正弦定理知识点及习题
第一章：解三角形
第一节：正弦定理
1、正弦定理：在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为三角形的外接圆的半径，则有 （注：正弦定理适用于任意三角形）
公式变形式：（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
（2）sin A=a b c , sin B=， sinC=2R 2R 2R a b c ===2RsinA sin B sinC （3）a:b:c=sinA:sinB:sinC
2、正弦定理证明：如图在三角形ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c
3、常用结论：
（1
）三角形常用公式：
（2）三角形面积公式：
S=1/2(a+b+c)r
（3）在三角形ABC 中，已知A>B,求证：sinA> sinB 证明过程：
4、利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)
5、定理的应用:
（已知两角和任意边，求其他两边和一角）
例 1、在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C =30°求 a , b .
（跟踪训练）在△ABC 中，已知b=12,A=30°B=45。解这个三角形，并求出它的外接圆半径及三角形面积.
(已知两边和其中一边的对角, 求其他边和角)
例 2、已知a =16， b =
3，A=30° . 求角B ，C 和边c
（跟踪训练）已知a =30, b =26, A=30°求角B ，C 和边c
6、注意点
①已知两角及一边解三角形一定只有一解。
②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一解或两解。
例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。
(1)a=7,b=8,A=105; (
2)
(跟踪训练) 根据下列条件解三角形
(1)b =13，a =26，B=30°.
(2) b =40，c =20，C=45°.
练习：
1、在△ABC 中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件
A 、充分不必要 B 、必要不充分
C 、充分必要 D 、不充分也不必要
2. 在三角形ABC 中，若
a=2bsinA,那么B 的值是
4、在三角形ABC 中，若A:B:C=1:2:3,那么a:b:c=
5、在三角形ABC 中，若A=120。，AB=5，BC=7，则三角形ABC 的面积为
6、在三角形ABC 中，已知acosA=bcosB,则此三角形是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 直角或等腰三角形
7、在三角形ABC 中，一定成立的等式是（ ）
A. asinA=bsinB B. acosA=bcosB
C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA