lutea) 之上
[7]
. 礁体高约3 m, 顶部距海面5 m.样品用美国
Tech 2000公司生产的水下液压钻机从珊瑚顶面中部
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往下钻取, 全长2.2 m, 直径为60 mm.将岩芯切成宽40 mm、厚5 mm的薄片, 经去离子水冲洗、晾干后, 用医用X 射线拍照, 可以看到清晰的明暗相间的生长带. 子样品以0.5 mm厚、4 mm宽、1.5 mm深沿主生长轴进行采集, 1年生长范围内可取样24个[7].
氧同位素测试工作在中国科学院地球环境研究 所MAT-252型质谱仪上完成, 该仪器配有Kiel Ⅲ 碳 酸盐微量自动进样装置. 氧同位素分析精度为0.05‰,
与SST 之间的估计回归方程:
δ18O(SST ) SSS =−0.0729SST −3.4754, (22)
(r =0.78, N =192)
和由于ΔSSS 引起的δ 18O 值的变化Δδ 18O. 再根据1983~1998年的观测的SSS 数据可计算出该期间的平均SSS = 33.8‰和盐度的变化量ΔSSS . 在求得ΔSSS 和Δδ 18O 的绝对值的算术平均值后相除, 即得到1983~1998年的比值ΔSSS Δδ18O =2.5. 作为近似, 把该比值当作1906~1994年的平均比值, 这样就可从(21)式计算出最近90年间盐度的变化量ΔSSS . 因为1983~1998年间的盐度波动的相对偏差很小, 约1%, 可认为最近90年间的盐度平均值与观测的平均值近似, 则可进一步重建1906~1994年间的盐度序列SSS =SSS +ΔSSS (图2).
δ O 值以PDB‰表示
18[7]
. 文中引用的90年Sr 含量记
录取自文献[11]并经检验, 其重建的前12年 (1983~1994)的SST 数据与西沙观测站提供的相应 SST 数据之间:算术平均误差为0.9℃, 平均相对偏差 为3.3%, 最大偏差小于11%, 两者之间具有很好的一 致性.
2.2 重建计算
将实测的1906~1994年δ O(M ) 比值与采用的Sr 值(SST 的代用指标) 进行线性回归计算, 得到该时段的δ 18O(M ) 与Sr 之间的估计回归方程:
18
2.3 误差估计
把重建的SSS 序列中前12年(1983~1994)的SSS 值与相应的SSS 观测值逐点比较, 两者之间平均误差为0.33‰, 相对偏差为0.97%, 最大相对偏差为2.67%.当然, 数据的测量误差都包含在该重建的SSS 中.
为了估计重建的SSS 的误差, 我们进行1983~1998年间测得的δ 18O 与观测站提供的海表面温度SST 和表层海水盐度SSS 之间的二元回归计算, 得到回归方程
δ18O(SST ) SSS =0.0952Sr −13.623, (20)
(r =0.41, n =1061)
该方程的回归估计值δ O(SST ) SSS 是SST (或Sr) 对珊瑚δ 18O 的变化贡献量和该时段的平均对δ18O(M ) 的恒定贡献量之和. 盐度的变化ΔSSS 所引起的
18
δ 18O(M ) 值的变化Δδ 18O 为:
Δδ18O =δ18O −δ18O(SST ) SSS (21)
δ18O e =−0.0688SST +0.1264SSS −7.8579. (23) 这个回归估计值δ 18O e 与测量值δ 18O(M ) 之差(残差) 代表了数据的测量误差, 它的标准偏差σ = 0.41‰和
类似地, 我们根据1983~1998年的观测站提供的
δ 18O 和SST 数据进行回归计算, 得到该时段的δ 18O
图2 利用“平均值概念”方法和近12年观察站数据重建的近90年西沙海水的盐度史
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相对标准偏差RSD =0.41/5.48=7.5%.这个RSD 归因于SST , SSS 和测量误差. 如果把这个偏差全部归因于SST , 则引起SST 的偏差σ =27.5×RSD = 2.1℃. 如果全部归因于SSS , 则引起SSS 的偏差σ =33.8×RSD =2.5‰. 如果各半, 则分别为σ =1.05℃和σ =1.25‰. 因此重建SSS 的最大偏差σ≤2.5‰.
图2中我们可以发现重建的最近90年来西沙海水的盐度有两次显著的变化. 一次发生在1943~1954年间盐度明显降低, 持续近12年之后盐度快速增加, 在1970~1975年达到最大(34.8‰). 另外, 在盐度快速增加的过程中有一明显降低的波动(1966~1970), 这两次盐度的显著变化将另文描述..
3 运用洛川黄土中10Be 记录示踪最近80 ka
的地磁场漂移事件
根据测量得到的最近80 ka洛川黄土10Be 浓度和磁化率记录, 我们尝试运用“平均值概念”求解与地磁场变化有关的大气中10Be 产率变化引起的10Be 变化量, 进而示踪古地磁漂移事件.
3.1 中国黄土10Be 及其磁化率沉积的复杂性
与海洋和冰芯中的10
Be 记录不同, 黄土中沉积
的
10
Be 因同时受到来自源区粉尘的尘降影响和不均
匀季风降雨的影响而变得很复杂, 以至从黄土中测得的
10
Be 记录曲线不能像在海洋和冰芯中测得的
10Be 记录曲线那样可以直接显示出地磁场事件. 黄土10
Be 记录Be (M ) 包含了2个成分
[4,12]
: Be (D ) 和Be (P ,
GM ). Be (D ) 是从粉尘源区搬运来并尘降至黄土沉积物表面的成分, 它在远古时期就沉降在粉尘源区的表面尘土上, Be (P, GM) 是从就地上空水降至地面的由宇宙射线与大气物质相互作用新鲜生成的成份, 该成分还与受地磁场影响的大气中
10
Be 产率有关. 同
样地, 黄土的磁化率SUS (M ) 也由两部分组成[12, 13]
.
SUS (D ) 和SUS (P ). SUS (D ) 是由粉尘源区搬运来的磁性矿物颗粒形成, SUS (P ) 是与降水有关的就地成壤过程中生成的磁性矿物颗粒形成. SUS (D ) 或SUS (P ) 都与地磁场强度变化无关.
由于Be (D ) 和SUS (D ) 两者都与粉尘的尘降通量线性相关, 而Be (P , GM) 和SUS (P ) 两者与降雨量线性相关
, 所以Be (M ) 和SUS (M ) 两者以同样方式与气
候因素(受东亚季风制约的尘降和水降) 有关[13]
, 但
Be (M ) 是与气候因素和地磁场因素有关的一个二元因变量 (也可当作与尘降, 水降和产率有关的三元因变量). 根据Be (M ) 与SUS (M ) 分布曲线之间的高度相似性(图3) , 作者试图用磁化率SUS (M ) 作为黄土的
10
Be 记录中气候影响部分的代用指标, 结合 “平均值
概念”, 把黄土的Be (M ) 中的气候影响与地磁场影响分离开来, 从而显示出主要的古地磁场事件
.
图3 最近80 ka洛川黄土10
Be 浓度记录Be (M ) 和磁化率
SUS (M) 的综合对比
两条曲线具有高度相似性, 相关系数r = 0.8, 但黄土10Be 曲线没有像海洋和冰芯沉积物中的10Be 曲线那样能直接显示出古地磁场事件
3.2 野外采样, 指标测试和年代标尺
中国黄土被视为古气候与古环境事件的最完整的大陆记录, 我们选择典型的洛川黄土剖面作为研究地点[15](35°45′N, 109°25′E). 采样剖面总厚度为970 cm, 包括全新世黄土、全新世古土壤和马兰黄土等地层. 在野外连续采集柱状样, 并在实验室按1 cm间距分样, 每个样品对应的时间分辨率约为80~100年. 总共制备BeO 样品248个并在3MV 加速器AMS 设备上完成测试[16]. 此外, 我们还系统测量磁化率、碎屑石英粒度和容重等气候代用指标, 并将洛川剖
面最近80 ka的10Be 浓度曲线与磁化率曲线进行了综
合对比, 如图3所示.
我们利用实测14C 和光释光OSL 测年数据, 建立了深度与年代之间的对应关系, 获得最近80 ka的年代框架.
3.3 重建和结果 通过测量的
10
Be 浓度记录Be (M ) 和磁化率SUS (M ) 之
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间的一元线性回归分析, 得到回归方程:
Be e =Be (SUS ) GM =Be (P , D ) GM =1.0383×SUS (M ) +121.31,
(24)
(r =0.8, n =247)
它的估计值Be e 是气候因素对黄土中10
Be 的变化
贡献量与最近80 ka的平均地磁场强度下通过降雨对
黄土中
10
Be 的恒定贡献量之和. 因此差值
ΔBe (ΔGM ) =Be (M ) −Be e 反映了地磁场变化ΔGM
通过降雨引起的黄土中10Be 浓度的变化量(图4). 考虑到地磁场对宇宙射线的屏蔽作用, ΔBe (ΔGM ) 应与ΔGM 成反相关. 很明显, 图4重现了80 ka以来的地磁场漂移事件[12]: 例如拉尚(Laschamp) (44~39 ka)[17], 莫诺湖(Mono-Lake) (35~31 ka)[18], 这两个著名的事件各持续了约5~4 ka, 并以快速开始为特征. 这一结果表明利用 ‘平均值概念” 方法成功地实现了从黄土10Be 记录中示踪古地磁场事件的研究
.
图4 运用平均值概念分离得到的最近80 ka洛川黄土中的
10
Be 记录的古地磁场漂移事件序列
它清楚地显示了最近80 ka的拉尚(Laschamp), 莫诺湖(Mono Lake)等
主要的古地磁场漂移事件
4 结论
“平均值概念”固有地存在于多变量的一元线性回归分析中, 但在传统的数据分析中还未曾被认识到和加以应用. 在试图利用黄土中的
10
Be 记录示踪最近80 ka古地磁事件的研究中,
作者提出并应用了这一概念. 不少地学家曾认为由于黄土10Be 沉积的复杂性, 从黄土的10Be 示踪古地磁事件是不太可能的. 本文运用“平均值
概念”初步解决了这一难题. 应该指出, 单纯利
用“平均值概念”, 我们只能示踪古地磁漂移事件. 若要像重建西沙海水盐度变化历史那样重建古地磁场强度变化
[3]
, 还必须附加一个已知条
件, 我们正在寻找这样一个合适的条件. “平均值概念”使我们深入理解了多变量的一元线性回归分析的真实含义及地学研究中数据分析的重要性, 作者提出的“平均值概念”可为未来数据分析研究提供一种新的认识和理解.
致谢 衷心感谢安芷生院士对本文提出了中肯建议和指导; 奥地利维也纳大学加速器实验室Kutschera 教授和Priller 博士, 以及美国亚利桑那大学加速器实验室Beck 博士对该工作给予了大力支持和帮助; 刘林, 余华贵, 程鹏等在实验室工作中给予了帮助. 珊瑚野外采样过程中得到了中国科学技术大学彭子成教授、谢端高级工程师和刘桂建教授等的大力支持和帮助, 中国科学院地球环境研究所王旭龙博士提供了剖面的光释光OSL 年代数据, 在此一并深表感谢.
参 考 文 献
1 Quinn T M, Crowley T J, Taylor F W. New stable isotope results
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