第五讲充要条件概念

第五讲 充要条件概念

【知识概要】

【例题及习题】

充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么)

一、 判断条件P与结论q的关系

1. 1应用充要条件的定义，直接判断

例1 “ a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为”( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件

例 2 函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ）

A a(-,1] B a[2,+)

C [1,2] D a(-,1][2,+)

例3 a0是方程ax22x10至少有一个负数根的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例 4 一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

A a0 C a1

例 5函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件为( )

A a>0 B a0 C a

例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,是两个相交平面，空间两条直线l1、l2在上的射影是直线

s1,s2,l1,l2在上的射影是t1,t2.用s1与s2,t1与t2的位置关系，写出一

个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：_______

例 8 设P:a>0且b>a+c,q:方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.问:q是p的什么条件?

abc例 9在△ABC中，设命题p：，命题q: △ABCsinBsinCsinA

是等边三角形.那么命题p是命题q的（ ）

A 充分必要条件 B 必要不充分条件

C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件

例 10 有限集合S中元素的个数记作card(S).设A、B都为有限集，给出下列命题：

①AB＝的充要条件是card(AB)=card(A)+card(B);

②AB的必要条件是card(A)card(B);

③AB的充分条件是card(A)card(B);

④A=B的充要条件是card(A)=card(B).

其中真命题的序号为（ ）

A ③、④ B ①、② C ①、④ D ③、②

例 11.已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(xD)的充要条件是y=f-1(x)满足_____ 例 12.已知a,b,c为同一平面内的非零向量，甲：abac，乙：，则 ( )

A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C 甲是乙的充要条件

D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例 13 设f(x)sin(x)，其中0，则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是

（A）f(0)0 （B）f(0)1 （C）f(0)1 （D）f(0)0

1.2利用充分条件、必要条件、充要条件的传递性直接判断

例1 已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件，那么：（1）s是q的____条件；（2）r是q的___条件；（3）p是q的______条件

例 2设甲、乙、丙是三个命题。如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）

A 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C 丙是甲的充要条件

D 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1.3构造与命题相对应的集合，借助子集概念判断

例 1 对于实数x,y，判断“x+y8”是“x2或y6”的什么条件？

例 2.若非空集合MN,则”aM或aN”是”aMN”的( )

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件又非必要条件

例 3 设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是(CuA)B=U的

( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C充要条件 D 既不充分也不必要条件

例 4 0

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

x1例 5集合A={x|

充分条件，则b的取值范围可以是( )

A –2b

1x2

2例6 设p:x-x-20>0,q:0,则p是q的（ ） |x|2

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

例 7.设x,yR,则x2+y2

A 充要条件 B 既非必要条件又非充分条件

C 必要非充分条件 D 充分非必要条件

1. 4利用互为逆否命题的等价转化，变更问题进行判断

例 1若A成立，当且仅当B成立.求证：A是B的充要条件 例 2. ”|a-2|2-a”是”a2的______条件.

1．5反证法、反例说明法（只能在确定“若p则q”为假时使用），也是极其重要的判断方法

10例 1 在ΔABC中，“A>30”是“ sinA>”的（ ） 2

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

例2 已知,均为锐角，若p：sin

是q的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充要条件 D 既不充分条件也不必要条件

例 3 “实数a=b=c”是”不等式a3+b3+c33abc取等号“的( )

A 充分而不必要条件 B 充分必要条件

C 必要而不充分条件 D 既不充分又不必要

例 4. 设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解

abc集相同；命题Q：111，则命题Q( ) a2b2c2

A 是命题P的充分必要条件

B 是命题P的充分条件但不是必要条件

C是命题P的必要条件但不充分条件

D既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

例 5.”ab

A 必要条件但不是充分条件B 充分条件但不是必要条件

C 充分必要条件 D 既不是充分条件又不是必要条件 例 6.设命题甲:”直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1与对角面

BB1D1D垂直”;命题乙:”直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”.那么,甲是

乙的( )

A 充分必要条件 B 充分非必要条件

C 必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件

例 7 已知函数f(x)是定义在R上的函数，条件甲：f(x)有反函数；条件乙：f(x)是单调函数，则条件甲是条件乙的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

例8．“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的

(A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

(C)充分必要条件 （D）即不充分也不必要条件 例9在ΔABC中,”A>B”是”sinA>sinB”的( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件

x＜0},B={x|0＜x＜3},那么例10 设集合A={x|“mA”是“mB”x1

的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、 已知结论、条件与结论的关系，探求满足这个关系的条件

2. 1应先分清楚是探求充分条件、必要条件、还是充要条件；如果 是探求充要条件问题，可以“先探求必要条件，再探求充分条件”

例 1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )

A ab=0 B a+b=0 C a=b D a2+b2=0

|lg|x1||,x1例 2. 设定义域为R的函数f(x)=,则关于x的方0,x1

程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件为( )

A b0 B b>0,且c

ij（1）写出a45的值；

（1） 写出aij的计算公式；

（2） 证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1是一个合数。

2．2关于解方程（组）；求函数的定义域（值域）；解不等式（组）；求函数单调区间；求数列中最大项问题；探求轨迹问题；以及形如“已知B成立，求A”；“求k在什么范围内取值时，B成立？”等题目，都属于隐含要“充要条件”解题，探求充要条件问题，解答

时也是“先必要，后充分”或用“”两方面同时探求。显然，本问题实际上是要求学生自觉使用充要条件分析问题和解决问题 例 1.已知f(x)=x3+ax2+a2-a为R上的奇函数(aR), 求a的值 例 2. 若xR,|x-3|-|x-5|a有实数解，则实数a的取值范围______

例3 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2.若对任意的x[t,t+2]，不等式f(x+t)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

A [2,+) B [2,+) C (0,2] D [-2,-1][2,3]

例 4 已知c>0，设P:函数y=cx在R上单调递增；Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.

如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围.

例 5设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c成立在x=1,x=2时，取得极值.

(1)求a,b的值.

(2)若存在x[0,3],使f(x)

例 6.设全集U＝R.

(1)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(aR);

(2)记A为(1)中不等式的解集，集合B＝

{x|sinx(x-)+cos(x)=0}.若（CuA）B恰有3个元素，33

求a的取值范围.

例 7(1)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn,证明：数列{cn}不是等比数列

(2) 已知数列{cn},其中Cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等

比数列，求常数p.