初二数学讲义(轴对称)(答案)

初二数学讲义（轴对称） 知识梳理

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质：

（1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 6、等腰三角形：

（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 底角只能是锐角。 （2）性质：

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。 （3）判定方法：

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 7、等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质：

①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。 ②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 ③等边三角形的三个内角都等于60°。 （3）判定方法：

①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 ②判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。

③判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）重要结论1：在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

（5）重要结论2：在Rt △中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是30。

8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）(a , b )

关于x 轴对称关于y 轴对称

(a , -b ) （2）(a , b ) (-a , b )

横不变，纵反向横反向，纵不变

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称

点，再顺次连结各对称点。 9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 ②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。

A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。 （3）数字。0 3 8 （4）图形。

说明：①圆有无数条对称轴。

②正n 边形有n 条对称轴。 11、其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

12、作图题专练

1、如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD，且P 到∠AOB 两边的距离相等．

2、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点M ． （1）如图，在l 上求作一点M ，使得｜ AM －BM ｜最小； 作法：

（2）如图，在l 上求作一点M ，使得｜AM －BM ｜最大 作法：

（3）如图，在l 上求作一点M ，使得AM ＋BM 最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

O

B

1、如图，已知直线MN 与MN 同侧两点A 、B 求作：点P ，使点P 在MN 上，且∠APM＝∠BPN

2、如图点A 、B 、C 在直线l 的同侧，在直线l 上，求作一点P ，使得四边形APBC 的周长最小.

3、如图已知线段a ，点A 、B 在直线l 的同侧，在直线l 上，求作两点P 、Q （点P 在点Q 的左侧）且PQ ＝a ，四边形APQB 的周长最小．

4、已知：如图点M 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上求作一点P ，在OB 边上求作一点Q ，使得ΔPMQ 的周长最小.

5、已知：如图，点M 在锐角∠AOB 的内部，在OB 边上求作一点P ，使得点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小．

1. 如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△ABD 的周长为____。 2. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，•这个等腰三角 形的底边长是__________.

3. 如图，△ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，•则四个结论正确的是（ ）．①点P 在∠A 的平分线上; ②AS=AR;③QP ∥AR; ④△BRP ≌△QSP.

A ．全部正确; B．仅①和②正确; C ．仅②③正确; D．仅①和③正确 4．△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，D 为BC 上一点，且AD=2CD，

则∠DAB=（ ）．

A ．30° B．45° C．60° D．15° 5. 点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为

6、如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积为cm 2．

7. 点A (-2，3) 关于一三象限角分线对称的点A 的坐标是_________. 8. 如图，在等边△ABC 中，AC=9，点O 在AC 上，且AO=3，点P

B

D

/

A

E C

是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60° 得到线段OD ，要使点D 恰好落在边BC 上，则AP 的长是(

) A ．4 B ．5 C ． 6 D ． 8

拓展问题

A D

P （第8题）

B

9. 在ΔABC 中，高AD 、BE 所在直线交于H 点，若BH ＝AC ， 则∠ABC ＝（ ）．

A ．30︒ B ．45︒或135︒ C ．45︒ D ．30︒或150︒

10. 如图，在△ABC 中，AB=32，∠CAB=15︒，M 、N 分别是AC 、AB 上的动点，

则BM+MN的最小值是__________．

M

A

N

（第10题）

B

C

11. 有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角

形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度．

12. 已知BD 是等腰△ABC 一腰上的高，且∠ABD=40°，则△ABC 的顶角度数是 ．

综合问题

13. △ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF交BC 于点G ，求证：EG=FG

F

14.

如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1,DE+BC=1,

2

求∠ABC 的度数

C E

EF 交AC 于点E ，交15. 如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线

BC 于点F ．求证：BF=2CF．

A

E

B

F

C

16. 已知：如图△ABC 中，AB=AC，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE，

求证：AH=2BD．

B

H

A

E C

D

17. 在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长是 注意：求解本题时，可以用定理：在直角三角形ABC 中，∠C =90 ，则A C 2+B C

18. 已知：在△ABC 中，∠CAB=2α，且0°

(1)如图, 若α=21° ∠ABC=32°, 且AP 交BC 于点P, 试探究线段AB,AC 与PB 之间的数量关系, 并对你的结论加以证明；

答:线段AB,AC 与PB 之间的数量关系为: 证明：

C

P

B

2

=A B

2

.

A

（2）如图, 若∠ABC=60°-α，点P 在△ABC 的内部，且使∠CBP=30°，求∠APC 的度数（用含α的代数式表示）。 解：

C

A

B

19. 如上图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC ，上的点，若AB=AC，AD=AE，现给出以下结

论，其中正确的有_______________.

（1）当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 （2）当∠α为定值时，∠CDE 为定值

（3）当∠ 为定值时，∠CDE 为定值 （4）当∠γ为定值时，∠CDE 为定值

β γB

D

C

课后作业：

1. 如图，△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE =4cm，则△ABD 的周长是

A ．22cm B ．20 cm C ．18cm D ．15cm

1题

2. 一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】 A ．13 B ．17 C ．22 D ．17或22

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的

B

三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有【 】

A ． 2个 B ． 3个 C ．4个 D ．5个

4. 如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为【 】

A ．2 B ．3 C

D

5. 已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=

1

BC ，则△ABC 底角的度数为【 】 2

A ．45° B ．75° C ．45°或75° D ．60°

6. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= °．

7. △ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，D 为BC 上一点，且AD=2CD， 则∠DAB=（ ）． A ．30° B．45° C．60° D．15° 8. 点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为

9. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF．

求证：AC=BF．

10. 已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， （1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，

求证：△DEF 为等腰直角三角形．

（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，

那么，△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

11. 已知：△ABC 中，AB=AC，D 为△ABC 外一点，且∠ABD=60°，

1

∠ADB =90 -∠BDC ．试判断线段CD 、BD 与AB 之间有怎样的数量关系？并

2

证明你的结论．

A

B

C

D

作业答案：1.A ；2.C ；3.C ；4.A ；5.C ；6.40度；7. D;8.15 ；11.AB=BD+CD

18003

2；11. 36°或答案：1.18；2.5;3. .A;4.D;5.15；6,6;7.(3,-2);8.C;9.B；10. ；27

12.500,800,1300..14. 延长DE 到点F, 使EF=BC可证得:△ABC ≌△BFE

1

所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°在Rt △DBF 中, BD=,DF=1所以∠F =∠

2

1=30° 17. 4

18.

18. 答案：解（1）AB-AC=PB„„„1分 证明：在AB 上截取AD ，使AD=AC ∵AP 平分∠CAB ， ∴∠1=∠2.

在△ACP 和△ADP 中

;

⎧AC =AD ⎪

⎨∠1=∠2 ⎪AP =AP ⎩

∴△ACP ≌△ADP ∴∠C=∠3.

∵△ABC 中, ∠CAB=2α=2×21°=42°, ∠ABC=32° ∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106° ∴∠3=106°„„„„„„„„„2分 ∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74° ∴∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74° ∴∠4=∠5 ∴PB=DB

∴AB-AC=AB-AD=DB=PB„„„„„„„„3分

(2)在AB 上截取AM, 使得AM=AC,连结PM, 延长AP 交BC 于N, 连结MN

∵AP 平分∠CAB, ∠CAB=2α, ∴∠1=∠2=

1

·2α=α 2

C

3在△ACN 和△AMN 中

N

⎧AC =AM

⎪

2⎨∠1=∠2 A

⎪AN =AN ⎩

M

B

∴△ACN ≌△AMN ∴∠3=∠4

∵∠ABC=60°-α，

∴∠3=∠2+∠NBA=α+（60°-α）=60° ∴∠4=∠5„„„„„„„„4分 ∴MN 平分∠PNB ∵∠CBP=30°，

∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°， ∴∠6=∠NBP ∴NP=NB

∴MN 垂直平分PB. ∴MP=MB ∴∠7=∠8.

∴∠6+∠7=∠NBP+∠8， 即∠NPM=∠NBP=60°-α

∴∠APM=180°-∠NPM=180°-（60°-α）=120°+α. 在△ACP 和△AMP 中

⎧AC =AM ⎪

⎨∠1=∠2 ⎪AP =AP ⎩

∴△ACP ≌△AMP ∴∠ACP=∠APM

∴∠ACP=120°+α. „„„„„„„„5分

19.(2)