高中数学--函数的周期性

高中数学——函数的周期性

一、知识回顾

1．周期函数：对于函数y ＝f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T ) ＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x ) 为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期．

3．关于函数周期性常用的结论

(1)若满足f (x ＋a ) ＝－f (x )，则f (x ＋2a ) ＝f [(x ＋a ) ＋a ＝－]f (x ＋a ＝) f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0) ；

(2)若满足f (x ＋a ) ＝112a ) ＝f [(x ＋a ) ＋a ]＝ ，则f (x ＋＝f (x ) ，所以f (x ) f (x +a )

2a 是函数的一个周期(a ≠0) ；

(3)若函数满足f (x +a ) ＝-1，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0). f (x )

（4）如果y =f (x ) 是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么f (x ±nT ) =f (x )(n ∈Z ) ．

（5）函数图像关于x =a , x =b 轴对称⇒T =2(a -b ) ．

（6）函数图像关于(a , 0), (b , 0)中心对称⇒T =2(a -b ) ．

（7）函数图像关于x =a 轴对称，关于(b , 0)中心对称⇒T =4(a -b ) ．

二、方法规律技巧

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx＋φ)，用公式2πT ＝计算．递推法：若f(x＋a) ＝－f(x)，则f(x＋2a) ＝f[(x＋a) ＋a]＝－f(x＋a) ＝f(x)，所以|ω|

周期T ＝2a. 换元法：若f(x＋a) ＝f(x－a) ，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t＋2a) ，所以周期T ＝2a ．

2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T ) ＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．

4. 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

三、例题讲解：

1、设定义在R 上的函数f (x )满足f

． _f (99_)=______

2、已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f（x ）+f（2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）

A ．2 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2013

3、定义在R 上的函数的图象关于点 -(x )⋅f (x +2)=201，2若f (1)=2，则⎛3⎫,0⎪成中心对称，且对任意的实数x 都有f(x)＝－⎝4⎭

f x +⎛

⎝3⎫⎪，f(－1) ＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝( ) 2⎭

A ．0 B ．－2

C ．1 D ．－4

4、已知周期函数f(x)的定义域为R ，周期为2，且当－1

35或2k ＋，k ∈Z} 44

13B ．{a|a＝2k －或2k ＋，k ∈Z} 44

5C ．{a|a＝2k ＋1或2k ＋，k ∈Z} 4A ．{a|a＝2k ＋

D ．{a|a＝2k ＋1，k ∈Z}

⎧ax +1, -1≤x

其中a ，b ∈R. 若f

⎛1⎫⎛3⎫⎪＝f ⎪，则a ＋3b 的值为________． 2⎝⎭⎝2⎭

四、新题变式探究

【变式一】已知定义在R 上的函数f (x )满足条件；①对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )；②对任意的x 1, x 2∈[0,2]且x 1

A. f (7)

C. f (4.5)

【变式二】设g(x)是定义在R 上, 以1为周期的函数, 若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 .

【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．

五、易错试题常警惕

k －2x

易错典例1：若函数f (x ) ＝k ＝________. 1＋k ·2易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为

A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 ( )

【变式】设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x ) =f (x +3) 的所有x 之和为 x +4( )

A ．－3 B ．3 C ．－8 D．8

练习：A 基础测试

1. 【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=2+1. 若f (a )=3，则实数a 的值为x

2. 【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数

①y =x cos x ②y =sin 2x ③y =x 2-x ④y =e x -e -x ，其中是奇函数的是（ ）

A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④

3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递增，则满足f (m )

4. 【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】f (x ) =tan x +sin x +1，若f (b ) =2，则f (-b ) = （ ）

A. 0 B. 3 C. -1 D. -2

5. 【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数f (x ) 对任意x ∈R 均满足f (2+x ) =f (2-x ) ，且当-2≤x ≤0时，f (x ) =log 3(1-x ) ，则f (2014) 的值是 .

B 能力提升训练

1. 【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数y =f (x ) 是周期为2的周期函数，且当x ∈[-1,1]时，f (x ) =2|x |-1，则函数F (x ) =f (x ) -|lg x |的零点个数是（ ）

A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

2. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定义在R 上的奇函数y =f (x ) 满足f (3) =0，且不等式f (x ) >-x f '(x ) 在(0, +∞) 上恒成立，则函数g (x ) =xf (x ) +lg x +的零点的个数为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x +2)=-f (x )成立，且f (1)=8，则f (2012)+f (2013)+f (2014)的值为 （ ）

A ． 2 B ． 4 C ． 6 4. 【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数f (x ) 是定义在D ． 8

(-∞, +∞) 上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x +2) =f (x ) ，且当x ∈[0, 2)时，f (x ) =log 2(x +1) ，则f (-2011) +f (2012) 的值为 （ ） A . -1 B. -2 C. 2 D. 1

5．【2014届山东省日照市高三校际联考】已函数f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数, 在[0,1]上时f (x )=2+ln (x +1)-1 x

（Ⅰ）求函数f (x )的解析式;

（Ⅱ）解不等式f (2x -1) +f (1-x 2) ≥0．

C 思维扩展训练

1. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知y =f (x ) 是定义在R 上周期为4的奇函数，且0≤x ≤2时，f (x ) =x 2-2x 则10≤x ≤12时，f (x ) =_________________ 2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2) ＝f (x ) ．当0≤x ≤1时，f (x ) ＝x 2. 若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x ) 的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )

1111A ．0 B ．0或－ C ．－ D ．0或－ 2424

3. 定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x +3) =f (x ) ，f (2)=0，则函数y =f (x ) 在区间(0,6)内

零点个数的情况为（ ）

A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．至少6个 4. 已知定义在R 上的函数y =f (x ) 对任意的x 都满足f (x +1) =-f (x ) ，当-1≤x ＜1 时，

f (x ) =x 3，若函数g (x ) =f (x ) -log a x 至少6个零点，则a 的取值范围是5. 【2014届上海市青浦区高三上学期末】定义在R 上的奇函数f (x ) 有最小正周期4，且

2x

x ∈(0,2)时，f (x ) =x 4+1

（1）判断并证明f (x ) 在(0,2)上的单调性，并求f (x ) 在[-2,2]上的解析式；

（2）当λ为何值时，关于x 的方程f (x ) =λ在[2, 6]上有实数解？