椭圆面积公式的几种推导方法
刃茶笋刀
丈到吹 庆 奢工 袭 汽奋
声 了 口燕 夕
椭 圆 面 积 公 式 的 几 种 推 导 方 法
李
在 高等数 学 定 积 分 的 应 用 一 章中 求 椭 圆 的
,
苏
b Zc
忱
a Z
o 、 2
“
”
b
Z
面 积 是 典 型 的求 面 积 问题
,
。
本 文拟采 用 几 种 方 法 结
,
。
,
6 十
a Z、 z n 2
,
8
仍用 计算 出 第 一 象限 面 积 然 后 乘
,
合 学生 所 学知 识 进 行严格 推 演 探 求最佳 解 法 问题 求方 穆为
:
以
4
的 方法 因 此 椭 圆 面积 为
_
:
书 共
任沼
十
一 1
的椭 圆面 积
。
1
万
一
4
X
~
丁厂
吁
l
o
,
“ 二二
,
乙 J
一一 二下 , 二 - ~ 一 二一 二 下不 d 夕 口 “ 0 万 U 十 “ ` S 七陀 U
`
,
W
`
方法
一
三 角 代换 法 椭 圆 的 图 形 关 于 坐 标 轴 都 对 称 所 以 只算 出第
1
,
[
l
、
in s \
一
=
2a
2
b2
普二巨通仁 口 / 气 「
` 口s
z
a
z
e
- 二
!
) 象 限( o a
,
·
上 的 一 部分 面 积 再乘 以
,
4
就可 以 了 由
,
。
J
。
a
tg
口+
b
z
一 2口 2 。 2 又
力程 可 解 出
4
产
一
令诺不 孚
二
,
因 而 椭圆 面 积 :
,
磊 一 (罕 川 )
一
又
g
夸 卫
一
,
,
夕
·
, 二二 弃 d二 利 用三 角代换 设 二
。
心
汀
“
。 tt d
“
,
当 二 由 。 变 化到
。
时
,
t
一
山
o
`儿 了
则
一 2 a “ 只
晋
1
。
“
,
变 化到
在处 理 方 法
两 种积 分 技 巧
。
中 的 具体积 分 时 也 可 采 用 如 下
二 2
。 ’
一
S 一
下 「 厂下 一 口z 】心 矿 一 扩 二 ’ a 一 O J 一
4b
一
.
方法
.
4
分 部积 分法
,
一
竺 普勺 俪 二 蔽品 几
“
户 沙惬
{
J
。。o 、
` 汀,
:
一
` 于 《会 刃
习
d二 一
一 ;
a
冷
{普 、
t,
“。 、 2
一 4a 。
J
f 晋上上望丝姿
t)
己,
一
( 誓
4b
二
心 , 二不 弃
a Z
,; +
x
Z
艺
戳 了歹丁子、 骊络吞叫 丈
)
,
了
“
一
4“ ` u
2
省 晋 耐
参数 方 程 法
x
,
义
一
一
刊
l
“
f
。
一
(
a Z
一
4b
。
-
x 万亏瓦刃 a
,
一
一,
,
万
’
“
次
f
“
方法
当 曲 边 梯 形 的 曲 边 由 参数 方 程
少 `才 , 给 出 时 面 积 s 一
,
二 杯 ) t
l
y
2
一
_
~
。
三 万弃 井云 “
v
一
4b f
“
厂一 ;
一一
一
沈
刻
,
。
丫
“
`
一 厂“
丈 :
。
, `忿 , “
!
,d ,
。
其中 r 及: 是
4b 户
《,
厂 下 一- 一 - 二
“
`
卞足 。 一 万J V
一 厂“
x
一
加”
Z
对应 于 曲 边 的 起 点 及 终 点 的 参数 值 椭 圆 的 参 数方
方法
5
分 部积 分 法和 三 角代换 法
一
程
一
汪
一
“
。
·
:
。
t
,
y
一 份动 t
￡
·
当
x
由
。
变化到
a
时
,
t
由
“ 圆面积 “
变到 誓
一
“
,
椭 圆 而积 为
,
.
价沪 图
`
一
x d
二
。
「
J O V
·
万一一不 ; 下
\ “
,
1
\
x
“
l
I
魂
4·
,
T,
J
t
一
`
丁 ;
,
b、 i n
t
(a
·
·
f o s
r
) d
`
t
“
/
设
一 可
一
4 a n l
、
4· 。
i , : Zr d t =
。o s
{)
, , , 2: d `
含一
x , 由
。
变到
“
邮
变到
“ 一
4 a
4 a
4
厂 普z 一
J
t ,
Zr
可 {
“
了不 不万d u
方法
3
极坐标 法
,
对 极 坐 标 而 言 有计 算极 坐 标 方 程
表 示 的 曲线 及 矢 径
积 公式 : 一
’
、
—
乙
口 t
=
汀a 办
一
_
r
一 以6 )
所 再设
0 一
a
与6
。 .
一
爪
/ J
’
a
;
~ , 。 , -
~
0
`
一
、
争 封 Z J
。
(。 )d ,
、 -
。 极 坐标 方 程 二 一 。
一
-
一~
川
不
I
一
’
一
一 ’
了
~ 六 一 一
a b
〔
,
·
}; 十 且 万 不叫
畏
卫
己“
一
J·
己,
则
s 一 4·
一 可 : 一
,
`
己犷
。
“ 1 0
。
此 时椭 圆 方 程 变 为
一
:
(
z c o、
口) 2
—
十
( 矛 万 i 护2 8 )
乏 一 一丐
一
2
,
一
-
由此可 解 得 尸
一