计算刚体上力做功应注意的两个问题

2004年5月安庆师范学院学报(自然科学版)

J ourna l of Anq ing Te a che rs Co lle ge (Na tura l S c ie nce ) M a y . 2004第10卷第2期

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计算刚体上力做功应注意的两个问题

严少平, 顾广颐

(安徽理工大学数理系, 　安徽淮南　232001)

　　摘　要:本文讨论了计算作用于刚体上的力和力系做功时容易发生的错误, 并提出了相应正确的解题方法。

关键词:刚体; 虚功原理; 动能原理; 功

中图分类号:O 313　　文献标识码:A 　　文章编号:1007-4260(2004) 02-0021-03

　　理论力学中, , 因为动能定理一般不涉及未知的约束反作用力, 因此, 。关于质点系的动能, 2], 且教师在教学时会重点强调, 一般不会出现大的问题, , 甚至觉得比较简单, 没有引起足够的重视, 反而是较。

1. 理论力学教材中[1], 对力做功有如下定义:

a ) 　设质点M 在大小和方向都不变的力F 的作用下, 沿直线走过一段路程, 力F 在这段路程内所积累的效应用力的功来度量, 并定义为:W =F co s Η・S , 式中Η为力与直线位移方向之间的夹角, 功是代数量。

b ) 　设质点M 在任意变力F 作用下沿曲线运动, 力F 在无限小的位移d r 中所作的功称为元功

・d r =F ・d r =F ・v d t d w 可表示为:d w =F co s Η

其中r 为质点的速度, 力在全过程上做的功等于元功的积分, 即W =∫M 2M 1F ・d r =F v d t ∫12

可见功的定义是由力F 对质点的作用给出的。然而理论力学中的研究对象大多为质点系, 把原定义用以计算作用于质点系上的力在某一段路程上所作的功时容易出现概念上的错误。如:

例1　图1所示质量为M 的均质圆盘由细绳缠绕后置于倾角为Α的斜面上, 斜面与圆盘间的滑动摩擦系数为Λ, 圆盘由静止释放后, 圆盘质心C 下滑位移S , 求此过程中摩擦力F 所作的功。

有些同学认为力F 在此过程中有直线位移S , 根据常力做功的定义, 其功W =-F ・S 。实际上本例中的摩擦力F 在圆盘运动的过程中虽然其大小和方向不变, 但并不一直作用在刚体的同一个质点上, 因此不能根据常力做功的定义来计算。只有在无限小的时间内, 可认为力F 作用在同一个质点上, 在这个无限小的时间内, 可根据常力做功的定义计算力F 的功, 这实际上就是用元功的和计算总功的思想, 因此在这里力F 作的功应为:

W F =∫12F v d t =F 2v d t =-∫122F S =-2Λm g co s Α S , 式中v c 为质心的速度, v 为力F 作用点的速度。

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ΞΞΞ收稿日期:2003-10-21基金项目:安徽省教育厅教学研究项目:JYXM 2003192作者简介:严少平(1965-) , 男, 安徽宿松人, 安徽理工大学讲师, 在职硕士研究生, 主要从事大学物理教学和研究。

・22・安庆师范学院学报(自然科学版) 2004年由此可知, 对作用于刚体上的力所做功的计算, 如果在系统运动的过程中, 力的作用点在刚体上的相对位置发生变化, 不管力的大小和方向是否变化, 都应该用元功的和来计算力F 的总功, 或者说因力的作用点在刚体上的相对位置发生变化而将该力视为变力来计算其所作的功

。

图　1　　　　　　　　　　图　2

2. 作用在刚体上力系的功

。实际上可以证明:代数和。

证明:作用在定轴转动刚体上力偶矩为M :∆W =M 2 d Η=M Ξd t 式中M 2为力偶矩矢M Z , d , Ξ为定轴转动角速度矢量。, A 的平动和绕基点的转动, 基点为刚, 作一般运动的刚体上点的v A Ξr A i , 作用在该刚体上的力系所作的元功和为:

∆W =

==6F ∆(6F ) v d t +i i A

A i (v A +Ξ×r A i ) d t =(1) 式中R 和M 为作用在刚体上的力系向A 点简化后的主矢和主矩。由(1) 式可知, 刚体作一般Ξ [6(r A i ×F i ) ]dt =R v A d t +M A Ξd t 6F i v A d t +6(Ξ×r A i ) F i d t (1)

运动时, 作用在刚体上力系的功等于力系向该刚体上某一点简化后所得主矢和主矩做功的代数和。

对于作用在刚体上力系做功的这一计算规律, 在理论力学动能定理一章中并未强调, 因在该章中需要计算做功的力基本上是数量较少的集中力或力偶, 没有必要先将力系简化再计算其作的功。实际上, 在计算重力的功时, 同学们已经应用了这一规律而不知, 因为刚体的重力为一空间分布的平行力系, 而计算其功已习惯于用该力系的简化结果——作用在重心的合力——来计算。

对于完整定常的约束系统, 上述力系做功的计算规律同样可用于计算力系的虚功。如教材中对运动系统写出动力学普遍方程时, 计算惯性力的虚功就是先将系统中每个刚体的惯性力系进行简化, 然后按给定的虚位移求虚功。

然而需要强调一点, 无论是计算力系的功还是虚功, 这种“先力系简化, 后计算(虚) 功”的方法只适用于一个刚体。如所研究的系统有多个刚体, 只能将作用在不同刚体上的力系分开来进行简化, 否则不能得出正确的结论。这可由下面的例题得到证明

。

图　3　　　　　　　　　　　图　4

第2期严少平, 顾广颐:计算刚体上力做功应注意的两个问题・23・

例2　已知图3所示组合梁上均匀分布载荷q 为10KN m , 不计梁自重, 用虚位移原理求支座B 的约束力。

解法1　去掉B 点支座约束, 用力N

　　解法2　:去掉B 点支座约束, 用力N B 代替, 将均匀分布载荷简化为作用在C 点的合F =4q , 给梁B A C 虚转角∆Η, 如图4, 虚功方程为:∆W =N B ×2∆Η-F ×4∆Η=0, 解得　N B =8q =80N 代替,

将作用在同一刚体上的均匀分布载荷进行简化,

得各自的合力F 1=2q , F 2=2q , 给梁A C 虚转角

∆Η, 如图5, 虚功方程为　∆W =N

3∆Η-F 2×3∆Η=0, 解得　N B B ×2∆Η-F 1×

B =6q =60N =60N , 例2中, 由静力平衡方程可解得N

可见解法2中将作用在同一刚体均匀分布力简化

后算虚功的方法是正确的, 而解法1中将作用在

两个刚体上的均匀分布力简化为一个合力后的

计算不正确

。

　　3. 结论

通过文中的分析, 可以得出两点结论:(1) 计算作用在刚体上某力所作的功时, 中, 力的作用点在刚体上的相对位置发生变化, , 力来计算其所作的功。(2) 做功的和; 对于作用在多个刚体上力系的功, , 力系的总功。

[]

[1]]. :高等教育出版社, 1997. 125-158.

[2]　周衍柏[. :高等教育出版社, 1986. 124-128; 273-298. 图　5

Two Notable Problem s i n the Calculation of W ork

of Forces Acti n g on a R ig id Body

YAN Shao 2p ing , GU Guang 2yi

(T he M athem atics &Physics D ep t . of A nhui U niversity of Science and T echno logy , H uainan 232001, Ch ina ) Abstract :Som e m istakes appearing in the calculati on of w o rk of fo rces adding on a rigid body have been discussed and co rresponding co rrect m ethods have been given .

Key words :rigid body ; virtual w o rk p rinci p le ; theo rem of k inetic energy ; w o rk