弹性力学答案

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力

正的面力

【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有zxzyz0，只存在平面应力分量x,y,xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。

【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时z0，且不受切向面力作用，则

xzyz0(相应zxzy0)板边上只受x，y向的面力或约束，所以仅存在x,y,xy，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平面

应变的情况。

【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件件，试问将导出什么形式的方程？

【解答】将对形心的力矩平衡条件

M

C

0改为对角点的力矩平衡条

M

C

改为分别0，

对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。

M

A

0

xyxdxdydy

ydx1(xdx)dy1(xydx)dy1dxydy1

2x2x2yyxdxdydx(ydy)dx1(yxdy)dx1dyfxdxdy1fxdxdy10

y2y22

(a)

M

B

0 (x

xdydx

dx)dy1(yxyxdy)dx1dy(yydy)dx1x2yy2

(b)

dydxdydx

xydy1dxxdy1ydx1fxdxdy1fydxdy10

2222

MD0

(y

dxdy

xydy1dxxdy1yxdx1dy

y22

(c)

xdxdydydx

xdx1(xdx)dy1fxdxdy1fydxdy10

2x222

dy)dx1

y

dy)dx1

y

M

E

0

dxdydx

xdy1yxdx1dyydx1

y222

(d)

dydydx

(xxdx)dy1(xyxydx)dy1dxfxdxdy1fydxdy10

x2x22(y

略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令dxdy,dxdy都趋于0），并将各式都除以dxdy后合并同类项，分别得到xyyx。

【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。

2

2

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y=0）

0 -1

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l

m

fxsgyh1

gyh1

fys

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

xx0g(yh1),xyx00;xxbg(yh1),xyxb0;

②在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：



y

y0

gh,xy

y0

0

③在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs0,FNghb1,M0

2

2

uyh0,vyh0

由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

bdxgh1b0yyh2b

0yyh2xdx0

b

xyyhdx002

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

fx(s) fy(s)

(y)y-h/2

hq 0 -1 0 2h

-q1 y 0 1 0

2

q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1 y

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

h/2()dxF

S

h/2xyx0h/2

h/2(x)x0dxFN h/2()ydxMh/2xx0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改用三个

积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

F0,FFqlFqlF F0,FFql0FqlF

x

N

N

1

N

1

N

y

S

S

S

S

2

q1lh121ql

M0,MM'Flqlqlh0MMFl AS1S

2222

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

M



h/2()dyFqlF

N1N

h/2xxlq1lhql2h/2

MFSl h/2(x)xlydyM22

h/2()dyFqlF

xyxlSS

h/2

【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，

VV

即体力分量可以表示为fx，其中V是势函数，,fy

xy

则应力分量亦可用应力函数表示成为

qb

2

qb212

222

，试导出相应的相容方x=2V,y=2V,xy

yxxy

程。

【解答】（1）将fx,fy带入平衡微分方程（2-2）

图2-19

xyxxyxV

f00xyyxxx

 （a） 

yxyf0yxyV0

y

xxyyy

将（a）式变换为

yx

(V)0x

yx

（b） 

(V)xy0

y

yy

为了满足式（b），可以取

222

xV2,yV2,xy

yxxy

222

V,y2V,xy即x y2xxy

（2）对体力、应力分量fx,fy,x,y求偏导数，得

fxfy2V2V

2, 2

xyyx22x42V42Vx

2222, 242 （c）

xyxyyyx

22y42V42Vy

242, 222

2

xxyxyyx

将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程

ffy2xy(1)x （2-21）

xy

2V2V42V42V42V42V

24242222(1)2222

xyxyyxxxyyyx

整理得：

2V2V444

2224(1)22

x4xyyyx

即平面应力问题中的相容方程为



 （d） 

4(1)2V



将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为，的平面应变情况下的相容方程：

1

444122V2V

2224224

xxyy1xy

即 证毕。

【3-4】试考察应力函数ay3在图3-8所示的矩形板和坐

中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay总能满足应力函示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

3

4



 （e） 

122

V。 1

标系

y

数表

x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力 左端:x(x)x06ay 0yh y



xyx0

0

右端:xxxl6ay (0yh) y(

xyxl

)0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

x

y

x

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中的偏心距e： 荷载p

(x)A

同理可知，当

ppe

20eh/6 bhbh/6

时，可以解决偏心压缩

问题。

a

【3-6】试考察应力函数

F

xy(3h24y2

)，能满32h

O

足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

y

444，显然满足 20

x4x2y2y4

（2）将错误！未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式

12Fxy3F4y2

x,y0,xyyx(12)

h32hh

（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，y力y



yh/2

0,yx

h

，应精确满足应力边界条件式（2-15），应2

yh/2

0

hhh

上，无任何面力，即fxy0,fyy0 222

因此，在主要边界y

②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y2

x0:fx0,fy1-2

2hh

xl:fx

12Flyh

3

3F4y2

,fy12

2hh

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=

h/2-h/2

h/2

h/2h/2

fxdy0, FN2fydyF, FS2

h/2

h/2h/2

fxdy0fydyFfxydyFl

h/2h/2h/2

fxydy0, M2

h/2

因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l?h（图3-12），试用应力函数AxyBy2Cy3Dxy3求解应力分量。 【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

O

2B6By6Dxyyx0y 2A3Dyyxxy

(a)

(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件



y

yh/2

0， 满足

34

xyyh/20, 得ADh20 （b）

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

FN

2h

h/2h/22M

ydyM2B6CyydyMC h/2xx0h/2

h3

h/2h/2123

dyFA3DydyFAhDhFs （c） xyssh/2x0h/24

h/2xx0dyFNh/22B6CydyFNB

h/2h/2

联立方程（b）（c）得

A

3Fs2F

,D3s 2hh

最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量



xFN12My12Fsxyhh3h3

y0

23FS14y

2xy2hh

【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=AxBxyCxyDy，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

3

2

2

3

2

xy2fxx2Cx6Dy 2

yy2fyy6Ax2Bygy 2

xyxy

2Bx2Cy （3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00

，

(yx)y00

将式（d）代入式（b），（c），可得

A0，B=0 ②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即xy0，该斜面外法线方向余弦为，mcos.由公式（2-15），得应力边界条件

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0

sin(cos( xy)yxtany)yxtan0

将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

C

g

2

cot,D

g

3

cot2 将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

xgxcot2gycot2ygy



xygycot

（a） （b） （c） （d） （e）lsin，

（f） （g）

4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明uA可以满足此基本方程。

【解】（1）设，代入几何方程中，教材中式（4-2）得形变分量

B



,u0



u

,

u



,0 （a）



 （b） 

将式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量

uEu21Euu21

0

将（b）式代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在轴对称问题中，平衡方程为

1

0



（c） 

210

式（c）中的第二式自然满足，第一式为

1udEu

0d12

u1Edu12dd2ud2d2ud2d2ud2



Eduu

021d





uduudu1du

2u0

dddudu1duduu

2u20ddd21duu

0d2

上式即为求的基本方程。

（2）将代入式（d），很显然满足方程。

4-8试考察应力函数

q3

cos3，能解决题4-8图所示弹性体的何种受力问题？ 6a

【解】本题按逆解法求解。 （1）相容条件

把应力函数代入相容方程显然是满足的。 （2）由应力函数求应力分量表达式

2

1121q31q32cos3cos322

26a6a1q1q332cos323sin36a6a q3qcos3cos32a2aq

cos3a

22q3qq

22cos332cos3cos3

6a6aa





11q33q3

()cos3sin36a6a

q2qsin3sin32aa

求出边界上的面力

30面上，0，

a面上，qcos3，



a

qsin3；

q；

面力分布如解4-8图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。

4-18 设半面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，如题4-l8图所示，试求应力分量。

【解】应用半逆解法求解。

（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应为应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形势组合。

（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。 （3）将φ代入相容方程，得

2112

2022

21122112220222221121d2202222d

d21d21d1d21d21d220 22222222dddddd

6d212d21d4

4042324

ddd1d4d2

444

dd2d4d2

40d4d2



0

2

这是四阶常系数齐次微分方程，其特征方程为

4420

求解特征方程

442040

2

2

a

340。

它的根是12i,22i,

因此，所给微分方程的通解为 此处0,

eC1cosC2sineC3C4 2,0，所以

C1cos2C2sin2C3C4。

将系数修改为，有

Acos2Bsin2CD

b c

本题中结构对称于的x轴，而M是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为的奇函数，从而得A=D=O。

Bsin2C.

（4）由应力函数得应力分量的表达式

14Bsin2,2



0,



12Bcos2C.2

（5）考察边界条件。由于原点O有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点

附近的。

在的边界上，有



0,0,



0,2

0。

前一式自然满足，而第二式成为

2B=C。 (d)

为了考虑原点O附近有集中力偶的作用，取出以0为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件。

F0,2cosdsind0,

2

x2

sindcosd0, Fy0,2



MO0,2dM0.



上式中前两式自然满足，而第三式成为

2B

M



e

将各系数代人应力分量的表达式，得

2Msin2

,2



0,



Mcos21.2