四年级奥数教案

第1讲 找 规 律（一）

一、知识要点

观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

二、精讲精练

【例题1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1，4，7，10，（ ），16，19

【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2，6，10，14，（ ），22，26

（2）3，6，9，12，（ ），18，21

（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3

（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19

.

【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（ ），16，22

【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。

应填的数为：7+4=11或16-5=11。

练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）10，11，13，16，20，（ ），31

（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64

（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2

（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8

（

3【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

2，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12

【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10

练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）

（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）

（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14

（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）

【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什么数？

【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21

上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。

练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）

（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）

（3）0，1，3，8，21，（ ），144

（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）

（

【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。

（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）

【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3

练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。

（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）

（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）

（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）

（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）

第2讲 找 规 律（二）

一、知识要点

对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：

1. 对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；

2. 对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。

3. 对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

二、精讲精练

【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。

【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。

练习1：找规律，在空格里填上适当的数。

【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？

【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4×20÷10=8

根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.

练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。

（1）

（2）

（3）

【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。12345679×9= 12345679×18=12345679×54= 12345679×81=

【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。

因为：12345679×9=111111111

所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222

12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999.

练习3：找规律，写得数。

（1） 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×

9= 9+12345678×9=

【例题4】找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63

练习5：计算下面各题。 （1）

27×11 （2）32×11（3） 39×

11 （4）46×11（5）92×11 （6）

98×

11

第3讲 数数图形

一、知识要点

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：

1. 弄清被数图形的特征和变化规律。

2. 要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

二、精讲精练

【例题1】 数出下面图中有多少条线段。

【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从A 点出发的不同线段有3条：AB 、AC 、AD ；从B 点出发的不同线段有2条：BC 、BD ；从C 点出发的不同线段有1条：CD 。因此，图中共有3+2+1=6条线段。

练习1：：数出下列图中有多少条线段。

（2）

（3）

【例题2】数一数下图中有多少个锐角。

【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）.

练习2：：下列各图中各有多少个锐角？

【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。

【思路导航】图中AD 边上的每一条线段与顶点O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD 上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。

练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。

【第4讲 数数图形

成规律，

可以把图

数出图形一、知识要点 在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律

的个数，再把他们的个数合起来。

二、精讲精练

【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？

【思路导航】图中的AB 边上有线段1+2+3=6条，把AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。

数长方形可以用下面的公式：

长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？

【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）

【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现，由相同的n ×n 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n ×n 。

练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）

【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）

【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。

经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m 等份，宽被分成n 等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－

1)(n－1) ＋(m－2)(n－2) ＋…＋(m－n ＋1)n.

练习3：

1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。

2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？

第5讲 应用题

一、知识要点

解答复合应用题时一般有如下四个步骤：

1. 弄清题意，找出已知条件和所求问题；

2. 分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；

3. 拟定解答计划，列出算式，算出得数；

4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

二、精讲精练

【例题1】 某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？

【思路导航】条件摘录

综合法思路：

前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；

已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；

根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路：

要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）； 要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。 要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。

（10200－300×10）÷240=30（天）.

练习1：

1. 某电冰箱厂要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务？

【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？

【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200÷25=8小时，徒弟完成任务用了8+2=10小时。所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。

练习2：

1. 张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个？

2. 小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4天才能完成。小明每天写多少个字？

3. 丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，这样可提前几天完成任务？

【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？

【思路导航】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米；步行200千米要40小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×

8=40千米；全程有200千米，乘汽车行了200－40=160千米，所以，还需160÷40=4小时到达乙地。

练习3：

1. 玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需要4小时。一车间工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？

第6讲 速算与巧算（二）

专题简析：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。 例1：计算325÷25

分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。

325÷25

=（325×4）÷（25×4）

=1300÷100

=13

练 习 一

计算下面各题。

1，450÷25 2，525÷25

3，3500÷125 4，10000÷625

5，49500÷900 6，9000÷225

例2：计算25×125×4×8

分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。

25×125×4×8

=（25×4）×（125×8）

=100×1000

=100000

练 习 二

计算下面各题。

125×15×8×4 25×24 25×5×64×125

125×25×32 75×16 125×16

例3：计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15

分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。

（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15

=360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15

=10+3 =30－5

=13 =25

练 习 三

计算下面各题。

1．（720+96）÷24

2．（4500－90）÷45

3．6342÷21

4．8811÷89

5．73÷36+105÷36+146÷36

6．（10000－1000－100－10）÷10

例4：计算158×61÷79×3

分析与解答：在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置。

158×61÷79×3

=158÷79×61×3

=2×61×3

=366

练 习 四

计算下面各题。

1，238×36÷119×5

2，624×48÷312÷8

3，138×27÷69×50

4，406×312÷104÷203

例5：计算下面各题。

（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）

分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号

的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。

（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）

=123×（96÷16） =200÷25×4

=123×6 =8×4

=738 =32

练 习 五

计算下面各题。

1，612×366÷183

2，1000÷（125÷4）

3，（13×8×5×6）÷（4×5×6）

4，241×345÷678÷345×（678÷241）

第6讲 和差问题

专题简析：

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：

（和－差）÷2=小数

小数＋差=大数（和－小数=大数）

或：（和＋差）÷2=大数

大数－差=小数（和－大数=小数）

解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？

分析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵。

这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍，由出，先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树的棵数：54＋20=74棵。

练 习 一

1，两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？ 2，用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少千克？

3，甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？ 例2：两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？

分析与解答：根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个。假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍，所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个，第一筐原来有50＋20=70个。

练 习 二

1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人？

2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆？

3，甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克？

例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁？

分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。

练 习 三

1，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小刚和小强各多少岁？

2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁？

3，两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。求胡炜和陆飞今年各多少岁。

例4：甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？

分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋。由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800

－429=371袋。

练 习 四

1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多6袋。两箱原来各有多少袋？

2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克香蕉？

3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？

例5：把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？

分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米，宽为54－33=21厘米。

练 习 五

1，把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米？

2，赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米？

3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米。这个操场的面积是多少平方米？

第7讲 巧算年龄

专题简析：

年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。

解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：

1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；

2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；

3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。

例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。

练 习 一

1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？

2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？ 3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和女儿今年各多少岁？

分析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁，妈妈今年是9×4=36岁。

练 习 二

1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁？

2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁？

3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁？

例3：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍。小红和小梅今年各多少岁？

分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以，小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年的年龄为：1×5=5岁。

练 习 三

1，今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁？

2，今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁？

例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？

分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁，再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2，就是经过的年数。所以，再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。