图像下采样矩阵的构造

在图像超分辨重建中经常涉及对图像 I进行重采样，在所有的原理推导公式中都是对图像I 向量化，然后对向量 I乘一个下采样矩阵D，现在出现的问题是如何方便的利用matlab生成可以实现任意scale的下采样矩阵D。

这个是曾经困扰我很久的问题，在搞定这个问题之前我在编程实现图像下采样时，我都跳过D，直接对矩阵形式的图像进行滑动窗平滑或者抽值，这种偷懒的行为在需要D的转置的时候却无能为力，后来遇到一个算法必须搞定这个D，因此寄希望于论坛求助，结果帮忙者没有，于是一咬牙把这个小骨头啃了一下，发现其实自己研究一下也没那么复杂，难怪人家不具体描述，可能是要花半页纸讲明白这么个小问题人家觉得掉价，就是苦了我们这些初学者了。

首先分享一下Matlab代码，然后再讲解一下个中原理：

% produce the down-scaling matrix A

m = 64; n = 64; % the colume and row of HR image

As = (1/s^2).*ones(1,s);

BA = DiagonalCat(m/s,As);

CA = repmat(BA,1,s);

A = DiagonalCat(n/s,CA);

function [out] = DiagonalCat(s,A)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%   produce block diagonalmatrix

%   Copyright vvcumt(LiangWeiwei), DUT.  2010-09-27

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% % A =

%%     1    1

% % s =

%%     3

% % out =

%%     1    1    0    0    0    0

%%     0    0    1    1    0    0

%%     0    0    0    0    1    1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

[m,n] = size(A);% A is basic block

out = zeros(s*m,s*n);

for i = 1:s

out((i-1)*m+1:i*m , (i-1)*n+1:i*n) = A;

end

size(A)

原理：

对于一幅图像I尺寸为M*N，对其进行s倍下采样，即得到(M/s)*(N/s)尺寸的得分辨率图像，当然s应该是M和N的公约数才行，如果考虑的是矩阵形式的图像，就是把原始图像s*s窗口内的图像变成一个像素，这个像素点的值就是窗口内所有像素的均值：

那么如果图像按列向量化，变成了1*(MN)的向量之后，这个下采样过程也应当有一个对应的矩阵，这个矩阵的大小为(MN/s^2)*(MN)。

先以一个4*4的图像为例：数字代表像素位置

0  4  8   12

1  5  9   13

2   6  10  14

3  7  11  15

向量化的图像大小为16*1，元素为：

【0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15】

2倍下采样之后的新图像具有四个像素，分别是0 1 4 5位置的均值，2 3 67位置的均值，8 9 12 13位置的均值，10 11 14 15位置的均值。

这个下采样矩阵为：

0.25 0.250   0    0.250.25 0   0  ……

0    0   0.25 0.25 0   0    0.25 0.25 0……

0   0   ……                    0    0.25 0.250   0    0.25 0.250   0

0   0   ……                    0    0   0    0.25 0.250   0    0.250.25

即一个4*16的矩阵。

理解一下这个4*16的矩阵规律，并引申到M*N的图像中：

1.下采样矩阵中只有两个元素，一个是0，一个跟采样系数s有关：1/s^2;(s=2)

2.矩阵具有很大的自重复性，左上角的2*8的块和右下角的2*8的块是相同的，我们称其为块‘CA’，其他位置为零。对于M*N的图像，整个下采样矩阵中这样的块‘CA’的个数是N/s个，且主对角排列，而块‘CA’的大小是s*(sM)。

3.块‘CA’同样具有重复性，以左上角2*4的块为基块，那么此时块‘CA’可以看作两个基块并肩所得，构成块‘CA’的基块称其为块‘BA’。对于M*N的图像，每个‘CA’由s个块‘BA’并肩排列构成，每隔块‘BA’的大小为s*M。

4.对于这个块‘BA’其重复性更加明显，选择左上角1*2的矩阵为新的基块‘A’，那么‘BA’就是由两个基块‘A’对角累积构成，其他位置为零。对于M*N的图像，这个块‘BA’由M/s个块‘A’对角排列构成，每隔块‘A’大小为1*s，块‘A’内的元素则都是1/s^2。

大家可以根据这个规律写一写6*6图像的3倍下采样矩阵（4*36）。

这个规律倒过来看就是之前的Matlab代码的实现规则。

其中DiagonalCat(s,A)函数的作用是将s个块‘A’主对角排列。

东西很简单，就是表述起来很罗嗦，博客里也算终于有了一篇原创技术文章啦。

另外发个图像处理QQ群：134518254