关于函数概念的理解
关于对函数概念的理解
山东省蓬莱市教研室 王恒玉
我们知道, 高中函数是这样定义的:设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 y=f(x), x ∈A . (人教社《普通高中课程标准实验教科书》数学1第17页)。根据函数的定义我们知道, 函数是特殊的对应, 是“两个数集间的一种确定的对应关系”. 组成函数的三要素:定义域A 、值域C 、对应法则f. 事实上, 当定义域A 以及对应法则f 确定之后, 函数y=f(x)的值域C 也就随之确定了. 因此, 从一定意义上讲, 对函数概念的理解, 只要掌握其定义域以及对应法则这两要素即可. 由此我们得出:两个函数当且仅当定义域与对应法则都相同时, 才是同一函数.
例如, 在下列五组函数中:
(1) y=x,
y=(2)
y=
y=( (3) y=x+1 , y= 2x -1
x +12,
(4) y=x 0, y=1 (5) y=|x|,
y=表示同一函数的是(5).
关于函数的定义域
就是使函数有意义的自变量x 的取值范围.
关于函数的对应法则
在函数y=f(x)的概念中,其核心是对应法则f. 以下主要想谈谈对对应法则f 理解.
其实法则f 就是对自变量x 进行“操作”的“程序”或“方法”. 按照这一程序, 对定义域A 中的任一x, 可得出值域C 中的唯一确定的y 与之对应. 同一“f ”可以“操作”于不同的变量. 如f(x)是对x 进行操作, 而f(x 2) 是指对进行操作. 因此在函数中, 搞清对应法则f, 至关重要.
例1. 写出函数y=2x+3的定义域及对应法则f; 并求出f(3)、f(a-1) 及f(x 2-1)
的值.
解:使函数有意义的自变量x 的取值范围为全体实数R, 因此函数的定义域为R. 而由y=2x+3知, 对于R 中的任意的一个x 通过f 的作用(乘2加3), 即可得到实数y=3x+2.因此对应法则f: 乘2加3. 也就是说,f 作用谁, 其结果是谁就得乘2加
3. 根据这个法则,f(3)的意义就是:3乘2加3, 即f(3)=9; f(a-1)的意义是, a-1乘2加3, 即 f(a-1)=2( a-1)+3=2a+1. 同理,f(x 2-1) 就是对(x 2-1) 进行乘2加3,即得:f(x 2-1)=2(x 2-1)+3=2x 2+1.
例2 ⑴已知f(x+2)= x 2-3x+5 ,求 f(x)的解析式.
⑵已知f(cosx-1) =cos 2x, 求 f(x)的解析式.
分析:要求函数的解析式, 关键是找对应法则f, 而要找对应法则f, 就要通过观察f 作用括号内式 (数) 的结果来确定.
解:将⑴式按(x +2) 整理得:f(x+2) = (x +2) 2 -7 (x +2) +15 . 上式说明, f 作用数 (x +2) , 其法则是这个数 (x +2) 的平方减去7倍的这个数(x +2) ,然后再加15. 因此 , 对应法则f :这个“数”的平方减7倍的这个“数”加15 . 所以 f(x)= x 2-7x +15.
⑵将(2)式按(cosx-1)整理得: f(cosx-1)= [(cosx-1) +1], 上式说明, f 作用数(cosx-1),其法则是这个“数”(cosx-1)加1,然后取其平方. 所以 f(x)= x 2. 但本题要注意这时的自变量是(cosx-1) 而cosx 是有范围限制的,-1≦ cosx ≦1, 因此,
-2 ≦(cosx-1) ≦0, 所以 所求的解析式为f(x)= x 2(-2≦x ≦0).
回顾与反思:以上两题实际上是将等号左边f 右侧括号内的式子(数)进行配方整理,从而得出对应法则f 来,进而得到函数的解析表达式. 这就是配方法求函数的解析式方法的由来.
例3 已知 f (x +解: 由已知f (x +1x 1
x 2)=x 3+)=x 3+1x 3, 求 f(x)的解析式. 31x =(x +1
x ) 3-3(x +1
x ), 所以, f(x)=x 3-3x (|x|≥2).
总结与拓展:由以上回顾与反思可以看出, 所谓的配方法事实上就是将等号左边f 右侧括号内的式子(数)看成一个整体, 从而来找出这个整体在该函数中的对应法则f .进而来确定函数的解析式, 因而, 我们又得到另一重要的求函数解析式的方法:换元法.
例2 (1)解法二:令x +2=t, 则x =t-2, 由已知f(x+2)= x 2-3x+5,得
f(t)= (t -2) 2-3(t -2) +5=t 2-7t +15, 所以有f (x ) =x 2-7x +15.
(2) 解法二:令cosx-1= t,则cosx= t+1,由已知f(cosx-1) =cos
f (t ) =(t +1) 2, 所以f (x ) =(x +1) 2(-2≤x ≤0) .
例4 已知f(x)的定义域为[0,1], 求f(x ) 的定义域. 22x, 得
解:首先要明确, 求定义域就是求自变量x 的取值范围, 而不是求2x 或x 2的取值范围. 已知f(x)的定义域为[0,1], 说明什么? 就是告诉我们, 函数的对应法则是:用f 去作用谁, 谁的范围就在[0,1], 那么, f去作用x 2呢? 即x 2的范围也要在
[0,1], 这样以来, 我们有: 20≤x ≤1, 所以, -1≤x ≤1. 即f(x 2) 的定义域为[-1,1].