指数与指数函数(word)
§2.7 指数与指数函数
【知识梳理】 1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *) ，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做 a 的n 次方根_，其中n ＞1且n ∈N *. 式子 __n 叫做_，a 叫做_． (2)根式的性质
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，n
这时，a 的n 次方根用符号a 表示．
②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a n n
的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号－表示．正负两个n n
次方根可以合写为 (a ＞0) ． ③(
n
a ) n ＝___a ___.
n
n
a 叫做
④当n 为奇数时，
n
a ＝__a ___；
⎧当n 为偶数时，a ＝|a |＝⎨.
－a (a ＜0)⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
*
∙a ∙ ∙a (n ∈N ) ． ①正整数指数幂：a n ＝a
n 个
②零指数幂：a 0＝__1__(a ≠0) ．
1
③负整数指数幂：a －p (a ≠0，p ∈N *) ．
a
m n
④正分数指数幂：a ＝a (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
n
m n
⑤负分数指数幂：a
-
＝
1
m
n
1 (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
a n
⑥0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__没有意义__． (2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝__ ar ＋s _(a >0，r 、s ∈Q ) ； ②(a r ) s ＝__ ars a >0，r 、s ∈Q ) ； ③(ab ) r ＝__ ar r a >0，b >0，r ∈Q ) ． 3．指数函数的图像与性质
【基础自测】
1．(课本改编题) 用分数指数幂表示下列各式． (1)x ＝x 3；
(2)(a ＋b )((a ＋b )>0)＝(a +b ) 4； (3)m 3
5
3
2
4
3
3
＝m 2. m
16
2．(课本改编题) 化简[(-2)]2－(－1) 0的值为__7__．
3．若函数y ＝(a 2－1) x 在(－∞，＋∞) 上为减函数，则实数a 的取值范围是
．
4．若函数f (x ) ＝a x －1 (a >0，a ≠
1) 的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝5．已知f (x ) ＝2x ＋2－x ，若f (a ) ＝3，则f (2a ) 等于( B ) A ．5 【例题精析】
题型一 指数式与根式的计算问题 例1 计算下列各式的值．
⎛27⎫(1) -⎪
⎝8⎭
-23
B ．7 C ．9 D ．11
＋(0.002)2－－2) －1＋(0；
-
1
(2)
1＋2
－(－1) 0－9－4；
(3)
-3
a >0，b >0)．
23
12
(a 4b 2)a
4
b 3
-
⎛27⎫
解 (1)原式＝ -⎪
⎝8⎭
2
1
⎛1⎫+ ⎪⎝500⎭
-
－
10－2
＋1
⎛8⎫3
2
＝ -⎪+500－10(＋2) ＋1 ⎝27⎭
4167＝－105－20＋1＝－. 99(2)原式＝－2－1(5－2)2 ＝(－2) －1－(5－2) ＝－1.
1
3
2
23
1
(3)原式＝
31
1
(a b a b )2ab a 3b 3
2
-1
1
3
＝a 263b
-1
11
1-2-33
＝ab －1.
探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
变式训练1 计算下列各式的值：
⎛7⎫
(1)1.5× ⎪
⎝6⎭
-3
10
＋8
0.25
436
×＋(×3) ；
⎛3⎫3 1－2 ⎪×a (a >0，b >0)． (2)2÷2
⎝a ⎭a 3+4b 3
a 8a 3b
3
13
41
⎛2⎫⎛2⎫3342634
解 (1)原式＝ ⎪×1＋(2) ×2＋(2×3) － ⎪
⎝3⎭⎝3⎭
1111
1
＝2＋4×27＝110.
13
1
(2)令a ＝m ，b 3＝n ，
m 4－8mn 32n ⎫⎛
⎪·则原式＝1－m
m ＋2mn ＋4n ⎝m ⎭m (m 3－8n 3)m 2
＝ m ＋2mn ＋4n m －2n
m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)＝m 3＝a . (m ＋2mn ＋4n )(m －2n )题型二 指数函数的图像及应用
xa x
例2 (1)函数y ＝ (0
|
x |
(2)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1) 的图像经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是_0
(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
e x ＋e －x
变式训练2 (1)函数y ＝－( A )
e －e
(2)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ 解 函数y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移 一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方 得到的，函数图像如图所示．
当k
当0
例3 设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，
则原函数化为y ＝(t ＋1) 2－2 (t >0)． ①当0
⎣a ，a ⎦，
⎡1此时f (t ) 在⎢
⎣a ，a ⎦上为增函数． ⎛1所以f (t ) max ＝f ⎝a ⎭ ⎛1⎫
⎪2－2＝14. ＝ 1⎝a ⎭1⎛⎫2 所以⎝1⎪
⎭＝16，
a
11
所以a ＝－a ＝.
531
又因为a >0，所以a ＝.
3②当a >1时，x ∈[－1,1]， ⎡1⎤
⎥， t ＝a x ∈⎢a ⎣a ⎦
⎡1⎤
⎥上是增函数． 此时f (t ) 在⎢a ⎣a ⎦所以f (t ) max ＝f (a ) ＝(a ＋1) 2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去) ． 1
综上得a ＝3.
3
探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．
由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．
1变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x ) ＝2x －23
(1)若f (x ) ＝x 的值；
2
(2)若2t f (2t ) ＋mf (t ) ≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x
当x ≥0时，f (x ) ＝2－，
2
x
13
由2x －2·22x －3·2x －2＝0，
22
1
看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或，∵2x >0，∴x ＝1.
2(2)当t ∈[1,2]时，
11⎫⎛⎛
2t 22t －＋m 2t －⎪≥0， ⎝⎝22⎭
即m (22t －1) ≥－(24t －1) ，∵22t －1>0， ∴m ≥－(22t ＋1) ，
∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1) ∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞) ． 【课时训练】
A 组 专项基础训练题组
一、选择题
1．函数y
＝( B ) A ．[0，＋∞)
B ．[1，＋∞)
D ．[，＋∞)
C ．(－∞，＋∞)
2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1) 有两个不等实根，则a 的取值范围(D) A ．(0,1)∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)
B ．(0,1)
⎛1⎫D. 0，⎪ ⎝2⎭
3．函数f (x ) ＝a x －b 的图像如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( D ) A ．a >1，b 1，b >0 C ．00 D ．0
5－1
，函数f (x ) ＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n ) ，则m 、n 的大小2
关系为_m
5．若函数f (x ) ＝e －(x －μ) (e是自然对数的底数) 的最大值是m ，且f (x ) 是偶函数，则m ＋μ＝__1___.
a 13
6．函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1) 在[1,2]中的最大值比最小值大，则a 的值为
2227．已知函数f (x ) ＝a x ＋b (a >0且a ≠1) 的图像如图所示，则a ＋b 的值是_
－2_．
2
三、解答题
⎛3⎫
8．(1)计算：[ 3⎪
⎝8⎭
43
-
23
⎛4⎫- 5⎪⎝9⎭
1
0.5
+(0.008)
-
23
÷(0.02)
-
12
1
⨯(0.32)2]÷0.062 5
0.25
；
(2)
化简：
a -8a 3b
2
2
⎛-2÷ a 3-⨯(式中字母都是正数) ．
4b 3+a 3
⎝
a ⎭
2
1
2
1
解 (1)原式＝[⎛8504⎛625⎫ ⎫3⎝27⎪－⎛49⎭ ⎫2⎪＋⎛1000⎭ ⎫3
4⎝8⎪⎭10]÷⎝9
⎝10000⎪ ⎭
＝⎛ 471⎫⎝9－3＋25×52×10⎪⎭1
2 ＝⎛ 2⎝－179＋2⎫
⎪⎭×2＝9
. 1
1
1
1121
a 3[(a 3)3
-(2b 3)3
3(2)原式＝
]
-2b 3
a ·a 3)2
1
1
1
1
a 1
1
1
(a 3)2
+a 3·2(b 3)+(2b 3)
2
a
×
((a 2·a 3)5
5
111＝a 3
(a 3
-2b 3
) ×
a
1
1
×
a 6
1
a 3-2b 3a 6
1
2
＝a 3
×a ×a 3＝a 2.
B 组 专项能力提升题组
一、选择题 1．函数y ＝ ⎛1⎫
x 2
+2x
的值域是( D ) ⎝2⎪
⎭A ．R
B ．(0，＋∞) C ．(2，＋∞)
D. ⎡⎢1⎫
⎣2，＋∞
⎪⎭
⎧2．设函数f (x ) ＝⎪1⎨x
(x >0)，
⎪(x ) ＋x ，x ∈R . 则F (x ) 的值域为( ⎩e x (x ≤0)，
令F (x ) ＝f A ．(－∞，1]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，1) ∪(2，＋∞)
3．若函数f (x ) ＝a |2x －4| (a >0，a ≠1) ，满足f (1)＝1
9则f (x ) 的单调递减区间是( A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C )
B )
C ．[－2，＋∞) 二、填空题
D ．(－∞，－2]
4．函数f (x ) ＝a x ＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝__9__.
5．函数y ＝a 2x 2 (a >0，a ≠1) 的图像恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点
－
2
A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为
． 6．关于x
⎛3⎫
的方程 ⎪
⎝2⎭
x
＝
2＋3a 23
a 的取值范围为－
三、解答题
7．已知函数f (x ) ＝3x ，f (a ＋2) ＝18，g (x ) ＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；
(2)若函数g (x ) 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.
(2)此时g (x ) ＝λ·2x －4x ，设0≤x 10恒成立，
1
2
2
1
即λ20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是
2
1
2
1
λ≤2.
a －
8．已知函数f (x ) (a x －a x ) (a >0，且a ≠1) ．
a －1(1)判断f (x ) 的单调性；
(2)验证性质f (－x ) ＝－f (x ) ，当x ∈(－1,1) 时，并应用该性质求f (1－m ) ＋ f (1－m 2)
1a
若a >1，则ax 10，
ax 1＋x 2a －1
1
2
a 1⎫⎛
所以f (x 1) －f (x 2) a x －a x )· 1＋⎪
a －1⎝ax 1＋x 2⎭即f (x 1)
2
1
2
a
， a －1
1
2
a 1⎫⎛
f (x 1) －f (x 2) (a x －a x )·
综上，f (x ) 在R 上为增函数． a
(2)f (x ) ＝(a x －a －x ) ，
a －1a
则f (－x ) a －x －a x ) ，
a －1显然f (－x ) ＝－f (x ) ． f (1－m ) ＋f (1－m 2)
函数为增函数，且x ∈(－1,1) ， 故解－1
1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x 轴是函数图像的渐近线．当01时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当0
1⎛
－1，. 2．画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a ) 、 (0,1)、⎝a 3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组) 来求值，或用换元法转化为方程来求解． 【课后作业】 1、复习课本习题 2、完成《步步高》 A 组 专项基础训练题目 B 组 专项能力提升题组